Интерференция немонохроматического света время когерентности
В этом параграфе мы рассмотрим изменения в интерференционных явлениях, которые вызываются отказом от монохроматической идеализации и учетом спектрального состава излучения реальных источников света. Начнем с простейшего случая точечного источника, излучающего две очень узкие, близкие друг к другу спектральные линии с частотами о, и ш2. Если бы излучение на каждой из частот представляло собой бесконечную синусоиду, то результирующее излучение представляло бы собой волну средней частоты с периодически меняющейся амплитудой. Но в действительности вместо бесконечных синусоид излучаются более или менее длинные цуги волн определенной длины, причем начальные фазы колебаний в последовательно идущих цугах произвольны и никак не связаны друг с другом. Обычно за время наблюдения проходит много таких цугов, и поэтому излучения на частотах со, и а>2 можно считать независимыми. Другими словами, можно считать, что вместо одного имеется два расположенных в одном месте точечных источника, независимо друг от друга излучающих волны с частотами со, и а>2. При выполнении интерференционных опытов с таким источником света каждая из волн создает свою интерференционную картину, и эти картины просто налагаются друг на друга. Если частоты ш1 и со2 мало отличаются друг от друга, то интерференционные полосы в каждой картине имеют почти одинаковую ширину. В тех местах, где светлые полосы одной картины налагаются на светлые полосы другой, резкость суммарной картины наибольшая. Наоборот, там, где светлые полосы одной картины приходятся на темные полосы другой, резкость интерференционных полос уменьшается вплоть до их полного исчезновения. Найдем распределение освещенности в интерференционной картине, получаемой от двух вторичных источников, если первичный источник излучает две близкие спектральные линии одинаковой интенсивности. Интерференционная картина для отдельной спектральной линии была рассмотрена в § 1. Зависимость освещенности от разности хода / от вторичных источников до точки наблюдения дается формулой (1.5): ?(/) = 4?"0cos2 ^ = 2?0(^l+cos jj. (5.1) Здесь Е0— равномерная освещенность, которую создавал бы только один вторичный источник. В рассматриваемом случае каждая спектральная линия первичного источника дает интерференционную картину, распределение освещенности в которой описывается формулой (5.1) с соответствующим значением частоты ю, или со2. Поэтому полное распределение освещенности, получающееся в результате наложения двух интерференционных картин, имеет следующий вид: Е(1) = Е1 (/) + ?,(/) = = 2Е01 +cos ^) + 2?02^1 + cos ^j. (5.2) Поскольку спектральные линии имеют одинаковую интенсивность, то Е01 = Е02 = Е0 и формулу (5.2) можно преобразовать к виду ?(/) = 4?0^l+cos^cos®^, (5.3) 'де (o = (cot +со2)/2 средняя частота, а Лсо = со2 — со. Разность частот спектральных линий. Если частоты и ю2 близки, так что Aco//2с) и соответствует разности хода А/, равной произведению длины волны X на отношение Х/АХ. Действительно, как видно из рис. 5.1, период изменения резкости полос равен половине периода cos (Аю//2с), поэтому ДсоД//2с = л, откуда А1=Х2/АХ. Как можно наблюдать на опыте такую интерферен ционную картину с периодическим изменением резкости полос? Так как для этого необходима разность хода, равная очень большому числу длин волн, то наиболее удобно использовать интерферометр Майкельсона с подвижным зеркалом, схема которого приведена на рис. 1.5 (§ 1). Если плечи интерферометра почти равны друг другу, то наблюдаемые полосы соответствуют разностям хода, равным небольшому числу длин волн. При этом, как видно из рис. 5.1, полосы имеют наибольшую резкость — освещенность на месте темных полос почти равна нулю. При перемещении зеркала разность хода / возрастает, а резкость интерференционных полос при этом постепенно убывает, так что при / порядка Х2/2АХ полосы пропадают совсем. При дальнейшем перемещении зеркала полосы появляются снова, и при 1~Х2/АХ их резкость опять становится максимальной. Затем резкость снова убывает, и т. д. Из изложенного ясно, что из наблюдения за изменением резкости интерференционных полос в зависимости от разности хода можно получить информацию о спектральном составе исследуемого света. Первые наблюдения такого рода были выполнены Физо в середине XIX века. В использованном им интерферометре наблюдались кольца Ньютона при освещении желтым све- j том натриевой лампы. Ин- _ ,, . , 1 Рис. 5.2. К опыту Физо с кольцами терференционные ПОЛОСЫ Ньютона в данном случае имеют вид колец, так как разность хода волн, отразившихся от нижней поверхносги линзы и верхней поверхности стеклянной пластинки (рис. 5.2), одинакова вдоль окружностей. Если линзу постепенно отводить от пластинки, го та же самая разность хода будет получаться на окружности меньшего радиуса, поэтому интерференционные кольца будут стягиваться к центру. Физо нашел, что при контакте линзы с пластинкой кольца были резкими. При отодвигании линзы от пластинки резкость колец убывала, и при прохождении примерно 490-го кольца интерференционная картина исчезала. При дальнейшем увеличении расстояния кольца появлялись вновь и приобретали приблизительно первоначальную резкость при стягивании примерно 980-го кольца. Физо проследил периодическое изменение резкости полос в 52 периодах из 980 колец каждый! Отсюда он сделал правильный вывод о том, что натриевый свет состоит из двух спектральных линий почти равной интенсивности. Глядя на рис. 5.1, легко сообразить, что результаты опытов Физо дают для отношения Х/АХ у желтого дублета натрия значение, равное 980. Рассмотренный пример света, состоящего из двух близких по частоте монохроматических волн, позволяет глубже проанализировать вопрос об использовавшейся в предыдущих параграфах монохроматической идеализации. Как известно, спектр испускания достаточно разреженных газов состоит из резких ярких линий, разделенных темными промежутками. Выделим свет одной из этих почти монохроматических линий и используем его в интерферометре Майкельсона. МЫ увидим, что интерференционные полосы -будут резкими, если длины путей обоих интерферирующих пучков примерно одинаковы. 1Если отодвигать одно из зеркал так, чтобы разность хода пучков увеличивалась, то резкость интерференционных полос будет постепенно уменьшаться, и в конце концов они исчезнут. Такое исчезновение интерференционных полос легко объяснить, если считать, что свет излучается отдельными цугами, содержащими конечное число длин волн. Допустим для простоты, что все волновые цуги одинаковы. Каждый цуг волны, попадая в интерферометр, делится на два цуга равной длины. Если разность хода в плечах интерферометра больше этой длины, один из цугов минует точку наблюдения раньше, чем другой дойдет до нее, и интерференции наблюдаться не будет. Естественно ввести понятие длины когерентности как наибольшей разности хода интерферирующих лучей, при которой еще возможно наблюдение интерференционной картины. Длина когерентности характеризует степень отклонения рассматриваемого излучения от монохроматической идеализации и равна длине отдельных волновых цугов. Длину цуга волн можно характеризовать промежутком времени, в течение которого он проходит через точку наблюдения. Этот промежуток времени х называется временем когерентности. Однако исчезновение интерференционных полос при увеличении разности хода можно объяснить и на другом языке, рассматривая спектральный состав излучения. Строго монохроматической волне (бесконечной синусоиде) соответствует единственная частота спектра, т. е. бесконечно узкая спектральная линия. Будем считать, что излучению, состоящему из волновых цугов конечной протяженности, соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины. Другими словами, такое излучение можно рассматривать как совокупность отдельных монохроматических волн, частоты которых сплошь заполняют некоторый интервал Дсо, малый по сравнению со средней частотой ю. Каждая монохроматическая волна из этой совокупности создает в интерферометре свою интерференционную картину, и полное распределение освещенности определяется наложением этих картин. При малых разностях хода интерферирующих лучей (порядка нескольких длин волн) положение интерференционных полос в картинах, создаваемых отдельными монохроматическими составляющими, будет практически совпадать, и полосы суммарной картины будут отчетливыми. По мере увеличения разности хода отдельные интерференционные картины будут смещаться друг относительно друга, и в конце концов суммарная картина окажется полностью размытой. Оценить разность хода, при которой происходит исчезновение интерференционных полос, можно следующим образом. Мысленно разобьем весь спектральный интервал Дсо, занимаемый рассматриваемым излучением, на пары монохроматических компонент, отстоящих друг от друга на Лсо/2. Распределение освещенности от каждой пары дается формулой (5.3), в которой Дсо следует теперь заменить на Дсо/2. Оно показано на рис. 5.1. Как видно из этого рисунка, полосы пропадают при такой разности хода /, когда аргумент первого косинуса в (5.3) становится равным л/2. Заменяя Дсо на Дсо/2, получаем ^ = (5.4) 4 с 2 Условие исчезновения полос для всех ftap монохроматических компонент одинаково. Поэтому при разности хода /, даваемой соотношением (5.4), происходит размытие полной интерференционной картины. Теперь мы можем сопоставить две возможные интерпретации размывания интерференционных полос при достаточно большой разности хода г—в рамках представлений о хаотичной последовательности ограниченных волновых цугов или представлений о суперпозиции монохроматических компонент, распределенных в некотором интервале частот. Так как в рамках представлений об отдельных цугах максимальная разность хода / равна длине цуга, то отношение //с в соотношении (5.4) есть время когерентности т. Переходя для удобства от циклической частоты со к частоте у = со/2л, переписываем (5.4) в виде tAv«l. (5.5) Соотношение (5.5) следует рассматривать не как точное равенство, а только как оценку эффективного интервала частот Ду, границы которого в известной мере являются условными. Мы видим, что чем больше длительность волновых цугов т, тем уже интервал частот Av, в котором спектральные компоненты этого излучения имеют заметную величину. Иначе говоря, ширина спектральной линии излучения обратно пропорциональна времени когерентности. Приведем оценки допустимых значений разности хода /~А.2/ДА. при наблюдении интерференции света с использованием разных источников. Для белого солнечного света или света, излучаемого раскаленными телами, интервал длин волн в спектре АХ будет одного порядка со средней длиной волны. Поэтому наблюдать интерференцию можно только при очень малых разностях хода, равных небольшому числу длин волн. Если воспользоваться излучением газоразрядной плазмы низкого давления, то при выделении какой-либо одной спектральной линии допустимая разность хода может быть значительно больше. Например, для красной линии кадмия с длиной волны X — 643,8 нм, ширина которой АХ составляет всего лишь 0,0013 нм, допустимая разность хода / превышает 500 000 длин волн, т. е. 30 см. А ширина линии излучения лазера может быть сделана настолько малой, что удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров!