Интерференция волн стоячие волны
При одновременном распространении нескольких волн смещения частиц среды представляю! собой векторную сумму смещений, которые имели бы место при распространении каждой волны в отдельности Иначе говоря, волны просто накладываются одна на другую, не искажая друг друга. Этот экспериментальный факт был известен еще Леонардо да Винчи, который заметил, что круги волн на воде от разных источников проходят друг сквозь друга и распространяются дальше, не претерпев никаких изменений. Утверждение о независимом распространении нескольких волн носит название принципа суперпозиции для волнового движения. Мы уже рассматривали распространение в одном направлении двух одинаково поляризованных монохроматических волн с близкими частотами. В результате наложения таких волн получается почти синусоидальная волна с периодически меняющейся в пространстве амплитудой. «Моментальная фотография» такой волны выглядит как следующие друг за другом группы волн (рис. 9.5), а вызываемое волной колебание в какой-либо фиксированной точке имеет характер биений (рис. 8.2). Особый интерес представляет случай сложения так называемых когерентных волн, т. е. волн от согласованных источников. Простейшим примером когерентных волн являются монохроматические волны одинаковой частоты с постоянной разностью фаз. Для истинно монохроматических волн требование постоянной разности фаз будет лишним, так как они являются бесконечно протяженными в пространстве и во времени и две такие волны одинаковой частоты всегда имеют постоянную разность фаз. Но реальные волновые процессы, даже близкие к монохроматическим, всегда имеют конечную протяженность. Для того чтобы такие квазимонохроматические волны, представляющие собой последовательности отдельных синусоидальных цугов, были когерентными, требование постоянной разности фаз является обязательным. Строго говоря, понятие когерентности волн является более сложным, чем описано выше. Подробнее мы познакомимся с ним в разделе «Оптика». При сложении когерентных волн наблюдаются явления интерференции, заключающиеся в том, что вызываемая этими волнами картина колебаний является стационарной, т. е. в каждой точке происходят колебания с не зависящей от времени амплитудой. Разумеется, в разных точках амплитуды колебаний будут различаться. Для расчета интерференционных картин нужно уметь складывать колебания одинаковой частоты, происходящие в одном направлении. Проще всего найти результат сложения таких колебаний, воспользовавшись представлением гармонических колебаний с помощью векторных диаграмм. Пусть складываемые колебания имеют вид x^t)^ А} cos(wf-t-aj), .\:2(f) = ,42cos(co?-¦-oc2). (11.1) Этим колебаниям можно сопоставить векторы А1 и А2 на диаграмме, изображенной на рис. 11.1. Поскольку колебания имеют одинаковую частоту ш, сопоставляемые им векторы вращаются с одинаковой угловой скоро- _ сгью, так что их взаим- N ное расположение остается неизменным. Результирующему колебанию будет соответствовать вектор А, равный сумме Амплитуду А и начальную фазу а результирующего колебания легко найти с помощью рис. 11.1. Применяя теорему косинусов, имеем А2 = A i + А 2 + 2А, А2 cos(at -a2), а для tga справедливо выражение А1 sin a! + А2 sin a2 /^cosaq-f/ljcosocj Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то из выражения (11.3) видно, что энергия результирующего колебания в общем случае »е равна сумме энергий складываемых колебаний. Например, если амплитуды А{ и Аг. одинаковы, амплитуда результирующего колебания может иметь значения от /1=0 при а2 = л (складываемые колебания происходят в противофазе) до А=2А1 при а,— а2 = 0. В первом случае энергия результирующего 25* колебания равна нулю, а во втором она в два раза больше суммы энергий складываемых колебаний. Полученные результаты позволяют легко находить картину интерференции двух когерентных волн одинаковой поляризации. Пусть, например, два когерентных источника, находящихся на расстоянии d друг от друга, создают сферические волны, интерференция которых наблюдается в точке Р (рис. 11.2). Если расстояния и /2 от источников до точки наблюдения Р велики по сравнению с расстоянием d между источниками, то амплитуды обеих волн в точке наблюдения будут практически одинаковыми. Одинаковыми будут и направления смещений точек среды, вызываемых этими волнами в месте наблюдения. Результат интерференции в точке Р будет зависеть от разности фаз между волнами, приходящими в эту точку. Если источники совершают колебания в одинаковой фазе, то разность фаз волн в точке Р зависит только от разности хода / волн от источников до точки наблюдения: /=/2 —/Если эта разность J хода равна целому числу длин волн, l=k t, то волны приходят в точку Р в фазе и, складываясь, дают колебание с удвоенной амплитудой. Если же разность хода равца нечетному числу полуволн, / = (2к +1) t /2, то волны приходят в точку Р в противофазе и «гасят» друг друга: амплитуда результирующего колебания равна нулю. При промежуточных значениях разности хода амплитуда колебаний в точке наблюдения, как следует из формулы (11.3), принимает определенное значение в промежутке между указанными предельными случаями. Каждая точка среды характеризуется ойределенным значением амплитуды колебаний, которое не меняется со временем. Распределение этих амплитуд в пространстве называется интерференционной картиной. Я Гашение колебаний в одних местах и усиление в других при интерференции волн не связаны, вообще говоря, с какими-либо превращениями энергии колебаний. В точках, где колебания от двух волн гасят друг друга, энергия волн отнюдь не превращается в другие виды, например в теплоту. Все сводится лишь к перераспределению потока энергии в пространстве, так что минимумы энергии колебаний в одних местах компенсируются максимумами в других в полном соответствии с законом сохранения энергий. Однако в явлениях интерференции бывают случаи, когда на первый взгляд кажется, что закон сохранения энергии нарушается. Один из таких парадоксов возникает в случае, когда расстояние между двумя одинаковыми когерентными источниками монохроматических волн значительно меньше длины волны: d