До сих пор мы рассматривали собственные колебания, т. е. колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой ~ себе. Уравнение собственных колебаний (1.5) или (1.9) вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: оно отражается лишь в начальных условиях. Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, I что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом. Рассмотрим вначале наиболее простой случай установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, меняющейся по синусоидальному закону: F(t) = F0 cos юг. (4.1) Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде заряженного шарика на длинном стержне из диэлектрика и поместить его между вертикальными пластинами плоского конденсатора, на которые подается переменное синусоидальное напряжение (рис. 4.1). Вынужденные колебания маятника можно получить и чисто механическим путем. Для этого вместо конденсатора можно взять длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 4.2. Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону /?cosco? с помощью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины С. Применяя к рассматриваемой системе второй закон Ньютона, можно убедиться, что уравнение движения -2 Е. И. маятника при не слишком больших амплитудах колебаний будет иметь вид тх — — кх — Pi + F0cosw/. (4.2) Первое слагаемое в правой части представляет собой квазиупругую возвращающую силу, обусловленную действием на маятник поля тяжести. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила- трения в оси. Рис. 4.1. Вынужден- Рис. 4.2. Другой способ возбуждения вынужденных ные колебания, возбу- колебаний ждаемые переменным электрическим полем Амплитуда вынуждающей силы F0 равна произведению заряда маятника q на амплитуду переменной напряженности электрического поля Е0 в конденсаторе в первом случае и пропорциональна произведению максимального смещения левого конца пружины В на ее жесткость во BTopovi случае. Разделим обе части уравненля (4.2) на массу т и введем обозначения: 2 к 1 Р г Fo с2у = —, /0 = —. т т т Теперь уравнение (4.2) принимает вид x+2yx+u>0x=f0 cosco/. (4.4 В отсутствие вынуждающей силы правая часть уравна (4.4) обращается в нуль, и оно, как и следовало ожидат сводится к уравнению собственных затухающих колеба! Вынужденные колебания в любой системе, способной в отсутствие прения совершать гармонические собственные колебания, будут при наличии синусоидальной вынуждающей силы и сопротивления, пропорционального скорости, описываться таким же уравнением (4.4). Величина х в любой и-и„ьо$ыг системе характеризует отклонение от равновесия, а постоянные коэффициен-I ы у. «>о и /о определяются параметрами описываемой системы. Например, уравнение (4.4) описывает вынужденные колебания в контуре из последова- Рис 4 3 Последовательно соединенных емкости С, индук- ,ельный л""конт;ф тивности L и сопротивления R, к которому приложено синусоидальное внешнее напряжение U=U0cosm (рис. 4.3). Действительно, U(t) в каждый момент времени равно сумме напряжений на отдельных элементах цепи: U{t)=UL+UR+Uc. (4.5) Подставляя в (4.5) Uc = q/C, UR = qR и UL — Lq, получим уравнение q + 2yq + a>Qq=f0 coscor, (4.6) где использованы обозначения: 2Г4 (4.7) Как найти решение уравнений (4.4) или (4.6), описывающее установившееся вынужденное колебание? При изучении переменного тока мы видели, что в последовательном контуре под действием синусоидального внешнего напряжения устанавливаются также синусоидальные колебания тока, происходящие с той же частотой, но с некоторым сдвигом по фазе относительно приложенного напряжения. Но эти колебания описываются уравнением (4.6). Значит, установившиеся вынужденные колебания в любой системе, описываемой таким уравнением, будут происходить по синусоидальному закону с частотой внешнего воздействия. Поэтому решение уравнений (4.6) или (4.4), которое описывает не переходный процесс, а именно Установившиеся колебания, следует искать в виде где частота со совпадает с частотой в правой части уравнения (4.4), а постоянные амплитуда b и сдвиг фазы 0 нужно выбрать так, чтобы функция (4.8) являлась решением уравнения (4.4). Амплитуду b и сдвиг фазы 8 удобно определить с помощью векторных диаграмм, подобно тому как это делалось при изучении переменного тока. Сопоставим каждому члену уравнения (4.4) вращаю-1 щийся с угловой частотой вектор, модуль которого! равен амплитудному значению этого члена. Мгновенное] значение каждого члена получается проецированием соответствующего вектора на некоторое заранее выбранное направление. Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение (4.4) означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине /0 cos со?, стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения\ (4.4), учитывая, что x(t) дается формулой (4.8): COqX = COOb COS (СО/ — 0). 2ух = — 2усоb sin(cof —0) = 2усо/> cos ¦ со/ — 0 + * j, (4.9) X— — ы2Ь cos (со? — 0) = со26 cos (со/ — 0 +я). Из формул (4.9) видно, что вектор длиной 2усоЬ, сопоставляемый величине 2ух, опережает на угол тс/2 вектор coq Ь, сопоставляемый величине coqX. Вектор со2Ь, сопоставляемый члену .v, опережает на л вектор Рис. 4.4. Векторная диаграмма выну- Рис. 4.5. Вектор /0 сопоставляется жденных колебаний, описываемых правой части уравнения (4.4) ) уравнением (4.4) со о Ь, т. е. эти векторы направлены в противоположные стороны. Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на Зся система векторов вращается как целое с уг-ювой частотой со против часовой стрелки вокруг точки О. Мгновенные значения всех величин получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление NN. Вектор, сопоставляемый правой части уравнения (4.4), равен сумме векторов, изображенных на рис. 4.4. Это сложение показано на рис 4.5. Применяя теорему Пифагора, получим /о = (шо~а>2)262 + 4у2со262, откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний b: h = /о -. (4.10) v'(a>o-w2)2 + 4Y2w2 Сдвиг фазы 0 между вынуждающей силой/(/) и смещением x(t), как видно из векторной диаграммы на рис. 4.5, равен (4.1D 0)о — ссг Итак, установившиеся вынужденные колебания происходя! но гармоническому закону (4.8), где b и 0 определяются формулами (4.10) и' (4.11). Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы /0. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если у = 0. то при стремлении со к частоте свободных колебаний со0 амплитуда вынужденных колебаний b стремится к бесконечности, как видно из формулы (4.10). При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же амплитуды, но имеющей частоту, лалекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на ис. 4.6. Для нахождения частоты резонанса о»рс, нужно •1Йти, при каком со подкоренное выражение в формуле МО) имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю (или дополняя его до полного ' ьадрата), убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых у резонансная частота практически совпадает с ш0. При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности, т. е. при со»со0, амплитуда b, как видно из (4.10), стремится к нулю. При со = 0, т. е. при действии постоянной внешней силы, величина b равна /о/соц- Если подставить сюда fo = f0/m и озо = кт, Рис. 4.6. Зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты внешней силы получим- bcl — F0lk. Это есть статическое смещение осциллятора из положения равновесия под действием постоянной силы F0. Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе bpci находим, подставляя частоту а)ре1 из (4.12) в выражение (4.10): /о 2Уч/ыо-У2 2УШ° /о (4.13) Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания у. При изучении вынуж-1 денных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе Лрсз получается конечной. Интересно сравнить значение bpeэ со статичес- ким смещением bcr под действием силы F0. Составляя отношение Ьрег/Ьст, получим при малом затухании Подставляя сюда (о0 = 2п/Т и учитывая, что 1 /у — х есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находим Но х/Т есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний т. .Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания. Формула (4.11) дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы 0 между внешней силой и смеще-(ием x(t) при вынужденн ых колебаниях. При со<^о)0 значение tg 9 близко к нулю 3 :о означает, что при изких частотах смешение осциллятора происходит фазе с внешней силой. При медленном вращении ркяошипа на рис. 4.2 маятник движется в такт с правым концом шатуна. Если со»ш0, то tg 0 стремится к нулю со стороны отрицательных значений, т. е. сдвиг фазы равен п, и смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из формулы (4.11), смещение отстает по фазе от внешней силы на я/2. Вторая из формул (4.9) показывает, что при тгом здешняя сила изменяется в фазе со скоростью x(t), т. е. все время действует в .травлении движения. Что именно так и должно быть, ясно и из интуитивных соображений. Из этой же формулы (4.9) видно, что амплитуда "олеоашш скорости при установившихся вынужденных : олйоч*. * равна а>Ь. С помощью (4.10) получаем (4.15) амплитуды скорости от частоты внешней -илы показана на рис. 4.7. Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при со = 0, т. е. при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положения равновесия, и скорость его после того, как закончил ся шЬ А U) Рис. 4.7. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных колебаниях о переходный процесс, равна нулю. Из формулы (4.15) видно, что амплитуда скорости при со = 0 обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний о)0. Обратим внимание, что при изучении резонансных явлений в цепи переменного тока при действии синусоидального внешнего напряжения исследовались вынужденные колебания тока в цепи /=с/, который является аналогом скорости х (а не смещения х) в случае механических колебаний. Поэтому все сказанное в этом параграфе о скорости x(t) при вынужденных колебаниях справедливо и для тока /(/) в последовательном контуре, а все сказанное о смещении x(t) справедливо для заряда конденсатора q{t).