Волны в упругих средах
В предыдущем параграфе было показано, что в системе связанных маятников колебательное движение не остается локализованным на одном маятнике: наличие связи между маятниками приводит к передаче колебательного движения от одного маятника к другому. Этот результат, полученный на конкретном примере, имеет общий характер —в системе связанных осцилляторов колебательное возбуждение будет распространяться. Распространение колебаний и представляет собой волновой процесс. С давних пор наглядный образ волны всегда ассоциировался с волнами на поверхности воды. Но волны на воде представляют собой значительно более сложное явление, чем многие другие волновые процессы,— такие, как распространение звука или света в однородной изотропной среде. Поэтому естественно начинать изучение волнового движения не с волн на воде, а с более простых случаев. Проще всего представить себе волну, распространяющуюся по бесконечной цепочке связанных маятников. С бесконечной цепочки мы начинаем для того, чтобы можно было рассматривать волну, распространяющуюся в одном направлении, и не думать о возможном ее отражении от конца цепочки. Если маятник, находящийся в начале цепочки, привести в гармоническое колебательное движение с некоторой частотой со и амплитудой А, то колебательное движение будет распространяться по цепочке, и в отсутствие затухания любой другой маятник в цепочке будет повторять вынужденные колебания первого маятника с некоторым отставанием по фазе. Это запаздывание связано с тем, что распространение колебаний по цепочке происходит с некоторой конечной скоростью. Скорость распространения колебаний и зависит, как мы видели на примере двух связанных маятников, от жесткости соединяющей их пружинки, т. е. от того, насколько сильна связь между маятниками. Если первый маятник в цепочке движется по определенному закону, т. е. его смещение из положения равновесия есть заданная функция времени x{t), то смещение маятника, отстоящего от начала цепочки на расстояние в любой момент времени t будет точно таким же, как смещение первого маятника в более ранний момент времени t — z/u, т. е. будет описываться функцией x(t — z/u). Пусть при гармонических колебаниях первого маятника его смещение из положения равновесия дается выражением x(t) — A cos юг. Каждый из маятников цепочки характеризуется тем расстоянием z, на которое он отстоит от начала цепочки; поэтому его смещение из положения равновесия при прохождении волны естественно обозначить через x(t, z). Тогда, в соответствии со сказанным выше, имеем (9.2) Описываемая уравнением (9.2) волна называется монохроматической. Характерным признаком монохроматической волны является то, что каждый из маятников совершает синусоидальное колебание определенной частоты. Распространение волны по цепочке маятников сопровождается переносом энергии и импульса. Но никакого переноса массы при этом не происходит: каждый маятник, совершая колебания около положения равновесия, в среднем остается на месте. В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания маятников, говорят о волнах разной поляризации. Если колебания маятников называется продольной, если поперек то поперечной. Обычно волны разной поляризации распространяются с разными скоростями. Рассмотренная цепочка связанных маятников пред-1 ставляет собой пример механической системы с сосредоточенными параметрами. Другой пример системы с сосредоточенными параметрами, в которой могут] распространяться волны,—это цепочка шариков, связан-,. /77 А /77 К Рис. 9.1. Цепочка шариков, соединенных пружинками, — пример системы с со-? средоточенными параметрами ных легкими пружинками (рис. 9.1). В такой системе инертные свойства сосредоточены у шариков, а упругие—у пружинок. При распространении волны кинетическая энергия колебаний локализована на шариках, а потенциальная —на пружинках. Легко сообразить, что такую цепочку соединенных пружинками шариков можно рассматривать как модель одномерной системы с распределенными параметрами, например упругой струны. В струне каждый элемент длины обладает одновременно и массой, т. е. инертными свойствами, и жесткостью, т. е. упругими свойствами. Рассмотрим поперечную монохроматическую волну, распространяющуюся в бесконечной натянутой струне. Предварительное натяжение струны необходимо потому, что ненатянутая гибкая струна, в отличие от твердого стержня, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия. Монохроматическая волна в струне описывается тем же выражением (9.2), что и волна в цепочке маятников. Однако теперь роль отдельного маятника играет каждый элемент струны, поэтому переменная z в уравнении (9.2), характеризующая равновесное положение маятника, принимает непрерывные значения. Смещение любого элемента струны из равновесного положения при прохождении волны x(r, z) есть функция двух переменных: времени t и равновесного положения этого элемента z. Если в формуле (9.2) зафиксировать z, т. е. рассматривать определенный элемент струны, то функция x(t, z) при фиксированном z дает смещение выделенного элемента струны в зависимости от времени.. Это смещение представляет собой гармоническое колебание с частотой со и амплитудой А: x(t, z)=A cos(сог + а). (9.3) Начальная фаза колебаний этого элемента струны а равна — (ю/u)z, т. е. зависит от его равновесного положения. Все элементы струны при прохождении монохроматической волны совершают гармонические колебания одинаковой частоты и амплитуды, но различающиеся по фазе. Если в формуле (9.2) зафиксировать t, т. е. рассматривать всю струну в один и тот же момент времени, то функция x(t, z) при фиксированном t дает мгновенную картину смещений всех элементов струны— как бы моментальную фотографию волны. На этой «фотографии» мы увидим застывшую синусоиду Рис. 9.2. Картина смещений разных точек струны в один и тот же момент времени (рис. 9.2). Период этой синусоиды, т. е. расстояние между соседними «горбами» или «впадинами», называется длиной волны X. Из формулы (9.2) можно найти, что длина волны связана с частотой ю и скоростью волны и соотношением где Т—период колебаний. Картину распространения волны можно представить себе, если эту «застывшую» синусоиду привести в движение вдоль оси z со скоростью и. Две последовательные «моментальные фотографии» волны в моменты времени t и t + At на рис. v.i. Видно, что длина волны X равна расстоянию, проходимому любым «горбом» за период колебаний Т, в соответствии с формулой (9.4). Определим скорость распространения монохрома- Рис. 9.3. Распространение волны можно представить себе как движение вдоль оси z синусоиды, показанной на рис. 9.2 тической поперечной волны в струне. Будем считать, что амплитуда А мала по сравнению с длиной волны: A т0 вследствие равенства их скоростей уравнение результирующей волны будет иметь вид z) = A coso)j cosco2 = = 2A cos^f-^-cosoi)^-^, (9.7) где « = (©! + co2)/2, а Дю = со1 —co2. «Моментальные фотографии» монохроматических волн и результирующей волны показаны на рис. 9.5. Там, где «горб» одной волны совпадает с «горбом» другой, в результирующей волне смещение максимально. Поскольку соответствующие отдельным волнам синусоиды бегут вдоль оси z с одинаковой скоростью и, то и результирующая кривая бежит с той же самой скоростью, не меняя своей формы. Оказывается, что это справедливо для Рис. 9.5. Сложение двух монохроматических волн с близкими частотами волнового возмущения любой формы: поперечные волны произвольного вида распространяются в натянутой струне, не меняя своей формы. Если скорость распространения монохроматических волн не зависит от длины волны или частоты,, то говорят, что отсутствует дисперсия. Сохранение формы любой волны при ее распространении есть следствие отсутствия дисперсии. При малой амплитуде дисперсия отсутствует для волн любого вида, распространяющихся в сплошных однородных упругих средах. Это обстоятельство позволяет очень легко найти скорость продольных волн. Рассмотрим, например, длинный упругий стержень площади S, в котором распространяется продольное возмущение с крутым передним фронтом. П>сть в некоторый момент времени t фронт волны, перемещаясь со скоростью м, дошел до точки с координатой z; справа от фронта все точки стержня еще покоятся. Спустя промежуток времени At фронт переместится вправо на расстояние и At (рис. 9.6). В пределах этого слоя все частицы движутся с одной и той же скоростью v. Спустя промежуток времени At частицы стержня, находящиеся в момент t на фронте волны, переместятся вдоль стержня на расстояние v At. Применим к вовлеченной за время At в волновой процесс массе стержня Am = рSu At закон сохранения импульса: v Am = v pSu At = F At. (9.8) Действующую на массу Am силу F выразим через деформацию элемента стержня с помощью закона Гука: Т=-- (9.9) I ES v ' Длина / выделенного элемента стержня равна и At, а изменение его длины А/ под действием силы F равно v At. Поэтому с помощью (9.9) находим F=ES~. (9.10) и Подставляя это значение в (9.8), получаем и = ^Ё/р. (9.11) Скорость продольных звуковых волн в упругом стержне зависит только от модуля Юнга Е и плотности р. Легко убедиться, что в большинстве металлов эта скорость составляет примерно 5 км/с. Скорость продольных волн в упругой среде всегда больше скорости ноперечных. Сравним, например, скорости продольных и поперечных волн и, и ut в натянутой гибкой струне. Поскольку при малых деформациях упругие постоянные не зависят от приложенных сил, то скорость продольных волн в натянутой струне не зависит от ее предварительного натяжения и определяется формулой (9.11). Для того чтобы сравнить эту скорость с найденной ранее скоростью поперечных волн и„ выразим натягивающую струну силу F, входящую в формулу (9.6), через относительную деформацию струны е = А///0, обусловленную этим предварительным натяжением: ? = F/(SE). Подставляя значение F в формулу (9.6), получаем Таким образом, скорость поперечных волн в натянутой струне м, оказывается значительно меньше скорости продольных волн, так как относительное растяжение струны 8 много меньше единицы.