Энергетические превращения при собственных колебаниях
При изучении колебаний, как и любого другого физического явления, мы всегда вынуждены упрощать Рассматриваемую систему, стремясь тем не менее сохранить в выбранной идеализированной модели наиболее важные черты явления. Однако никакую идеализацию нельзя продолжать до бесконечности, нужно всегда отдавать себе отчет, до каких пределов остается справедливой выбранная модель. Но и в рамках выбранной модели иногда еще остаются вопросы, связанные с условиями применимости приближений, использованных при конкретных расчетах. Проанализируем с этой точки зрения те приближения, которые были использованы в § 1 при изучении колебаний груза, подвешенного на упругой пружине. Задумаемся над вопросом, в чем смысл сделанного там предположения о малости массы пружины по сравнению с массой груза. Ведь при выводе уравнения движения груза (1.5) предположение об этом, казалось бы, нигде не использовалось. Действительно, мы воспользовались вторым законом Ньютона для груза (1.2), в который входит масса груза т, но не входит масса пружины. Однако уравнение колебаний груза (1.5) все-таки справедливо только в том случае, когда масса пружины достаточно мала. На первый взгляд может показаться, что дело здесь только в том, что массивная пружина будет растянута еще и под действием собственной тяжести, так что действующая на груз со стороны пружины сила уже не будет равна к(х + х0). как в уравнении (1.2). Однако дело совсем не в этом. И при горизонтальном расположении пружины (рис. 2.4) в отсутствие трения уравнение (1.5) справедливо лишь тогда, когда масса пружины мала по сравнению с массой груза. В противном случае нужно учитывать движение самой пружины. В самом деле, при получении закона движения (1.5) предполагается, что если конец пружины оттянут на расстояние х, то действующая на груз сила равна — кх. Но это верно только в статическом случае, если пружина растягивается достаточно медленно. При ускоренном движении груза (а следователь^ но, и пружины) пружина в разных .своих часпш растянута по-разному, и ее растяжение уже не прея порционально силе. При этом пружина уже не ведет себя квазистатически. она сама может колебаться как система с распределенными параметрами. Но еслй масса пружины мала по сравнению с массой прик-peip ленного к ней груза, то можно не считаться с этим! колебаниями, так как они «быстрые» по сравнени колебаниями груза на пружине и очень быстро затухают. В самом деле, частота колебаний груза, как видно из формулы (1.4), пропорциональна квадратному корню из отношения жесткости пружины к массе груза. При оценке частоты собственных колебаний пружины можно считать, что ее зависимость от жесткости пружины и массы имеет такой же вид. Поэтому при малой массе пружины частота колебаний велика по сравнению с частотой колебаний груза. Если для простоты предположить, что число колебаний за время их жизни одинаково по порядку величины как для колебаний груза, так и для колебаний самой пружины, то затухание высокочастотных колебаний пружины происходит за значительно меньшее время, чем затухание колебаний груза. Поэтому такие колебания пружины могли бы сыграть роль только в первый момент, когда они еще не затухли. Если в начальный момент пружина деформирована однородно, то эти колебания вообще не возникают (разумеется, при условии, что масса пружины много меньше массы груза). Если же в начальный момент пружина деформирована неоднородно, то такие быстрые колебания пружины как распределенной системы обязательно возникнут, но быстро затухнут, так что за время существования этих колебаний груз еще не успеет заметно сдвинуться с места. Что же может произойти в системе из-за этих колебаний? Проделаем такой опыт. Захватим пружину, изображенную на рис. 2.4, за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние хл (рис. 3.1). Вторая половина пружины остается в недеформи-рованном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо "а расстояние х^ и покоится. Затем отпустим дружину. К каким особенностям приведет то обстоятельство, что в начальный Момент пружина деформирована неоднородно? Если бы при смещении груза на Xi пружина лЬ1ла деформирована однородно, то движение груза в отсутствие трения представляло бы собой гармоническое колебание около положения равновесия с частотой а) = ^/к/т и амплитудой л^: лг(/) = х, cos to/. (3.1) Начальная фаза колебаний в формуле (3.1) равна нулю, поскольку при / = 0 груз смещен из положения равновесия на расстояние хь равное амплитуде колебаний. Однако в нашем случае пружина в начальный момент деформирована неоднородно —разные части пружины деформированы но-разному. При однородной начальной деформации пружины запас механической энергии системы равен kx\j2. При начальных условиях нашей задачи, когда на расстояние jvj растянута половина пружины, запас энергии равен 2кх 1 /2, ибо, как нетрудно сообразить, жесткость «половины» пружины равна 2к. После затухания быстрых колебаний натяжение в пружине перераспределяется, а смещение груза остается равным xb так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы становится равной кх\/2. Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени x{t) выражается той же самой формулой (3.1). Напомним еще раз, что приведенное рассуждение справедливо при условии, что время затухания быстрых колебаний пружины много меньше периода колебаний груза на пружине. В рассмотренном примере в результате быстрых1} колебаний превратилась во внутреннюю энергию (в теплоту) половина первоначального запаса механической энергии. Ясно, что, подвергая начальной деформации не половину, а произвольную часть пружины, можно превратить во внутреннюю энергию любую долю первоначального запаса механической энергии. Но во всех случаях энергия колебаний груза на пружин соответствует запасу энергии при той же однородно начальной деформации пружины. Теперь представьте себе, что, не разобравшие в особенностях начальных условий, мы прямо применение бы закон сохранения механической энергии! Закон охранения энергии универсален мы много раз могли убедиться в этом. Но для его правильного применения нужна исчерпывающая «бухгалтерия»: необходимо тщательно разобраться, какие превращения энергии возможны в рассматриваемом явлении. Таким образом, использованная при рассмотрении колебаний груза на пружине модель правильно описывает систему лишь в отсутствие колебаний пружины как распределенной системы. Несмотря на то, что эти колебания быстро прекращаются и не влияют на дальнейшее движение груза, они могут сильно отразиться на энергетических превращениях в системе. А какие идеализации были сделаны при выводе уравнения (1.9) для колебаний в контуре? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующий пример, аналогичный разобранному выше случаю механических колебаний при неоднородной начальной деформации пружины. В схеме, изображенной на рис. 3.2, левый конденсатор емкости С\ имеет заряд q0, а правый —емкости С2 — не заряжен. Найдем колебания в контуре после замыкания ключа. Используя аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями, мы можем представить себе картину происходящих в рассматриваемой системе процессов. При замыкании ключа возникают быстрые затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов. Период таких колебаний очень мал, чак как мала индуктивность соединительных проводов. В результате этих колебаний заряд на пластинах конденсаторов перераспределяется. после чего два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент, как и в рассмотренной механической системе, этого делать нельзя, ибо вместе с перераспределением зарядов происходит и перераспределение энергии, часть которой переходит в теплоту. После затухания быстрых колебаний в системе роисходят колебания, как в контуре с одним кон-енсатором емкости С, + С2, заряд которого в началь-"Ый момент равен q0. Как в механической системе необходимым условием справедливости приведенного рассуждения является малость массы пружины по сравнению с массой груза, так здесь — малость индуктивности соединительных проводов по сравнению с индуктивностью катушки. ВОПРОСЫ 1. Какими физическими условиями определяются частота, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний гармонического осциллятора? 2. Опишите энергетические превращения, происходящие при свободных . колебаниях гармонического осциллятора. Какова частота колебаний потенциальной энергии? 3. Что такое фазовая траектория? Какой вид имеет фазовая траектория гармонического осциллятора? 4. Как связана фазовая траектория с графиком потенциальной энергии осциллятора? С графиками зависимости смещения и скорости от времени11 5 Всегда ли уравнения (2.4) и (2.8), описывающие затухающий осциллятор, имеют колебательные решения? При каком соотношении между коэффициентами описываемое уравнение движения осциллятора будет апериодическим? 6. Каков характер последовательности, которую образую? последовательные максимальные смещения из положения равновесия для затухающих колебаний при силе трения, пропорциональной скорости, и при сухом трении? Что можно сказать о полном числе колебаний до остановки в каждом из этих случаев? 7. Опишите различие фазовых траекторий затухающего осциллятора, изображенных на рис. 2.3 и 2.6. 8. В чем проявляется неоднородность начальной деформации пружины при собственных колебаниях подвешенного на ней груза?