Несинусоидальные колебания
Во всех упоминавшихся выше примерах автоколебательных систем обязательным элементом являлся резонатор. Другими словами, в отсутствие обратной связи в этих системах возможны собственные затухающие колебания. При наличии обратной связи в них устанавливаются самоподдерживающиеся почти синусоидальные колебания. Частота таких колебаний задается резонатором. Но автоколебания могут происходить и в системах, не содержацих резонатора. Колебания при этом, как правило, не являются гармоническими. Типичными примерами таких систем могут служить генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе и гидравлическое устройство, показанное на рис. 7.1. В сосуд, снабженный сифоном С, с постоянной скоростью натекает вода из крана К. Пока сифон не заполнен иг - Рис. 7.1. Типичный пример релаксационных колебаний водой, уровень воды в сосуде растет со временем по линейному закону. Но как только уровень достигает высоты h1, сифон срабатывает и уровень воды в сосуде падает до значения И2, после чего сосуд снова начинает заполняться водой из крана. Скорость опорожнения сосуда через сифон v2 можно сделать гораздо больше скорости его наполнения через кран v1, так как скорость воды в сифоне зависит от разностей уровней h2 и /г3. и и/ Далее описанный процесс будет повторяться периодически. Зависимости уровня воды h и скорости его изменения v от времени показаны в правой части рис. 7.1. Видно, что колебания уровня воды и скорости не являются синусоидальными. Соответствующая этим колебаниям фазовая диаграмма приведена на электрическая схема показана на рис. 7.3. Неоновая лампа Л обладает тем свойством, что ток через нее не проходит до тех пор, пока приложенное к лампе напряжение не достигнет определенной величины, называемой напряжением зажигания ?/3. Если после возникновения тлеющего разряда в лампе напряжение на ней несколько уменьшить, то лампа будет продолжать гореть. Ток через лампу прекратится лишь тогда, когда напряжение будет уменьшено до определенного значения, называемого напряжением гашения UT. При замыкании ключа конденсатор С начинает медленно заряжаться через сопротивление R. Как только напряжение на конденсаторе достигнет значения, равного напряжению зажигания лампы t/3, в лампе возникает газовый разряд, и конденсатор начинает быстро разряжаться через лампу, так как сопротивление горящей неоновой лампы очень мало. Когда напряжение на конденсаторе уменьшится до значения напряжения гашения Ur, разряд в лампе прекращается, и конденсатор опять начинает заряжаться. Затем все повторяется снова. График зависимости напряжения на конденсаторе от времени [/(/) приведен на рис. 7.4. Автоколебания, происходящие в генераторе на неоновой лампе и в рассмотренном выше гидравлическом Рис. 7.4. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени устройстве, носят название релаксационных. Для таких колебаний характерно постоянное накопление энергии системой до некоторого значения, а затем быстрое «избавление» от накопленной энергии. Аналогом накопительного бачка в гидравлическом устройстве является конденсатор в генераторе пилообразного напряжения, аналогом сифона является неоновая лампа, а роль крана играет сопротивление R. Возможные типы автоколебаний не исчерпываются Рассмотренными примерами. Форма колебаний не обязательно бывает синусоидальной или пилообразной — она может быть какой угодно другой. Это относится не только к автоколебаниям, но и ко всем колебаниям вообще, включая и собственные, и вынужденные. Синусоидальные колебания, конечно, занимают особое место. Во-первых, потому, что они очень часто встречаются: малые колебания вблизи устойчивого положения равновесия можно считать синусоидальными, так как в непосредственной окрестности минимума потенциальной энергии ее зависимость от смещения можно считать квадратичной. Во-вторых, такие колебания достаточно просты для математического исследования, и часто оказывается удобным представлять более сложные колебания как суперпозицию простых гармонических колебаний. В общем случае несинусоидальные колебания сложнее синусоидальных. Но можно привести примеры таких систем, в которых несинусоидальные колебания могут быть легко исследованы. Приведем несколько примеров несинусоидальных собственных колебаний. Простейший пример —это движущийся без трения по горизонтали упругий шарик, поочередно отражающийся от двух параллельных вертикальных стенок (рис. 7.5). Если удар о стенку считать абсолютно 1 1 1 1 V 0 Рис. 7.5. Шарик, упруго отражающийся от стенок, и его фазовая траектория -и V V2gh О -VIgh Рис. 7.6. Фазовая траектория шарика, отскакивающего от горизонтальной упругой плиты в поле тяжести упругим, то неизменная по модулю скорость шарика практически скачком меняет направление у стенки. Фазовая траектория движения шарика радиуса г показана на нижней части рис. 7.5. Обратим внимание, что скорость шарика, а следовательно, и период колебаний, в отличие от синусоидальных колебаний, зависят от начальных условий. Другой пример - шарик, свободно падающий в поле тяжести и упруго отражающийся от горизонтальной плиты (рис. 7.6). Период колебаний шарика зависит от максимальной высоты подъема /г, которая определяется начальными условиями, и равен 2 ^Jlhjg. Зависимость скорости шарика от его высоты х легко определяется с помощью закона сохранения энергии: v{x)=±Jl g(h-x). (7.1) Фазовая траектория, изображенная на рис. 7.6, состоит из вертикального участка, соответствующего мгновенному изменению скорости шарика при ударе о плиту, и параболы, определяемой уравнением (7.1). Для удобства начало отсчета высоты шарика х выбрано на высоте г над плитой, где г—-радиус шарика. ВОПРОСЫ 1. Как строится векторная диаграмма для нахождения установившихся вынужденных колебаний при синусоидальном внешнем воздействии? 2. Чем определяются частота, амплитуда и фаза установившихся вынужденных гармонических колебаний? 3. Опишите различие резонансных кривых для амплитуды смещения и амплитуды скорости. Какими характеристиками осциллятора определяется острота резонансных кривых? 4. Чем отличаются гармонические вынужденные колебания от собственных с точки зрения энергетических превращений? В чем особенность энергетических превращений при резонансе? 5. Что будет, если в режиме установившихся вынужденных колебаний произойдет случайное уменьшение (или увеличение) их амплитуды? Приведите обоснование ответа на основе энергетических соображений. 6. Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний при резонансном внешнем воздействии? 7. Как происходит установление вынужденных колебаний при м<ш0 и ш>(00? Проиллюстрируйте ответ примерными графиками. 8. Как выглядят фазовые диаграммы колебаний осциллятора, возбуждаемых короткими периодическими толчками? 9. В чем различие между вынужденными колебаниями и авто-хлебаниями с точки зрения их частоты и амплитуды? 10. Опишите качественно энергетические превращения при автоколебаниях груза на движущейся ленте транспортера. 11. В чем заключаются принципиальные различия автоколебаний в системах с резонатором и без резонатора? 12. Проанализируйте зависимость периода несинусоидальных колебаний от амплитуды на примере шарика, отскакивающего от упругой горизонтальной плиты