Энергия волн
При распространении волн происходит передача энергии без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц вещества и из потенциальной энергии упругой деформации среды. Рассмотрим, например, продольную волну в упругом стержне. В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена по объему стержня неравномерно, так как одни точки стержня в этот момент покоятся, другие, напротив, движутся с максимальной скоростью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в этот момент какие-то элементы стержня не деформированы, другие же деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии волны естественно вводить плотность кинетической и потенциальной энергий. Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается постоянной, а периодически меняется при прохождении волны: энергия распространяется вместе с волной. Начнем с плотности кинетической энергии в монохроматической упругой волне, описываемой уравнением (9.2): (10.1) Выделим в стержне малый элемент длины между плоскостями z и z + Az такой, что его длина А г в недеформированном состоянии много меньше длины волны X. Тогда скорости v всех частиц стержня в этом элементе при распространении волны можно считать одинаковыми. С помощью формулы (10.1) находим скорость v — x, рассматривая x(t, z) как функцию времени и считая величину z, характеризующую положение рассматриваемого элемента стержня, фиксированной: Масса выделенного элемента стержня Am равна pSAz, поэтому его кинетическая энергия А Ех в момент времени t есть AEx=^Amv2 = X-pSAzvi2A2sm2(Si^t~2^j. (10.3) С помощью выражения (10.3) находим плотность кинетической энергии и'к (/, z) в точке z в момент времени t: (t, z) = ¦¦=Ipco2X2sin2o)^-^. (10.4) Перейдем к вычислению плотности потенциальной энергии волны. Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с длиной волны, то вызываемую волной деформацию этого элемента можно считать однородной. Поэтому потенциальную энергию деформации АЕп, в соответствии с формулой (8.9) раздела «Механика», можно записать в виде A?n = isAz?^^2, (10.5) где А/—удлинение рассматриваемого элемента стержня Az, вызванное проходящей волной. Для нахождения этого удлинения нужно рассмотреть положение плоскостей, ограничивающих выделенный элемент, в некоторый момент времени t. Мгновенное положение любой плоскости, равновесное положение которой характеризуется координатой z, определяется функцией x(t, z), рассматриваемой как функция z при фиксированном t. Поэтому удлинение А/ рассматриваемого элемента стержня, как видно из рис. 10.1, равно Если в этом выражении перейти к пределу при Д::-*0, то оно превращается в производную функции x(t, z) по переменной z при фиксированном t. С помощью формулы (10.1) получаем ^^/Isincoff—Y (10.6) \z и \ и] Теперь выражение для потенциальной энергии (10.5) принимает вид AEU=X-S teE^A^J sin2 со — (10.7) а плотность потенциальной энергии и'п(/, z) в точке z в момент времени t есть Поскольку скорость распространения продольных волн и = ч/Ё/р, то правые части в формулах (10.8) и (10.4) совпадают. Это значит, что в бегущей продольной упругой волне плотности кинетической и потенциальной энергий равны в любой момент времени в любой точке среды. Зависимость плотности энергии волны w = И', + И'п от координаты z в фиксированный момент времени t показана на рис. 10.2. Обратим внимание на то, что, в отличие от локализованных колебаний (осциллятор), где кинетическая и потенциальная энергии изменяются в противофазе (рис. 1.4), в бегущей волне колебания кинетической и потенциальной энергий происходят в одинаковой фазе. Кинетическая и потенциальная энергии в каждой точке среды одновременно достигают максимальных значений и одновременно обращаются в нуль. Равенство мгновенных значений плотностей кинетической и потенциальной энергий есть общее свойство бегущих волн, т. е. волн, распространяющихся в определенном направлении. Легко убедиться, что это справедливо, например, и для поперечных волн в натянутой гибкой струне. Смещение элементов струны при прохождении поперечной волны происходит перпендикулярно направлению распространения волны, но описывается той же самой формулой (10.1). Поэтому кинетическая энергия и ее плотность в бегущей поперечной волне даются теми же формулами (10.3), (10 4), что и в продольной волне. При вычислении потенциальной энергии волны учтем, что предварительно натянутая струна уже деформирована и обладает некоторой потенциальной энергией, не имеющей никакого отношения к энергии волны. Нас интересует только та часть потенциальной энергии деформированной струны, которая обусловлена дополнительным растяжением струны, вызываемым волной. Для поперечной волны малой амплитуды сила натяжения струны в любом месте мало отличается от ее значения F в отсутствие волны. Поэтому потенциальная энергия любого элемента струны Az, связанная с волной, равна произведению силы натяжения струны F на малое удлинение этого элемента А/ при прохождении волны. Это удлинение легко подсчитать с помощью теоремы Пифагора (рис. 10.3): Al=y/(Az)2+(Ax)2-Az. При малых амплитудах Ах мало по сравнению с Az, поэтому Теперь выражение для удлинения А/ принимает вид а При Az->0 отношение Ах/Az превращается в производную функции x(t, z) по z при фиксированном t. Поэтому и связанная с волной потенциальная энергия Д?"п участка струны А г принимает вид AEn = FAl=X-F^A2Az-$m2v(t-z\ (10.11) Учитывая, что скорость поперечной волны м = x/F/(Sp), и вычисляя плотность потенциальной энергии wn = AEJ(SAz), убеждаемся, что она равна плотности кинетической энергии w%. Энергия бегущей волны не остается локализованной: она перемещается вместе с волной со скоростью и. Имея выражение для объемной плотности энергии волны w: w(t, z) = wK + wn = pv)2A 2sin2o>^/-^, (10.12) легко найти поток энергии АФ, переносимый волной за единицу времени через произвольную площадку AS, перпендикулярную направлению распространения волны: АФ = н'мА5. (10.13) Величина j=wu (10.14) носит название плотности потока энергии волны. Она была впервые введена русским физиком Н. А. Умовым и имеет смысл энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Плотность потока энергии, как видно из выражения (10.12), осциллирует с удвоенной частотой 2ы. Среднее по времени значение плотности энергии в любой точке, через которую проходит волна, равно (1/2) рсо2/!2. Поэтому перенос энергии волной можно характеризовать средним значением плотности потока энергии < />: 0> = 1рсо2Л2ы. (10.15) Отметим, что средний ноток энергии волны пропорционален квадрату амплитуды и квадрату частоты. До сих пор мы рассматривали волны, распространяющиеся в системе, имеющей бесконечную протяженность только по одному направлению: в цепочке маятников, в струне, в стержне. Но волны могут распространяться и в среде, имеющей бесконечные размеры по всем направлениям. В такой сплошной среде волны бывают разного вида в зависимости от способа их возбуждения. Если, например, волна возникает в результате гармонических колебаний бесконечной плоскости, то в однородной среде она распространяется в направлении, перпендикулярном этой плоскости. В такой волне смещение всех точек среды, лежащих на любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, происходит совершенно одинаково. Если в среде не происходит поглощения энергии волны, то амплитуда колебаний точек среды всюду одинакова и их смещение дается формулой (10.1). Такая волна называется плоской. Волну другого вида - сферическую—создает в однородной изотропной упругой среде пульсирующий шар. Такая волна распространяется с одинаковой скоростью по всем направлениям. Ее волновые поверхности, т. е. поверхности постоянной фазы, представляют собой концентрические сферы. В отсутствие поглощения энергии в среде легко определить зависимость амплитуды сферической волны от расстояния до центра. Поскольку поток энергии волны, пропорциональный, согласно (10.15), квадрату амплитуды, одинаков через любую сферу, то амплитуда волны убывает обратно пропорционально расстоянию г от центра: Л~1/г. Уравнение продольной сферической волны имеет вид x(t, r) = a^cos(o( t-r- ), (10.16) где а есть амплитуда колебаний на расстоянии г0 от центра волны.