Световые лучи. Принцип Ферма
Принцип Гюйгенса позволяет легко установить законы, описывающие поведение плоской волны на плоской границе раздела двух прозрачных сред. С его помощью по заданной волновой поверхности падающей волны можно построить волновые поверхности отраженной и преломленной волн. Волновые поверхности этих волн остаются плоскими. Для задания положения волновых поверхностей плоской волны удобно ввести лучи — линии, перпендикулярные к волновым поверхностям, которые одновременно указывают и направление распространения волны. Вытекающие из принципа I юйгенса правила нахождения лучей для отраженной II преломленной волн -это хорошо известные законы отражения и преломления. Плоская волна характеризуется тем свойством, 110 ее волновые поверхности представляют собой 1 ^ограниченные плоскости, а направление ее рас-"Ространения и амплитуда везде одинаковы. Часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, можно приближенно рассматривать как плоские на небольшом участке пространства. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление распространения волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Тогда также можно ввести понятие лучей, т. е. линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. Если при этом граница раздела двух сред, например поверхность линзы, может считаться приблизительно плоской на расстояниях порядка длины волны, то поведение лучей света на такой границе будет описываться теми же законами отражения и преломления. Изучение законов распространения световых волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики, поскольку в этом приближении оптические законы можно сформулировать на языке геометрии. Многие оптические явления, такие, как, например, прохождение света через оптические системы, формирующие изображение, можно рассматривать, исходя из представления о световых лучах, совершенно отвлекаясь от их волновой природы. Поэтому представления геометрической оптики справедливы лишь в той степени, в какой можно пренебречь явлениями дифракции световых волн. Дифракция сказывается тем слабее, чем меньше длина волны. Это значит, что геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн: А,->0. Физическую модель пучка световых лучей можно получить, если пропустить свет от источника пренебрежимо малого размера через небольшое отверстие в непрозрачном экране. Выходящий из отверстия свет заполняет некоторую область, и если длина волны пренебрежимо мала по сравнению с размерами отверстия, то на небольшом расстоянии от него можно говорить о пучке световых лучей с резкой границей. Основные законы геометрической оптики закон прямолинейного распространения света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред—могут быть получены с помощью принципа Ферма. Согласно этому принципу действительный путь распространения монохроматического луча света есть путь, для прохождения которого свету требуется экстремальное (как правило, минимальное) время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками. Такая формулировка принципа Ферма на самом деле не вполне верна. Согласно принципу Ферма оптический путь должен сравниваться не с любым другим, а с ближайшим. Иначе принцип будет просто неверен, например, когда свет от источника может попасть в какую-либо точку и непосредственно, и после отражения от зеркала. Однако точная формулировка принципа Ферма выходит за рамки данной книги. Поскольку скорость света в среде с показателем преломления и равна с/и, принцип Ферма можно сформулировать как требование минимальности оптической длины луча при распространении света между двумя заданными точками. Под оптической длиной луча понимается произведение показателя преломления на длину пути луча. В неоднородной среде оптическая длина складывается из оптических длин на отдельных участках. Использование этого принципа позволяет рассмотреть некоторые задачи с несколько иной точки зрения, чем при непосредственном применении законов отражения и преломления. Например, при рассмотрении фокусирующей оптической системы вместо применения закона преломления можно просто потребовать равенства оптических длин всех лучей. Получим с помощью принципа Ферма формулу тонкой линзы, не прибегая к закону преломления. Для 6 Рис 7.1. К выводу формулы тонкой линзы а определенности будем рассматривать двояковыпуклую линзу со сферическими преломляющими поверхностями, радиусы кривизны которых равны /?, и /?2 (рис. 7.1). Хорошо известно, что с помощью собирающей линзы можно получить действительное изображение точки. Пусть Sl — предмет, S2—его изображение. Все лучи, исходящие из S1 и прошедшие через линзу, собираются в одной точке S2. Пусть 5, лежит на главной оптической оси линзы, тогда изображение S2 также лежит на оси. Что значит получить формулу линзы? Это значит установить связь между расстояниями d от предмета до линзы и / от линзы до изображения и величинами, характеризующими данную линзу: радиусами кривизны ее поверхностей Rl и R2 и показателем преломления п. Из принципа Ферма следует, что оптические длины всех лучей, выходящих из источника и собирающихся в точке, являющейся его изображением, одинаковы. Рассмотрим два из этих лучей: один, идущий вдоль оптической оси, второй —через край линзы (рис. 7.1 а). Несмотря на то, что второй луч проходит большее расстояние, его путь в стекле короче, чем у первого, так что время распространения света от S1 до S2 для них одинаково. Выразим это математически. Обозначения длин всех отрезков указаны на рисунке. Приравняем оптические длины первого и второго лучей: d+n(t1 + t2)+f=d1+f1. (7.1) Выразим dx по теореме Пифагора: Теперь воспользуемся приближенной формулой у/ 1 + х« 1 +х/2, которая справедлива при ,х<1 с точностью до членов порядка х2. Считая h малым по сравнению с с/, с точностью до членов порядка (h/d)A имеем 0-2) Аналогично для /, получаем /.-/+».+<»> Подставляем выражения (7.2) и (7.3) в основное соотношение (7.1) и приводим подобные члены: В этой формуле в случае тонкой линзы можно пренебречь величинами 1{ и t2 в знаменателях правой части по сравнению с d и /; очевидно, что в левой части выражения (7.4) /( + /2 следует сохранить, ибо этот член стоит множителем. С той же точностью, что и в формулах (7.2) и (7.3), ty и t2 с помощью теоремы Пифагора можно представить в виде (рис. 7.1 б) h2 h1 t^R.-jRl-h' 2 Л, Теперь остается только подставить эти выражения в левую часть формулы (7.4) и сократить обе части равенства на /г2/2: t, 2R: Ч/J (и-1) 1 + Это и есть искомая формула тонкой линзы. Вводя обозначение R{+R; 1 (7.5) ее можно переписать в виде I 1 _ 1 d+f~F' Нетрудно понять, что F есть фокусное расстояние линзы: если источник находится на бесконечности (т. е. на линзу падает параллельный пучок лучей), его изображение находится в фокусе. Полагая d->co, получаем /-* F. Полученное свойство фокусировки параллельного пучка монохроматических лучей является, как видно из проделанного вывода, приближенным и справедливо лишь для узкого пучка, т. е. для лучей, не слишком сильно отстоящих от оптической оси. Для широких пучков лучей имеет место сферическая аберрация, е. далекие от оптической оси лучи пересекают ее не в фокусе (рис. 7.2). В результате изображение бесконечно удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается несколько размытым. Кроме сферической аберрации, линза как оптический прибор, формирующий изображение, обладает рядом других недостатков. Например, даже узкий параллельный пучок монохроматических лучей, образующий некоторый угол с оптической осью линзы, после преломления не собирается в одну точку. При использовании немонохроматического света у линзы проявляется еще и хроматическая аберрация, связанная с тем, что показатель преломления п зависит от длины волны. В результате, как видно из формулы (7.5), узкий параллельный пучок лучей белого света пересекается после преломления в линзе не в одной точке: лучи каждого цвета имеют свой фокус. При конструировании оптических приборов удается в большей или меньшей степени устранить те или иныеГнедостатки путем применения специально рассчитанных сложных многолинзовых систем. Однако одновременно устранить все недостатки невозможно. Поэтому приходится идти на компромисс и, рассчитывая оптические приборы, предназначенные для определенной цели, добиваться устранения одних недостатков и мириться с присутствием других. Например, объективы, предназначенные для наблюдения объектов малой яркости, должны пропускать возможно больше света, что вынуждает мириться с некоторыми аберрациями, неизбежными при использовании широких пучков света. 1 Для объективов телескопов, где изучаемыми объектами являются звезды —точечные источники, расположенные вблизи оптической оси прибора, особенно важно устранить сферическую и хроматическую аберрацию для широких пучков, параллельных оптической оси. Устранить хроматическую аберрацию проще всего путем использования в оптической системе отражения вместо преломления. Так как лучи всех длин волн отражаются одинаково, то телескоп-рефлектор, в отличие от рефрактора, полностью лишен хроматической аберрации. Если при этом еще надлежащим образом выбрать форму поверхности отражающего зеркала, го можно полностью избавиться и от сферической абер-рации для пучков, параллельных оптической оси. Дл получения точечного осевого изображения зеркало должно быть параболическим. Покажем это. Пусть плоская волна, т. е. пучок лучей, параллельных оси у, падает на зеркальную поверхность, обладающую тем свойством, что после отражения все лучи собираются в одной точке F (рис. 7.3). Из симметрии ясно, что искомая поверхность зеркала представляет собой поверхность вращения вокруг оси у, поэтому достаточно рассмотрен, сечение этой поверхности плоскостью ху, т. е. кривую у—у(х). Рассмотрим центральный луч и луч, падающий на зеркало в произвольной точке С с координатами х и у. На основании принципа Ферма оптическая длина ?л их лучей от произвольной волновой поверхности А В до фокуса F должна быть одной и той же: BC+CF=AO + OF. (7.7) Из рис. 7.3 видно, что АО = ВС+у, a CF=Jx2 + {F-y)2. Подставляя эти значения в (7.7), получим Jx2 + (F-y)2=y + F. Возводя обе части в квадрат и приводя подобные члены, найдем Это уравнение параболы. Параболические зеркала используются во всех крупнейших телескопах. В этих телескопах устранены сферическая и хроматическая аберрации, однако параллельные пучки, идущие даже под небольшими углами к оптической оси, после отражения не пересекаются в одной точке и дают сильно искаженные внеосевые изображения. Поэтому пригодное для работы поле зрения оказывается очень небольшим, порядка нескольких десятков угловых минут. I еометрическая оптика позволяет сравнительно ripo-L1 о рассмотреть прохождение света через оптическую систему. Однако использование законов геометрической оптики в некоторых случаях может привести к неверным результатам из-за проявления светом волновых свойств. Например, вблизи точки пересечения пучка лучей искривление волновой поверхности становится настолько существенным, что ее уже нельзя считать плоской на расстояниях порядка длины волны. Вблизи таких точек условия применимости геометрической оптики заведомо не выполняются: световой поток нельзя собрать в одну точку, ибо это привело бы к бесконечно большой освещенности, чего на самом деле не бывает. В какой мере волновые свойства света искажают предсказываемую геометрической оптикой картину, можно увидеть на примере простейшего оптического прибора камеры-обскуры. Устройство камеры-обскуры схематически показано на рис. 7.4. Она представляет собой ящик, в одной из стенок которого сделано малое отвер :тие. Действие камеры-обскуры, как и существование резких теней от непрозрачных предметов при малом источнике света,— это факты, указы- Рис. 7.4 Схема камеры- обскуры ВаЮЩИе На ПрЯМОЛИНеЙ- ное распространение света в однородной среде. Однако основной закон геометрической оптики — прямолинейное распространение света — строго справедлив лишь для широких, строго говоря, неограниченных световых пучков. Всякое ограничение ширины светового пучка, неизбежное в любом оптическом приборе, обязательно приводит к отступлениям от геометрической оптики и к проявлениям волновых свойств света. Выбор оптимального диаметра отверстия для получения на экране наиболее резкого изображения удаленных предметов—это поиск определенного компромисса между волновой и геометрической оптикой. Если бы свет действительно подчинялся законам геометрической оптики, то задача была бы тривиальной: чем меньше отверстие, тем резче изображение. В самом деле, удаленный предмет можно разбить на отдельные элементы и каждый элемент рассматривать как точечный источник. Отверстие в передней стенке камеры вырезает пучок лучей от источника, попадающих на экран. Пучок лучей от удаленной светящейся точки можно считать параллельным; поэтому размер пятна на экране, которое мы рассматриваем как изображение этой точки, определяется размером отверстия. При оценке размер пятна можно считать равным размеру отверстия. Но уменьшать отверстие беспредельно нельзя не только потому, что при этом уменьшается световой поток и, следовательно, освещенность изображения, но и потому, что рано или поздно начнет сказываться волновая природа света. Дифракция света на отверстии приводит к размыванию изображения. Если уменьшать отверстие до размеров, сравнимых с длиной волны света, то изображение исчезает совсем и экран становится практически равномерно освещенным. Оценим размер дифракционного пятна на экране, которое можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника, в тех случаях, когда необходимо пользоваться волновой оптикой. Это можно сделать точно так же, как в § 4, где оценивались размеры дифракционного изображения звезды в телескопе. Согласно формуле (4.1) (с. 450), для угла дифракции 0, т. е. направления на край центрального дифракционного пятна, имеем где d—диаметр отверстия камеры-обскуры. Этот угол определяет линейный размер а дифракционного пятна на экране камеры-обскуры. Если расстояние от' отверстия до экрана равно L, то a%2L0 = 2-L. d Очевидно, что уменьшать размер отверстия следует только до тех пор, пока величина дифракционного пятна не сравняется с размером изображения, получающегося в приближении геометрической оптики. Дальнейшее уменьшение отверстия приведет только к размыванию изображения, т. е. к ухудшению резкости. Итак, наилучшая резкость изображения достигается "ри равенстве диаметра отверстия и размера дифракционного пятна а: