Волны связанных маятников
Волны представляют собой процесс распространения колебаний.. Волны бывают самой разнообразной природы: в зависимости от того, что колеблется и где распространяется, различают звуковые волны в упругой среде, волны на поверхности воды, электромагнитные волны в пустоте или в веществе и т. п. Несмотря на различную физическую природу, волны любого типа, как и колебания разной природы, имеют очень много общего и подчиняются аналогичным закономерностям. Поэтому целесообразно изучать их совместно. Чтобы получить представление о процессе распространения колебаний, рассмотрим простую механическую систему. Пусть два одинаковых маятника с жесткими стержнями соединены слабой пружиной ничтожной массы так, как показано на рис. 8.1а. Рис. 8.1. Связанные маятники и их нормальные моды Маятники могут совершать колебания в плоскости чертежа. Когда они висят вертикально, пружинка не деформирована. В отличие от всех колебательных систем, рассмотренных выше, такие связанные маятники представляют собой механическую систему с двумя степенями свободы. Для задания механического состояния этой системы нужно указать положения и скорости обоих маятников. Какие колебания возможны в такой системе? Рассмотрим сначала собственные колебания, которые возникают, если систему вывести из состояния равновесия и предоставить самой себе. Вид этих колебаний определяется начальными условиями. Если, например, отклонить оба маятника из положения равновесия в одну сторону на один и тот же угол и отпустить (рис. 8.16), то маятники будут качаться синхронно и пружинка будет все время оставаться в недеформированном состоянии. Это значит, что пружинка не оказывает на такое движение маятников никакого влияния. Каждый из маятников совершает гармоническое колебание, а амплитуды и фазы у них одинаковы. Частота этих колебаний «j совпадает с частотой собственных гармонических колебаний одиночного маятника. Обозначая смещения маятников через X, и х2, а начальное отклонение через А, можем написать хх (t) = A coscQj/, х2 (t) = A coscoj?. (8.1) Но если отклонить маятники на одинаковый угол в противоположные стороны и отпустить (рис. 8.1 в), то маятники будут качаться в противофазе. Колебания маятников и в этом' случае будут гармоническими, но частота колебаний а)2 будет больше, чем со,. Действительно, при колебаниях такого типа в каждый момент времени деформированная пружина стремится повернуть маятники в ту же сторону, что и сила тяжести, т. е. в положение равновесия. Это приводит к увеличению частоты колебаний. Выражения для смещений маятников при начальном отклонении на расстояние А навстречу друг другу имеют вид Xi (t) = A cosoo2/, х2 (/)= — A cos = (ю1 + ш2)/2—средняя частота, а Дсо = со2 —со,— разность частот нормальных колебаний. Если связывающая маятники пружинка очень слабая, то ее влияние на маятники мало, и поэтому частота (о2 мало отличается от частоты со1 колебаний под действием только поля тяжести. В этом случае Дсо«:со и правые части выражений (8.3) можно рассматривать как уравнения синусоидальных колебаний с частотой со и медленно пульсирующими амплитудами. Графики этих колебаний показаны на рис. 8.2. Такое движение, получающееся в результате сложения гармонических колебаний с близкими частотами, носит название биений. Из формул (8.3) видно, что в начальный момент / = 0 х1 = 2А, .х2 = 0. Это значит, что начальные условия, приводящие к такому движению, имеют вид: в начальный момент времени первкй маятник смещен из положения равновесия вправо на расстояние 2А, а второй маятник удерживается в положении равновесия. Легко видеть, что эти начальные условия представляют собой суперпозицию начальных условий для нормальных колебаний (8.1) и (8.2), как, разумеется, и должно быть. Вся энергия колебаний в начальный момент сосредоточена у первого маятника. Но постепенно амплитуда его колебаний, как видно из рис. 8.2, убывает, а амплитуда колебаний второго возрастает. Через промежуток времени Т0/2 = п/Асо, равный половине периода биений, вся энергия будет сосредоточена у второго маятника. Затем энергия колебаний снова переходит к перьому маятнику, и т. д. Процесс перекачки энергии колебаний от одного маятника к другому осуществляется благодаря связывающей маятники упругой пружине. Чем больше жесткость пружины, тем быстрее происходит передача энергии. По сути дела, биения связанных маятников представляют собой волну в системе с двумя степенями свободы. Опыт для наблюдения нормальных колебаний и биений связанных маятников можно осуществить очень просто. Для этого достаточно подвесить два одинаковых грузика на нитях одинаковой длины к горизонтальной нити на некотором расстоянии друг от друга. Горизонтальная нить служит не только для подвешивания маятников, но и осуществляет связь между ними, т. е. играет роль еще и пружинки в описанном выше опыте. Эта связь будет эффективнее, если горизонтальную нить не натягивать сильно: она должна заметно провисать под тяжестью грузиков. Наблюдать колебания маятников удобнее в плоскостях, перпендикулярных горизонтальной нити. Если один из маятников отклонить из положения равновесия и отпустить, то через некоторое время он остановится, но другой маятник будет раскачиваться. Затем снова раскачается первый маятник, а второй остановится, и т. д. Рассмотрим теперь установившиеся вынужденные колебания системы связанных маятников под действием 24 синусоидальной внешней силы, считая трение пренебрежимо малым. Приложить эту силу можно таким же способом, как и при изучении вынужденных колебаний одиночного маятника. Можно взять длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее, на- пример, к первому маятнику, как показано на рис. 8.3. Другой конец этой длинной пружины следует привести в движение по закону В cos (at. Действующая со стороны этой пружины на первый маятник сила будет синусоидальной, если амплитуда В левого конца пружины будет много больше амплитуды колебаний стержня первого маятника в точке закрепления пружины. При установившихся вынужденных колебаниях каждый из маятников совершает гармоническое колебание с частотой, равной частоте внешнего воздействия. Если частота внешней силы очень мала, т. е. много меньше любой из частот нормальных колебаний, то оба маятника качаются с малыми амплитудами в фазе друг с другом и в фазе с вынуждающей силой. В предельном случае нулевой частоты, т. е. под действием постоянной внешней силы, маятники просто отклоняются в одну сторону в направлении действия силы и занимают новые положения равновесия. По мере увеличения частоты внешней силы со маятники по-прежнему колеблются в фазе, а амплитуды растут (рис. 8.4 а), пока частота ш не достигнет значения ©и т. е. частоты первого нормального колебания связанных маятников. При малом трении на этой частоте в системе отчетливо проявляется резонанс — амплитуда установившихся колебаний максимальна. В этом случае вынужденные колебания очень похожи на свободные нормальные колебания системы маятников на частоте ю1 (рис. 8.16). Внешняя сила при этом лишь компенсирует затухание. На рис. 8.4 направление действия вынуждающей силы показано стрелками. При дальнейшем увеличении частоты амплитуды вынужденных установившихся колебаний маятников убывают, и при некоторой частоте со3, лежащей в промежутке между частотами нормальных колебаний сох и ю2, амплитуда колебаний первого маятника обраща- ется в нуль. Этот маятник стоит неподвижно, в то время как второй маятник качается с небольшой амплитудой в противофазе с внешней силой (рис. 8.46 и в). Первый маятник неподвижен, потому что действующие на него со стороны пружин силы в каждый момент времени уравновешиваются. Если частоту внешней силы еще немного увеличить, то первый маятник опять будет качаться, но уже в противофазе со вторым. При частоте со = ю2 в системе снова наступает резонанс. Амплитуды резко возрастают, но, в отличие от резонанса на частоте со15 маятники качаются в противофазе друг с другом. При этом резонансе вынужденные колебания маятников очень похожи на свободные нормальные колебания на частоте со2 (рис. 8.1 в). Дальнейшее увеличение частоты со приводит к тому, что амплитуды вынужденных колебаний маятников снова убывают. Характер таких колебаний иллюстрируется рис. 8.4г. Самым неожиданным в вынужденных колебаниях связанных маятников является, пожалуй, то, что на некоторой частоте со3 тот маятник, на который действует внешняя сила, неподвижен. Глядя на рис. 8.46 и в, легко сообразить, что частота со3, на которой это происходит, есть частота свободных колебаний второго маятника в этой системе, если первый закрепить неподвижно в положении равновесия. Строго говоря, амплитуда вынужденных колебаний первого 24* маятника на частоте а>3 равна нулю только при полном отсутствии трения. В противном случае первый маятник будет совершать колебания небольшой амплитуды, необходимые для поддержания стационарных колебаний второго маятника. Это явление может быть использовано для борьбы с резонансом, ибо с его помощью интенсивные колебания можно перенести в дополнительно присоединенное устройство, колебания которого не причиняют вреда. Такой метод борьбы с вибрациями называется динамическим демпфированием и может применяться там, где частота вредных вибраций постоянна.