Волны на воде Дисперсия и групповая скорость
Во всех рассмотренных нами примерах распространения волн отсутствовала дисперсия: скорость распространения волн не зависела от длины волны. При отсутствии дисперсии возмущение любого вида, которое можно представить как суперпозицию монохроматических волн разной длины, распространяется с такой же скоростью, как и монохроматическая волна, и при этом не меняет своей формы. Как уже отмечалось, волны на поверхности воды представляют собой более сложный пример волнового движения, чем рассмотренные выше упругие волны в натянутой струне или в однородной упругой среде. Сложность волн на воде проявляется уже в том, что скорость их распространения зависит от длины волны. Непосредственное вычисление скорости таких волн на основе законов динамики затруднительно, поэтому мы попробуем применить для этой цели метод анализа размерностей. Прежде всего применим этот метод для нахождения скорости волн в уже рассмотренном нами примере распространения продольных волн в бесконечном упругом стержне. От каких свойств стержня она может зависеть? Очевидно, от его упругих свойств, характеризуемых модулем Юнга Е, и от инертных свойств, характеризуемых плотностью материала стержня р. Как мы уже знаем из динамического рассмотрения, скорость волн не зависит от длины волны X. Но если бы мы сейчас впервые приступали к решению такой задачи, то должны были бы допустить возможность такой зависимости. Можно было бы допустить и зависимость скорости волн от их амплитуды, однако для волн малой амплитуды, когда такой зависимости нет. Только такие волны мы и будем рассматривать. Итак, параметры, характеризующие распространение волн в стержне, — это Е, р, X. Напомним размерности этих величин: [?] = ML_1r~2, [р ] = ML'3, [>] = L. (13.1) Легко убедиться, что из этих параметров безразмерную комбинацию составить невозможно. Действительно, размерность модуля Юнга Е содержит время, которого нет в размерностях остальных величин, — значит, модуль Юнга не может входить в безразмерную комбинацию. Но из двух оставшихся величин р и X также нельзя составить безразмерную комбинацию, так как в размерность р входит масса, а в размерность X,- нет. Составим из Е, р и А. величину, имеющую размерность скорости: и = СЕхруХ*. (13.2) Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей: LT~1 =(ML~l Т~2)х (ML~3)yLz. (13.3) Система уравнений для нахождения х, у и z имеет вид L -х-3y + z=\, Г —2х= — \, М х+у = О, откуда х=1/2, У=—112> z = 0. Итак, согласно (13.2) выражение для скорости волн и имеет вид ,i34» Мы видим, что, как и при динамическом рассмотрении, скорость волн не зависит от длины волны. Метод размерностей, разумеется, не дает возможности определить значение численного коэффициента С, но дает правильную зависимость скорости волн от свойств среды. Перейдем теперь к волнам на воде. Возможность распространения волн на поверхности воды обусловлена действием поля тяжести и сил поверхностного натяжения. Роль этих сил различна для волн разной длины: для достаточно коротких волн, когда кривизна поверхности жидкости велика, преобладающими являются силы поверхностного натяжения, а в случае длинных волн этими силами, наоборот, можно пренебречь. В первом случае волны на воде называются капиллярными и представляют собой мелкую рябь. Во втором случае волны называются гравитационными. Эти случаи следует рассматривать отдельно. На-чнем с капиллярных волн. Параметрами, от которых может зависеть скорость таких волн, являются коэффициент поверхностного натяжения ст, плотность воды р и длина волны X. Размерность с есть Опять легко видеть, что безразмерную комбинацию из ст, р и X составить нельзя. Составляем из ст, р и X комбинацию, имеющую размерность скорости. Обозначив скорость капиллярных волн через и0, можем написать иа = СсхруХ2. (13.5) Соответствующее (13.5) равенство размерностей имеет вид LT~i — {МТ~2)Х (ML~3)yLz. (13.6) Приравнивая показатели степеней при L, Т и М, находим: х = 1 /2, у = z = — 1 /2. Поэтому иа = С - (13.7) V Рх Точная динамическая теория дает для С значение, равное Скорость распространения капиллярных волн оказалась зависящей не только от свойств среды, характеризуемых поверхностным натяжением ст и плотностью р, но и от длины волны X. Значит, для капиллярных волн имеет место дисперсия. Рассмотрим теперь гравитационные волны. Так как обычно это волны большого масштаба, то естественно предположить, что их скорость может зависеть и от глубины водоема Л. Поэтому параметру, определяющие скорость распространения гравитационных волн на поверхности воды иг суть g, р, X, /;. Из этих величин, как легко убедиться, можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию X/h. В выражение для скорости волн не может входить величина р, ибо ее размерность содержит массу, которой нет в размерностях остальных величин. Это и понятно, так как и вызывающая колебания воды сила тяжести, и инертные свойства воды пропорциональны одной и той же величине — ее плотности. Итак, выражение для скорости ид имеет вид ue = ^Xf(X/h), (13.8) где /— произвольная функция безразмерного параметра tyA, вид которой не может быть определен из соображений размерности. Как обычно, вид функции / несложно установить в предельных случаях с помощью дополнительных физических соображений. Ясно, что на очень глубокой воде, когда XХ0— чисто гравитационными. Если же длина волны X близка к то распространение таких волн определяется в равной мере и поверхностным натяжением, и силой тяжести. Динамическое рассмотрение показывает, что скорость распространения таких капиллярно-гравитационных волн и дается выражением и = ^и2а + и2д. (13.11) Зависимость и от у/Х показана сплошной кривой на рис. 13.1. Минимум этой кривой приходится на значение Х = Х0. Определим приравнивая скорости иа и ид. Используя значения ст = 72 дин/см, g = 980 см/с2 и р = = 1 г/см-, получим Х0=1,73см. Минимальное значение скорости итЫ определяется с помощью (13.11) и оказывается равным 23,2 см/с. На поверхности воды не может существовать волн, распространяющихся со скоростью, меньшей 23,2 см/с! Капиллярные волны на поверхности воды — это рябь с длиной волн, меньшей 1 см. Те "волны, которые мы обычно видим на поверхности воды, имеют гораздо большую длину волны и являются гравитационными. Профиль таких волн лишь в случае амплитуд, малых по сравнению с длиной волны, напоминает синусоиду. Волны на воде имеют узкие острые гребни и широкие плоские впадины (рис. 13.2). Такая форма волны обусловлена тем, что волна на поверхности воды не является чисто поперечной: отдельные частицы жидкости при прохождении волны движутся по замкнутым траекториям, близким к круговым. Скорость гравитационных волн на глубокой воде Растет с увеличением длины волны. Этот рост, как "идно из рис. 13.1, замедляется, как только длина иолны становится сравнимой с глубиной водоема. Поэтому максимальная скорость распространения гравитационных волн на воде определяется глубиной водоема. Наибольшая глубина встречается в открытом океане. Там и следует ожидать самых быстрых волн. Оценим их максимальную скорость. Примем глубину океана равной 5 км. Наибольшую скорость будут иметь волны, длина которых значительно больше 5 км. Для них даже такая вода будет «мелкой», и с помощью формулы (13.10) находим и % 200 м/с, т.е. примерно 700 км/ч, — волна бежит со скоростью самолета. Столь длинные волны возникают при подводных землетрясениях и называются цунами. Как мы видели, скорость распространения волн на воде оказалась зависящей от длины волны, т. е. имеет место дисперсия. Предположим, что на поверхности воды распространяется не отдельная монохроматическая волна бесконечной протяженности, а группа волн, представляющая собой цуг ограниченной длины. С какой скоростью будет распространяться центр такого цуга? Представление о движении цуга волн можно получить, рассматривая волну, образующуюся при сложении двух монохроматических волн с близкими длинами X, и А. + АА,. В отсутствие дисперсии эти волны распространялись бы с одинаковой скоростью и. При наличии дисперсии они распространяются с несколько различающимися скоростями и и и + Аи. Как выглядит «моментальная фотография» результирующей волны? «Фотографии» каждой из складываемых волн представляли бы собой застывшие синусоиды с разной длиной волны (рис. 9.5). В том месте, где горб одной из этих волн совпадает с горбом другой, результирующая волна имеет горб удвоенной высоты. Там, где горб одной волны совпадает с впадиной другой, в результирующей волне смещение равно нулю. Как видно из рис. 9.5, «фотография» результирующей волны представляет собой последовательность отдель ных групп волн. Как вся эта картина меняется со временем? Если скорости складываемых волн одинаковы, то результирующая волна распространяется с той же скоростью, не изменяя своей формы. Если же скорости складываемых волн различаются, то взаимное расположение их горбов и впадин меняется с течением времени. «Мгновенная фотография» результирующей волны будет, разумеется, иметь такой же вид, как и раньше, но положение центров отдельных групп волн с течением времени будет изменяться относительно горбов и впадин складываемых волн. Поэтому центры отдельных групп волн движутся с иной скоростью, нежели складываемые синусоидальные волны. Скорость движения центров этих групп называют групповой скоростью. Найдем эту скорость. Будем для определенности считать, что скорость монохроматических волн растет с увеличением длины волны. Тогда нижняя волна на рис. 13.3, имеющая длину Х. + ДХ, обгоняет верхнюю волну с длиной X. Пусть в какой-то момент времени горбы Р и Ри совпадают т. е. центр группы волн приходится на точку Р. Через некоторое время т горб Р, обгонит Р, но зато совпадут горбы Q и Qx. Это значит, что центр группы волн за это время сместился назад на одну длину волны X и совпадает с точкой Q. Поэтому скорость перемещения центра группы волн в пространстве иг меньше скорости верхней волны на величину Х/х: и=и--. (13.12) х Время т, в течение которого горб Q, догоняет Q, как легко видеть из рис. 13.3, равно АХ/Аи. Поэтому выражение для групповой скорости (13.12) в пределе при ЛХ->0 принимает вид ит = и-Х(13.13) и К Вычислим групповую скорость для волны на поверхности воды. Для гравитационных волн на глубокой воде с помощью формулы (13.9) получаем Подставляя это значение в (13.13), находим (13.15) иг = и Скорость распространения центра группы гравитационных волн на глубокой воде оказывается вдвое меньше скорости монохроматических волн. На мелкой воде групповая скорость гравитационных волн совпадает со скоростью монохроматических волн, так как для них отсутствует дисперсия (du/d'k = 0). Для нахождения групповой скорости капиллярных волн вычислим du/dl. с помощью формулы (13.7): (13.16) Подставляя в (13.13), получаем (13.17) Центр группы капиллярных волн бежит в полтора раза быстрее, чем отдельная монохроматическая волна. Каждая группа волн, как видно из рис. 9.5, состоит из горбов и впадин, которые движутся с такой же скоростью, что и монохроматическая волна. Мы видим, что при наличии дисперсии группа как целое движется с иной скоростью, чем входящие в ее состав горбы и впадины. Как можно это себе представить? Так получается, потому что в процессе распространения группа «живет»: на одном конце группы возникают новые горбы, а на другом —горбы угасают.