Принцип Гюйгенса дифракция волн эффект Допплера
Наглядное представление о распространении монохроматических волн в упругой среде или на поверхности воды дает картина волновых поверхностей. Напомним, что все точки среды, лежащие на одной волновой поверхности, имеют в данный момент одну и ту же фазу колебания. Другими словами, волновая поверхность — это поверхность постоянной фазы. Уравнение волновой поверхности можно получить, приравнивая фазу в уравнении волны постоянной момент времени включается источник колебания, от которого в среде начинает распространяться возмущение. Фронт волны - это поверхность, которая отделяет точки среды, пришедшие в движение, от тех точек, до которых возмущение еще не дошло. Очевидно, что в однородной изотропной среде фронт волны от плоского источника колебаний представляет собой плоскость, а фронт волны от точечного источника —сферу. При распространении волн в однородной среде нахождение волновых поверхностей не представляет труда. Но при наличии в среде неоднородностей, преград, границ раздела и г. д. нахождение волновых поверхностей усложняется. Простой принцип построения волновых поверхностей был предложен Гюйгенсом. Принцип Гюйгенса позволяет находить волновую поверхность в некоторый момент времени, если извест- но ее положение в предшествующий момент. Для этого каждую точку волновой поверхности в момент времени t следует рассматривать как источник вторичных волн (рис. 12.1). Волновая поверхность каждой стя промежуток времени At представляет собой в однородной среде сферу радиусом uAt. Геометрическая огибающая волновых поверхностей вторичных волн и представляет собой искомую волновую поверхность в момент времени t + At. Принцип Гюйгенса можно применять и для нахождения фронта волны в случае нестационарного волнового процесса. В первоначальной формулировке Гюйгенса этот принцип представлял собой, по существу, лишь удобный рецепт для нахождения волновых поверхностей, ибо он не объяснял, например, то, почему положение волновой поверхности дает именно передняя огибающая вторичных волн и каков смысл задней огибающей поверхности, показанной на рис. 12.1 штриховой линией. Обоснование принципа Гюйгенса было дано Френелем на основе учета интерференции вторичных волн. С применением принципа Гюйгенса Френеля мы встретимся в разделе «Оптика». Легко видеть, что в простых случаях распространения плоской или сферической волны в однородной среде принцип Гюйгенса приводит к правильным результатам (12.2) и (12.4): плоская волна остается плоской, а сферическая сферической. Принцип Гюйгенса позволяет найти закон отражения и преломления плоской волны на бесконечной плоской границе раздела двух однородных сред. С помощью принципа Гюйгенса можно объяснить, почему происходит поворот волновой поверхности при распространении волн в неоднородной среде. Пусть, например, плотность среды р возрастает в направлении оси у (рис. 12.2) таким образом, что хности в неоднородной среде на поглощающей преграде скорость распространения волн и {у) уменьшается вдоль у по линейному закону. Если в какой-то момент времени t волновая поверхность S представляет собой плоскость z = 0, го спустя малый промежуток-времени, в момент / + Л?, эта волновая поверхность, как видно из рис. 12.2, поворачивается и занимает новое положение S'. Спустя следующий малый промежуток времени она занимает положение S", и т. д. Наклоненные друг к другу волновые поверхности должны пересекаться в некоторой точке, где скорость распространения волн обращается в нуль. Но обращение этой скорости в нуль соответствовало бы бесконечно большой плотности среды, что физически невозможно. Это означает, что на самом деле линейный закон изменения скорости волн может быть осуществлен лишь на ограниченном вдоль оси у участке. Применение принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград позволяет качественно объяснить явление дифракции загибание волн в область геометрической тени. Рассмотрим, например, плоскую волну, падающую на плоскую стенку с прямыми краями (рис. 12.3). Для простоты будем считать, чго падающий на стенку участок волны полностью поглощается, так что отраженной волны нет. На рис. 12.3 показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности позади преграды. Видно, что волны действительно загибаются в область тени. Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в волне за преградой. Ее можно найги, рассматривая интерференцию волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение амплитуд колебаний позади преграды называется дифракционной картиной. Непосредственно за преградой амплитуда колебаний очень мала. Чем дальше от преграды, тем заметнее становится проникновение колебаний в область геометрической тени. Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от соотношения между длиной волны Щ размером преграды d и расстоянием L от преграды до точки наблюдения. Если длина волны "к больше размеров препятствия d, то волна его почти не замечает. Если длина волны л одного порядка с размером преграды d, то дифракция проявляется даже на очень малом расстоянии L и волны за преградой лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон. Если, наконец, длина волны много меньше размеров препятствия, то дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоянии от преграды, величина которого зависит от X и d. Примеры расчета дифракцион ных картин будут приведены в разделе «Оптика». )) Принцип Гюйгенса позволяет найти вид фронта волны для нестационарного волнового процесса, возникающего при движении источника колебаний в неподвижной среде. Здесь возможны два существенно различных случая: скорость источника v меньше скорости распространения волн в среде и и, наоборот, v>u. Пусть источник начинает двигаться из точки О по прямой с постоянной скоростью v, непрерывно возбуждая колебания. В первом случае, когда vv, то фронт каждой последующей волны целиком лежит внутри фронта предыдущей. Если скорость источника равна скорости распространения волн в среде, то, как показано на рис. 12.5, фронты всех волн, испущенных в точках О, Ох и 02, соприкасаются в точке 03, где находится в этот момент источник. Если на фронте каждой волны возникает некоторое уплотнение среды, то непосредственно перед Движущимся источником, где фронты всех волн соприкасаются, уплотнение может быть значительным. Особенно интересен случай, когда скорость источника больше скорости . распространения волн в среде: v>u. Источник опережает создаваемые им волны. Положение фронтов волн, испущенных в точках О, О у и О2, для того момента времени, когда источник находится в точке 03, показано на рис. 12.6. Огибающая этих фронтов представляет собой поверхность кругового конуса, ось которого совпадает с траекторией источника, вершина в каждый момент совпадает с источником, а угол ср между образующей и осью определяется, как ясно из рис. 12.6, соотношением sincp = ". (12.5) V Такой фронт волны получил название конуса Маха. С такой формой фронта волны приходится стал- 1 киваться во всех случаях движения тел со сверхзвуковой скоростью снарядов, ракет, реактивных самолетов. В тех случаях, когда уплотнение среды на фронте волны значительно, фронт волны можно сфотографировать. На рис. 12.7, сделанном по фотографии, показаны конус Маха пули, движущейся со сверхзвуковой скоростью, и фронт звуковой волны, созданной пулей при ее движении в стволе с дозвуковой скоростью Снимок сделан в тот момент, когда пуля обгони фронт звуковой волны. Аналогом конуса Маха в оптике является черен^ ковское излучение, возникающее при движении заряжен ых частиц в веществе со скоростью, превышающей скорость света в этой среде. Из рис. 12.4 видно, что при движении источника монохроматических волн длина излучаемых по разным направлениям волн различна и отличается от длины волны, которую испускал бы неподвижный источник. Если считать промежуток времени х равным периоду колебаний Т= 2я/со, то сферы на рис. 12.4 можно рассматривать как последовательные гребни (или впадины) волн, а расстояние между ними как длину волны, излучаемой в соответствующем направлении. Видно, что длина волны, излучаемой по направлению движения источника, уменьшается, а в противоположном направлении увеличивается. Понять, как это происходит, помогает рис. 12.8: источник начинает очередной период излучения волны, находясь в точке Рис. 12.8. К объяснению эффекта Допплера О, и, двигаясь в том же направлении, что и волна, заканчивает период, находясь в точке О,. В результате длина излученной волны X' оказывается меньше, чем X= иТ, на величину vT\ Неподвижный приемник, регистрирующий эти волны, будет принимать колебания с частотой v', отличной от частоты колебаний источника v: >1а формула справедлива как в случае приближения гочника к неподвижному приемнику, так и в случае каления. При приближении скорость источника берется с положительным знаком, при удалении—-с отрицательным. Если источник движется с дозвуковой скоростью, то при приближении частота принимаемого звука выше, а при удалении — ниже, чем при неподвижном источнике. Такое изменение высоты звука легко заметить, слушая звук гудка проносящегося мимо поезда или автомобиля. Если скорость приближения источника звука к приемнику стремится к скорости звука, то, согласно (12.6), длина волны X' стремится к нулю, а частота v'—к бесконечности. Если v больше м, то сначала мимо приемника промчится источник и только потом придут созданные им при приближении звуковые волны. Эти волны будут приходить в обратной последовательности по сравнению с тем, как они излучались: волны, излученные раньше, придут позже. В этом смысл отрицательного значения частоты v', получаемой из формулы (12.7) при v>u. Изменение частоты колебаний, регистрируемых приемником, происходит и в том случае, когда источник волн неподвижен в среде, а движется приемник. Если, например, приемник приближается к источнику со скоростью ипр, то его скорость относительно гребней волн равна м + гпр. Поэтому регистрируемая им частота колебаний v' равна (12.8) Эта формула справедлива и при удалении приемника от неподвижного источника, только скорость ипр нужно взять с отрицательным знаком. Если приемник удаляется от источника со сверхзвуковой скоростью, то он догоняет ранее испущенные волны и регистрирует их в обратной последовательности. Явление изменения частоты принимаемых волн при движении источника или приемника относительно среды называется эффектом Допплера. Эффект Допплера имеет место также и для электромагнитных волн. Однако в отличие от звуковых волн, где изменение частоты по-разному зависит от скорости приемника и источника относительно среды, для электромагнитных волн в вакууме эффект Допплера определяется только их относительной скоростью, i