Автоколебания
Наиболее интересными, хотя и очень сложными для исследования являются системы, в которых колебания возникают не за счет начального толчка и не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у каждой из таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы носяг название автоколебательных. Наиболее известный пример автоколебательной системы обычный часовой механизм. Характерные элементы автоколебательной системы, или, как говорят, генератора незатухающих колебаний,— это резонатор, источник энергии и обратная связь между резонатором и источником энергии. Резонатор представляет собой систему, в которой могут происходить собственные затухающие колебания. Примерами резонатора могут служить маятник настенных часов или балансир наручных, колебательный контур в ламповом генераторе, струна в смычковом музыкальном инструменте. Обратная связь представляет собой Устройство, с помощью которого генератор сам регулирует поступление энергии от источника Обратная связь в приведенных примерах осуществляется анкерным механизмом в часах, индуктивно связанной с колебательным контуром катушкой обратной связи в ламповом генераторе, смычком в руках музыканта. Наличие трения в резонаторе приводит к диссипации энергии колебаний. Однако обратная связь обеспечивает необходимое восполнение энергии, так что амплитуда колебаний остается неизменной. Как и при вынужденных колебаниях под действием периодической внешней силы, при автоколебаниях, независимо от начального состояния, в конце концов устанавливается стациона ный режим колебаний с определенной частотой и а плитудой. Но в отличие от установившихся вынужде ных колебаний, где частота и амплитуда определяютс внешним воздействием, в случае автоколебаний как частота, так и амплитуда определяются только свойствами самой системы. Анализ уравнений, описывающих даже самые простые реальные автоколебательные системы, представляет собой сложную задачу. Поэтому мы рассмотрим упрощенную модель автоколебательной системы, допускающую сравнительно простое исследование. Ранее был рассмотрен пример колебаний, затухающих под действием силы сухого трения, значение которой не зависит от скорости. Пока направление скорости оставалось неизменным, движение при наличии постоянной силы трения происходило так, как при незатухающем гармоническом колебании около смещенного положения равновесия (рис. 2.5). При пе ремене направления скорости и, следовательно, направления силы трения происходило изменение положени равновесия. Затухание колебаний, как видно из фазово5' диаграммы на рис. 2.6, проявлялось в переходах от одного положения равновесия к другому, хотя дис сипация энергии и выделение теплоты при наличи сухого трения происходили непрерывно. А что будет, если каким-либо способом добитьс того, чтобы перескоков от одного положения равно весия к другому не происходило? Этого легко добитьс например, положив прикрепленный к пружине брус на ленту транспортера, которая движется со скорость и, большей максимального значения скорости колебани груза на пружине (рис. 6.1). Поскольку в этом случав на брусок все время действует постоянная сила трения мнаправленная направо, то уравнение движения бруска имеет вид mx=—kx+\img. (6.1) Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой (?>0 = у/к /т около нового положения равновесия х0, в котором пружина находится в растянутом на величину x0 = \xmg/k состоянии. Тогда уравнение (6.1) можно записать в виде х= -и>1(х-х0). (6.2) Это значит, что координата бруска х зависит от времени по следующему закону: x(t) = x0 + A cosсо0/. (6.3) В выражении (6.3) начало отсчета времени выбрано в момент наибольшего смещения бруска направо. Скорость движения бруска х в этом случае равна .*(?) = — А со0 sin co0t. (6.4) Фазовая траектория этого движения изображена в нижней части рис. 6.1. В координатах х, х/а>0 она представляет собой окружность с центром в точке х0. Изображающая состояние бруска точка движется вдоль фазовой траектории по часовой стрелке. Радиус окружности равен амплитуде колебаний А, и он, как было указано, меньше величины и/а>0, где и — скорость ленты транспортера. Рассмотрим описанные колебания груза с точки зрения энергетических превращений в системе. Прежде всего вспомним, что в отсутствие трения фазовая фаекгория свободных колебаний представляет собой окружность с центром в начале координат (рис. 1.7). ' а к как энергия в такой системе постоянна, то всем точкам этой окружности соответствует одна 11 та же энергия. Энергия осциллятора пропорциональна квадрату радиуса окружности. Чем дальше лежит изображающая состояние точка от начала координат, тем больше энергия системы в этом состоянии. Теперь из фазовой диаграммы на рис. 6.1 видно, что на нижней половине окружности, соответствующей движению бруска справа налево, энергия системы убывает, а на верхней полуокружности, т. е. при движении слева направо, энергия возрастает. Эти изменения энергии обусловлены исключительно действием силы трения. Пока брусок движется справа налево, сила трения направлена против скорости и тормозит движение бруска, уменьшая энергию системы. Но при движении слева направо сила трения направлена вдоль скорости и, подталкивая брусок, увеличивает энергию системы. Это и приводит к возможности существования незатухающих колебаний в системе: убыль энерг ии за одну половину периода восполняется за другую половину. И все это происходит в результате действия постоянной силы трения. Приведенные результаты можно проиллюстрировать и с помощью закона сохранения энергии. Действительно, полная энергия бруска на пружине при рассматриваемых колебаниях равна Е=Ек + Еп={-тх2 + 1-кх2 = =^та>оА 2 sin2(o0? + ~к{х0 + А cosco0f )2. Раскрывая скобки в последнем слагаемом и перегруппировывая члены, найдем Е=^к(хо + А 2)+кх0 A cosco0?. (6.5) Выражение для энергии (6.5) содержит осциллирующее слагаемое, среднее значение которого за период равно нулю. Из (6.5) легко найти скорость изменения энергии dE/df. dF — = — Ъс0/1 со0 sin w0z. (6.6) В соответствии с законом сохранения энергии эта] величина должна быть равна мощности действующей на брусок силы трения. Непосредственно вычисляя мощность силы трения: убеждаемся, что она совпадает с правой частью выражения (6.6). Таким образом, мощность силы трения на протяжении периода колебаний принимает и отрицательные, и положительные значения, а ее работа за период равна нулю: по истечении целого периода энергия системы принимает прежнее значение. Если бы лента транспортера была неподвижной, то, как видно из формулы (6.7), мощность силы трения была бы все время отрицательной, так как сила трения меняла бы свое направление одновременно с изменением направления скорости. Это приводило бы к быстрому прекращению колебаний. Остановимся на особенностях выделения теплоты в результате трения в рассматриваемом примере. Сила 'трения, действующая со стороны бруска на ленту транспортера, постоянна и равна \xtng, или кх0. Поэтому приводящий ленту в движение со скоростью и мотор развивает постоянную мощность Р, равную кх0и. Если бы брусок не совершал колебаний, то выделяющаяся в единицу времени теплота была бы равна этой мощности. При колебаниях же бруска только среднее значение скорости выделения теплоты равно кх0и. В те половины периодов колебаний, когда действующая на брусок сила трения увеличивает энергию осциллятора, скорость выделения теплоты меньше этого среднего значения кх0и. В те половины периодов, когда сила трения уменьшает энергию осциллятора, скорость выделения теплоты превосходит мощность, развиваемую мотором. Все это отчетливо видно из выражения для скорости выделения теплоты dQ/dt, которая определяется относительной скоростью ленты и бруска и — х\ ~ = FTp(u — x) = kx0(u + (t>0A sin co0f). (6.8) Подчеркнем, что dQ/dt всегда положительна, поскольку скорость ленты и больше амплитудного значения скорости ю0А. Так, разумеется, и должно быть, так как при трении теплота может только выделяться. Рассмотрим теперь, как происходит установление стационарного режима колебаний в изучаемой модели автоколебательной системы и чем определяется значение амплитуды. Начнем с наиболее простого случая: "Русок в начальный момент покоится в положении, соответствующем недеформированной пружине. Точка, изображающая такое начальное состояние, находится в начале координат на фазовой плоскости. Пусть скорость ленты и настолько велика, что и>х0(о0. Сила трения начинает ускорять брусок, и его движение происходит, согласно уравнению (6.2), так же, как и при гармоническом колебании около точки y0. В течение первой четверти периода с момента начала; движения скорость бруска растет, но все же вследствие условия m>.v0co0 не достигает значения, равного скорости ленты. Действительно, фазовая траектория этого движения представляет собой окружность с центром а0, проходящую через начальное состояние, т. е. через начало координат (рис. 6.2). Радиус этой окружности, i" Ч Рис. 6.2. Фазовая диаграмма в случае быстрого движения ленты (или малого коэффициента трения) равный х0, и представляет собой амплитуду автоколебаний А. Так как этот радиус, согласно условию м>л0ю0, меньше м/ш0, то скорость ленты больше амплитудного значения скорости бруска и сила трения все время направлена в одну сторону. Пусть теперь скорость ленты такова, что и<л0ю0. Теперь фазовая траектория на начальном участке Ц движения бруска будет представлять собой окружность ? с центром в точке х0 только до тех пор, пока скорость ? бруска не сровняется со скоростью ленты и. Этому* моменту соответствует точка В фазовой диаграммы ?§ на рис. 6.3. В этот момент проскальзывание прекращать ется, трение скольжения заменяется трением покоя и сила трения скачком падает до значения кх1, равног(Я силе натяжения пружины. Брусок движется вместе® с лентой с постоянной скоростью и, растягивая пружину до тех пор, пока сила натяжения пружины кх i'e * станет равной максимальному значению силы трения покоя \x.mg — kx0. С этого момента снова начинается ? проскальзывание, и фазовая траектория дальнейшего® движения бруска представляет собой окружность с центром в точке х0. Ее радиус равен и/со0. Это и есть Значение амплитуды А установившихся автоколебаний. Такая «сшитая» из различных кусков фазовая траектория всегда соответствует тому, что движение тела на разных участках описывается разными уравнениями. В самом деле, движение на начальном участке ОБ происходит в соответствии с уравнением колебаний (6.2). На участке ВС, где сила трения покоя уравновешивает силу натяжения пружины, уравнение движения имеет вид х = 0, а его решение есть х = и. В дальнейшем движение снова описывается уравнением колебаний (6.2). На нижней части рис. 6.3 приведена зависимость смещения бруска от времени для рассмотренного случая. Рассмотрим, как происходит установление колебаний при других начальных условиях. Пусть, например, находящемуся в точке х = 0 бруску сообщается начальная скорость, большая скорости ленты и. Такому начальному состоянию соответствует точка В на рис. 6.4. В этом случае в начальный момент действующая на брусок сила трения скольжения направлена налево и уравнение движения имеет вид mx=—kx — \nmg. (6.9) Это уравнение описывает гармоническое колебание с частотой о = ^к/т около положения равновесия — х0, где х0 = \img/k. 1 «этому начальный участок фазовой траектории пред-11 авляет собой часть окружности с центром в точ-Ке Как только скорость бруска уменьшится до значения, равного скорости ленты (точка С на рис. 6.4), сила трения скачком меняет направление на противоположное. Дальнейшее движение бруска представляет собой колебание около положения равновесия х0. На Рис. 6.4. Фазовая диаграмма в случае, когда начальная скорость бруска больше скорости ленты X о»о В V Рис. 6.5. Зависимость силы сухого трения от скорости фазовой диаграмме ему соответствует часть окружности с центром в точке х0. В точке D, где скорость бруска снова станет равна скорости ленты м, может произойти следующее. Если точка D окажется правее точки — ,v0, го в этот момент трение скольжения заменится трением покоя, и дальше все будет происходить так же, как на рис. 6.3. Этот случай показан на рис. 6.4. Если же точка D окажется левее точки — jc0, то сила трения скольжения опять скачком изменит направление, и фазовая траектория дальнейшего движения будет представлять собой часть окружности с центром в точке — х0. И так будет продолжаться до тех пор, пока фазовая траектория не попадет на прямую х = и в промежутке между точками — х0 и х0. После этого фазовая траектория, как и прежде, выйдет на ту же самую предельную окружность с центром в точке и радиусом А = и/со0. Таким образом, если начальное состояние системы изображается любой точкой на фазовой плоскости, лежащей вне этой предельной окружности, то фазовая траектория системы в конце концов выходит на нее. Амплитуда установившихся автоколебаний, т. е. радиус предельной окружности, как мы видим, при этом не зависит от начального состояния. Если же начальное состояние изображается точкой, лежащей внутри предельной окружности, то фазовая траектория колебаний представляет собой окружность с центром в точке х0, проходящую через начальное состояние. Такой случай показан на рис. 6.2. Может показаться, что рассмотренная упрощенная модель автоколебательной системы на самом деле не будет работать, если ее осуществить на опыте. Дело в том, что в любой системе всегда присутствует трение, пропорциональное скорости, например сопротивление воздуха. В результате на фазовой плоскости вместо предельного цикла — окружности с центром в х0 — будет получаться спираль, закручивающаяся вокруг точки д:0, подобно тому как это происходило при собственных затухающих колебаниях. Так бы, разумеется, и было, если бы сила сухого трения действительно совершенно не зависела от скорости. Но реально небольшая зависимость все-таки есть. Она показана на рис. 6.5. Осуществить модель автоколебательной системы удается потому, что на графике этой зависимости имеется «падающий» участок, где трение убывает с увеличением скорости. Если выбрать скорость ленты и так, как показано на рис. 6.5, то можно добиться компенсации трения, зависящего от скорости, и осуществить предельный цикл в такой системе, т. е. получить незатухающие автоколебания. При практическом выполнении опыта удобно использовать не брусок на движущейся ленте, а маятник в виде жесткого стержня с муфтой, надетой на вращающийся вал.