Свободные колебания гармонического осциллятора
Среди разнообразных физических явлений в окружающем нас мире мы часто наблюдаем периодические или почти периодические процессы: восход и заход солнца, волнение на море, колебания маятника часов, переменный электрический ток, электромагнитные волны, колебания молекул в твердом теле,— примеры можно было бы продолжать до бесконечности. Колебательные явления обладают общими чертами и даже подчиняются одинаковым закономерностям, несмотря на то, что могут иметь совершенно разную физическую природу. Самая характерная черта колебательных движений, отличающая их от других явлений, состоит в том, что колебательные движения многократно повторяются или приблизительно повторяются через определенные промежутки времени. Универсальность законов колебательных процессов позволяет с единой точки зрения рассматривать различные по физической природе колебания, встречающиеся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах. Единый подход к изучению колебаний разной физической природы позволяет глубже проанализировать любое конкретное явление, выявить аналогию между совершенно разными по своей природе явлениями, найти общий язык для их описания и в конечном счете почувствовать единство физического мира. „Я Со времен Ньютона развитие физики происходило таким образом, что при изучении любого нового явления — электрического, оптического для него прежде всего пытались придумать механическую аналогию, т. е. объяснить его с точки зрения законов механики. Например, Кельвин говорил, Что понимает явление, если может составить для него механическую модель. Максвелл приложил много усилий для того, чтобы объяснить с помощью механических представлений найденные им уравнения электромагнитного поля. Однако многие современные физики и инженеры уже предпочли бы сказать, что понимают механическое явление, если создали для него электрическую модель. Именно при изучении колебательных процессов пришло в физику отчетливое понимание того, что явления разной природы, несмотря на внешнее сходство, не сводимы друг к другу, однако могут подчиняться одинаковым законам и описываться одними и теми же уравнениями. Любая система, способная совершать колебательное движение, описывается некоторой физической величиной, отклонение которой от равновесного значения зависит от времени по периодическому или почти периодическому закону. Определение периодической функции таково: функция /(f) называется периодической с периодом Г, если f(t-\-T)=f(t) при любом значении f. В случае механических колебательных процессов, например колебаний груза, подвешенного на пружине, такой величиной является смещение груза из положения равновесия. В случае электрических систем, например колебательного контура, такой величиной является ток в катушке или заряд на обкладках конденсатора. Покажем, что колебания груза, подвешенного на пружине, и колебания в контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, описываются одинаковыми уравнениями. Пусть на пружине жесткости к подвешено тело массы т (рис. 1.1). Рассмотрим вертикальное движение тела, которое будет происходить под действием силы упругости пружины и силы тяжести после толчка. Массу пружины предполагаем настолько малой, чтобы ею можно было пренебречь при колебаниях. Поместим начало отсчета по оси х в точку, соответствующую равновесному положению тела. В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на длину х0, определяемую соотношением mg = kx0. (1.1) Поэтому при смещении груза на величину х из положения равновесия действующая на тело со стороны пружины сила равна -,'(х + х0). Обозначая ускорение тела а, равное второй производной смещения х по времени, через х,- запишем второй закон Ньютона в виде тх = —к (х + х0 ) + mg. (1.2) С учетом (1.1) это уравнение переписывается в виде тх=—кх. (1.3) Вводя обозначение со Ъ=~, (1.4) т представим уравнение движения тела (1.3) в виде х + ю^х = 0. (1.5) Перейдем к рассмотрению колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные катушку индуктивности L и конденсатор емкости С (рис. 1.2). При обходе контура (например, против часовой стрелки) сумма напряжений на катушке индуктивности UL и конденсаторе Uc в такой последовательной цени равна нулю: ¦ UL+UC = 0. (1.6) Напряжение на конденсаторе Uc связано с зарядом пластины q и емкостью С соотношением \Jc = q\C. Напряжение на индуктивности UL в любой момент времени равно и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому UL = LdI/dt. Ток в цепи /, как видно из рис. 1.2, равен скорости изменения заряда пластины конденсатора: I=dq/dt. Подставляя ток в выражение для напряжения на катушке и обозначая вторую производную заряда конденсатора q по времени через q, получим UL = Lq. Теперь выражение (1.6) принимает вид Lq+^0. Вводя обозначение (1.8) перепишем уравнение (1.7) в виде q+(Ooq = 0. Видно, что уравнение (1.5), описывающее колебания груза на пружине, и уравнение (1.9), описывающее электромагнитные колебания в контуре, совпадают. К такому же уравнению мы придем, рассматривая малые колебания математического маятника, физического маятника, т. е. любого тела, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести, крутильные колебания диска или коромысла, подвешенного на упругой нити, и т. д. Колебания любой физической природы, описываемые таким уравнением, называются гармоническими, а совершающая такие колебания система — гармоническим осциллятором. Решение уравнения гармонических колебаний имеет вид f{t) = A cos(oM + a), где А и а —произвольные постоянные. Функция /(?) (1.10) является решением дифференциального уравнения (1.5) или (1.9) при любых значениях А и а. При колебаниях груза на пружине f(t) — это смещение груза из положения равновесия, т. е. f(t) = x(t \, а при электромагнитных колебаниях в контуре f(i) есть заряд на обкладке конденсатора, т. е. f\t) = q\t). Циклическая частота гармонических колебаний ш0 не зависит от амплитуды А и определяется параметрами изучаемой системы: при механических колебаниях груза на пружине значение га0 дается формулой (1.4), а при электромагнитных колебаниях в кон туре — формулой (1.8). Значения постоянных А и ос в выражении (1.10), имеющих смысл соответственно амплитуды и начальной фазы колебаний, зависят ог начального состояния системы. Например, при механических колебаниях значения А и а определяются заданием начального механического состояния системы, т. е. значений смещения груза Х0 и его скорости V0 при / = 0. С помощью (1.10) при t = 0 получаем Х0 = А cos a, V0= — Лсо0 sin а. (1.11) Решая эту систему уравнений относительно А и ос, получаем A=y/Xl+VH0X0). (1.12) Для определения постоянных А и а в случае электромагнитных колебаний в контуре нужно задать значения заряда на конденсаторе q0 и тока в цепи /0 при / = 0. Убедиться в том, что функция (1.10) является решением уравнения гармонических колебаний (1.5) или (1.9), можно непосредственной подстановкой. Но можно это сделать и иначе, воспользовавшись удобным графическим методом изображения колебаний. Рассмотрим равномерное движение точки по окружности радиуса А с частотой <в0 (Рис- 1 .За). Пусть в начальный момент Рис. 1.3. Векторы скорости и ускорения при равномерном движении точки по окружности радиус-вектор этой точки образует угол а с осью х. Спроецируем теперь на эту ось радиус-вектор движущейся точки г, ее скорость v и ускорение а. Учитывая, что при равномерном движении точки по окружности ее скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру окружности (рис. 1.36), получим Мы воспользовались тем, что при движении по окружности скорость v связана с радиусом окружности А и угловой частотой со0 соотношением г = ш0/4, а ускорение—соотношением а = а>оА. Из формул (1.13) видно, что проекция ускорения ax(t) в любой момент времени пропорциональна смещению х(/), точно так же, как и в уравнении (1.5): «,(/)=-a>gx(f). (1.14) Отсюда следует, что уравнение (1.5) описывает движение, происходящее по синусоидальному закону (1.13). Подчеркнем, что при гармонических колебаниях любой физической природы, которые происходят по закону (110), частота со0 оказывается зависящей только от свойств системы, в которой происходят колебания, но не зависит от амплитуды колебаний. В одной и той же системе могут происходить колебания определенной частоты, которая, например, дается формулами (1.4) или (1.8), но разной амплитуды. Амплитуда колебаний А и начальная фаза а определяются не свойствами самой системы, а _1ем способом, каким в системе вызваны колебания.(Колебания, происходящие в системе в результате вывода ее из состояния равновесия, после чего система предоставляется самой себе, будем называть собственными колебаниями^ В отсутствие трения собственные колебания иногда называют свободными. Рассмотрим энергетические, превращения, происходящие при свободных гармонических колебаниях. При механических колебаниях груза на пружине происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии движущегося груза и потенциальной энергии Еп системы, которая состоит из потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести. Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадрату ее удлинения x + (рис. 1.1) и, следовательно, равн? (l/2)A;(x + x0)2. Потенциальная энергия груза в поле тяжести равна — mgx + C. Выберем для удобства произвольную постоянную С таким образом, чтобы полная потенциальная энергия системы была равна нулю в положении равновесия: откуда С = —(1/2)кхо, и потенциальная энергия системы Еп в произвольной точке л: выражается формулой En = l-k(x + x0)2-mgx-]-kx% = \kx2. (1.15) Полная механическая энергия системы E—Et + En при колебаниях остается неизменной, так как система консервативна. В этом можно убедиться и непосредственно, подставляя смещение л; и скорость v из (1.13) в выражение для энергии: E=~mvl + ^-kx2 = ]-ma)oA 2 sin2(оз0/ + а) + + -кА 2 cos2(co0/ + oc) = i^^ 2 = ,-т(о$А 2. (1.16) Из этой формулы видно, что неизменная полная энергия системы Е совпадает с потенциальной энергией Еа в точках наибольшего отклонения от положения равновесия, т.е. при х=±А, и совпадает с кинетической энергией ЕК при прохождении груза через положение равновесия, где его скорость vx равна ±со0А. При взаимных превращениях потенциальная и кинетическая энергии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой Е/2 в противофазе друг с другом и с частотой 2со0. Чтобы убедиться в этом, преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергий с помощью формул для тригонометрических функций половинного аргумента: EK(t) = - та>оА 2 sin2(ro0? + a) = ? =—Г1 — cos2(o)0f + a)l, , 2 (1-17) En(t) = -kA 2 cos2 (co0? + a) = ? = ^[1 +cos2(co0f + a)]. На рис. 1.4 приведены графики зависимости от времени смещения груза x(t), кинетической EK(t) и потенциальной En(t) энергий. В случае электромагнитных колебаний в контуре происходят взаимные превращения энергии электрического поля в конденсаторе Wc = q2/2.С и энергии магнитного поля в катушке индуктивности Wl = LI2 / С. Полная энергия колебаний W, равная WC+WL, остается неизменной. Ее можно выразить через амплитуду колебаний заряда конденсатора Q: (I'») Наглядное представление о процессе колебаний можно получить с помощью гак называемых фазовых диаграмм. Рис. 1.4. Графики смещения, кинетической и потенциальной энергий при колебаниях "' Механическое состояние совершающего колебания тела определяется заданием его координаты х и скорости vx. Если на плоскости ввести систему координат и отложить х по оси абсцисс и vx по оси ординат, то состояние системы будет изображаться точкой на этой плоскости. При изменении механического состояния изображающая его точка будет двигаться в этой плоскости но некоторой гшнии. Если рассматриваемая сисгема возвращается в исходное состояние, то соответствующая такому движению линия замыкается. Плоскость х, vx называется фазовой плоскостью, а кривая, по которой движется изображающая точка при изменении механического состояния системы, называется фазовой траекторией. Построим фазовые траектории для гармонического осциллятора. ' Поскольку при свободных колебаниях энергия системы сохраняется, то все точки замкнутой фазовой траектории соответствуют одному и тому же значению энергии. Поэтому уравнение фазовой траектории представляет собой уравнение закона сохранения энергии: \kx2 + \mvl = E. (1.19) Переписывая это уравнение в виде X2 V2 I —-Н—— = 1, (1.20) 2 Ejk 2Е/т убеждаемся, что фазова-я траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями yJlEjk и у/2Е/т (рис. 1,5). При колебаниях состояние осциллятора меняется таким образом, что изображающая точка движется по эллипсу по часовой стрелке и совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т— 2д/со0. В этом совпадает с уравнением (1.20), ибо Е=-кА 2 = ]-та>оА 2. 2 2 Интересно сопоставить вид фазовой траектории с графиком потенциальной энергии (рис. 1.6). В верхней части рисунка изображена потенциальная энергия осциллятора и показаны два значения полной энергии системы Ех и Ег. В нижней части изображены две фазовые траектории осциллятора, соответствующие колебаниям с такими значениями энергии. Скорость обращается в нуль в тех точках, где потенциальная энергия становится равной полной энергии, т. е. в точках максимального смещения из положения равновесия. Скорость максимальна при прохождении положения равновесия х = 0, где потенциальная энергия обращается в нуль. Масштаб графика фазовой траектории по оси vx произволен и не связан с графиком потенциальной энергии. Удобно масштаб графика выбрать так, чтобы одинаковые по длине отрезки соответствовали единице по оси .х и ю0 по оси vx. Тогда при любой амплитуде колебаний А полуоси эллипса на фазовой диаграмме А и оз0А будут одинаковы и эллипс превратится в окружность (рис. 1.7). Точка, изображающая состояние осциллятора, движется по этой окружности но часовой стрелке с постоянной скоростью. Из рис. 1.7 видна связь движения изображающей точки в фазовой плоскости с временной зависимостью координаты x(t) и скорости vx(t) осциллятора. При построении фазовых диаграмм мы будем выбирать масштаб по осям именно таким образом.* В дальнейшем мы увидим, что метод фазовых траекторий оказывается очень эффективным и при изучении более сложных, чем гармонические колебания, движений. Он дает наглядное представление о характере движения даже тогда, когда не уд