Цепи переменного тока. Векторные диаграммы. Резонанс
Физические процессы, происходящие в цепях синусоидального переменного тока, представляют собой вынужденные колебания, полный анализ которых сводится к решению дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако наиболее важный для практических применений установившийся режим таких колебаний, когда собственные колебания в цепи уже затухли, может быть строго исследован элементарными методами. Прежде всего рассмотрим простейшие случаи, когда переменное напряжение U{t)= f/0cosw/ подается на нагрузку, представляющую собой либо обычное сопротивление R, либо емкость С, либо индуктивность L. В случае активного сопротивления R ток в цепи / определяется соотношением /(/)-^ = /0сова>г, = ' (13.1) откуда видно, что в такой цепи не происходит сдвига но фазе между напряжением и током. В цепи, содержащей только емкость С, ток проще всего найти, воспользовавшись тем, что он определяется скоростью изменения заряда конденсатора: I—dq\dt. Так как q = CU, а емкость конденсатора постоянна, т0 для тока получаем I(t)= - Сш ?/0 sin ю/ = Сю ?/0 cos (13.2) Таким образом, ток в цепи имеет синусоидальный характер и опережает по фазе напряжение на тс/2: I(t)=I0COS Связи между амплитудными значениями подаваемого напряжения U0 и тока в цепи /0 можно, как видно из (13.2), придать вид закона Ома, если ввести понятие зависящего от частоты ю емкостного сопротивления Rc: (13.3) / Rr = (О С Полученный результат можно наглядно проиллюстрировать с помощью графиков зависимости напряжения и тока от времени (рис. 13.1). В те моменты времени, когда подаваемое напряжение достигает экстремальных значений, заряд на конденсаторе не меняется и, следовательно, ток в цепи обращается в нуль. В точках, где напряжение обращается в нуль, значение тока меняется наиболее быстро и, следовательно, ток достигает экстремальных значений. Итак, физическая причина сдвига по фазе очевидна, он равен л/2, а направление сдвига (опережение или отставание по фазе) легко установить, рассматривая, например, первую четверть периода изменения напряжения: напряжение убывает, т. е. конденсатор разряжается, несмотря на то, что ток увеличивается по абсолютной величине. Это возможно, только если напряжение и ток имеют противоположные знаки, т. е. график тока действительно имеет вид, изображенный на рис. 13.1. Случай, когда синусоидальное напряжение подается на индуктивность L, проще всего проанализировать, сравнивая выражения г dU тт т (II _ ~dty U=L7r (134> Первая формула представляет собой выражение для тока в только что рассмотренной цепи, содержащей емкость С. Второе соотношение отражает тот факт, что поданное на индуктивность L синусоидальное напряжение U в каждый момент времени компенсирует возникающую в катушке электродвижущую силу самоиндукции <$= —Ldl/dt. Анализ первого из соотношений (13.4) привел к формуле (13.2). Следовательно, формула такого же типа будет получена при анализе второго из соотношений (13.4). Она получается из (13.2) заменой I*±U, С -* L: U(t)=L(j)I0cos + (13.5) Из первого соотношения (13.4) следует, что ток / опережает напряжение U на л/2; аналогично, из второго следует, что в такой цепи напряжение опережает ток на я/2. Задаваемой величиной является подаваемое напряжение U(t)=U0coso)t, поэтому для тока I из (13.5) получаем /(/) = /0cos Как и раньше, связи между амплитудными значениями тока и напряжения можно придать вид закона Ома, если, воспользовавшись (13.5), ввести индуктивное сопротивление R Rl=(0L. (13.6) KL Полученный результат также можно проиллюстрировать с помощью графиков (рис. 13.2). На верхнем графике показана зависимость тока от времени. На втором графике изображена ЭДС самоиндукции. Положение экстремумов и сдвиг этого графика относительпо графика тока легко определить с помощью закона электромагнитной индукции и правила Ленца: tf^z—Ldl/dt. Действительно, ЭДС индукции обращается в нуль в точках экстремума тока и достигает экстремальных значений в те моменты, когда ток меняется наиболее быстро. В каждый момент полярность ЭДС самоиндукции такова, чтобы препятствовать изменению тока,— этим сразу устанавливается направление сдвига по фазе между током и ЭДС самоиндукции. И, наконец, приложенное напряжение изменяется в противофазе с ЭДС самоиндукции (нижний график на рис. 13.2). Рассмотрение этих простейших цепей показывает, что, за исключением случая активного сопротивления R, невозможно написать закон Ома для цепей переменного тока, определяющий мгновенное значение тока /(/) в виде отношения приложенного напряжения к сопротивлению соответствующего участка, вследствие того, что между током и напряжением существует сдвиг по фазе. Как мы видели, закон Ома справедлив только для амплитудных значений тока и напряжения. Теперь рассмотрим последовательную цепь переменного тока, содержащую активное сопротивление R, емкость С и индуктивность L (рис. 13.3). К этой цепи приложено напряжение U(t^= f/0cosco/. В последовательной цепи переменного тока сила тока / в каждый момент времени во всех участках цепи одинакова, а сумма мгновенных значений напряжений на сопротивлении R, емкости С и индуктивности L равна значению приложенного напряжения в тот же момент времени: U=UR + UC+UL. Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а его длина равна амплитудному значению исследуемой величины. С помощью такого представления исследуемой схеме можно сопоставить векторную диаграмму, изображенную на рис. 13.4а. Каждой величине: току /, напряже- \ Рис. 13.4. а — Векторная диаграмма для последовательной цепи RLC (рис. 13.3); б— к определению связи между приложенным напряжением и током в цепи V* 5 пиям на сопротивлении R, емкости С и индуктивности L—сопоставляются векторы, длина которых равна амплитудному значению соответствующей величины. Вся система векторов вращается как целое с частотой со вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Мгновенные значения величин /, UR, UL и Uc получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление NN. Поскольку, как мы видели, ток в цепи находится в фазе с напряжением UR, отстает на п/ 2 от напряжения на индуктивности UL и опережает на я/2 напряжение на емкости Uc, то при выбранном направлении вращения вектор U0L опережает векторы /0 и U0R на я/2, которые в свою очередь опережают на л /2 вектор Uoc. Как теперь найти вектор U0, изображающий приложенное напряжение U1 Легко видеть, что для этого нужно просто найти сумму векторов U0R, U0L и U0*c, так как проекция результирующего вектора, которая и определяет мгновенное значение приложенного напряжения U, равна сумме проекций составляющих векторов, представляющих собой мгновенные значения напряжений UR, UL и Uc, в полном соответствии с равенством (13.7) (рис. 13.46). Из этого рисунка легко видеть, что U2o = U2OR + (UOL-UOC)2, = (13.8) U0 R Используя связь между амплитудным значением тока /0 и амплитудными значениями напряжений на отдельных элементах цепи: с помощью (13.8) получаем /0= =, (13.9) U)L— 1/шС 1ПЧ 8Ф =-R-" (13.10) Итак, если приложенное напряжение t/(?)= t/0cosco/, то ток в цепи /(/) = /0cos(co/ — ср), где /0 и ф определяются формулами (13.9) и (13.10). Ток в цепи, как и напряжение, меняется по синусоидальному закону, но между током и напряжением существует сдвиг по фазе, равный ф. С помощью векторной диаграммы на рис. 13.46 теперь легко написать выражения для мгновенных значений напряжений на отдельных элементах схемы: Выясним, что покажет вольтметр, если его подключить к какому-либо из элементов схемы. Если вольтметр проградуирован так, что он показывает действующее^ значение напряжения, то его показания будут в раз меньше амплитудного значения напряжения на том элементе схемы, к которому он подключен. Произведя измерения напряжений на всех элементах схемы по отдельности, можно убедиться, что сумма этих напряжений всегда больше действующего значения подаваемого на схему напряжения. Более того, напряжение на любом из реактивных сопротивлений может быть гораздо больше подаваемого напряжения. Напряжение же на активном сопротивлении никогда не бывает больше подаваемого напряжения. Если при измерении напряжений на реактивных элементах напряжения окажутся равными друг другу, то это значит, что равны реактивные сопротивления: coL=l/coC. Такую ситуацию называют резонансом напряжений в цепи переменного тока. При этом напряжение на активном сопротивлении равно приложенному внешнему напряжению. Сопротивление всей последовательной цепи при резонансе напряжений становится чисто активным и равным R. Сдвиг фаз между приложенным напряжением и током в этом случае отсутствует. 1 Перейдем теперь к рассмотрению цепи переменного тока, содержащей параллельно соеди- iif(t) г > = =С L > L J Рис. 13.5. Параллельное соединение R, L и С ненные активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С (рис. 13.5), на которую подается переменное синусоидальное напряжение U(t)=U0coswt. Как и в случае последовательного соединения элемен- Рис. 13.6. Векторная диаграмма для параллельной цепи RLC тов. эту цепь удобно исследовать с помощью векторных диаграмм. Напряжение на всех параллельно соединенных ?j цементах одинаково и равно приложенному напряжению Uh). Мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи l(t) равно алгебраической сумме токов в парал-пельных участках: I=IR+IC+IL. (13.11) Поскольку ток через сопротивление R находится в фазе с приложенным напряжением, ток в ветви, содержащей емкость, опережает напряжение на я/2, а ток через индуктивность отстает от напряжения на я /2, то векторная диаграмма, соответствующая этой цепи, имеет вид, изображенный на рис. 13.6. Учитывая связь между амплитудными значениями токов в различных элементах и амплитудным значением приложенного напряжения: (Ot с помощью векторной диаграммы на рис. 13.6 нетрудно получить следующие выражения для амплитуды тока в неразветвленной части цепи и для сдвига по фазе между приложенным напряжением и этим током: (13.12) (13.13) Таким образом, ток в неразветвленной части цепи равен /(f) = /0cos(co/ —ф), где /0 и ф определяются формулами (13.12), (13.13). Векторная диаграмма дает также возможность написать выражения для мгновенных значений тока в отдельных ветвях цепи: , t/o /и = —coscor. R R При равенстве емкостного и индуктивного сопротивления, т.е. при o)L=l/coC, сдвиг фаз между током и гак как они находятся в противофазе, то ток в неразветвленной части становится равным току IR через активное сопротивление. Заметим, что токи IL и /с в отдельных ветвях цепи могут значительно превосходить гок в подводящих проводах. Такая ситуация носит название резонанса токов. При этом происходит обмен энергией между электрическим и магнитным полями, сосредоточенными в емкости и индуктивности, а источник питания только компенсирует потери энергии за счет выделения джоулевой теплоты на сопротивлении R. Если сопротивление R вообще убрать из цепи (R до), то энергетические потери в такой идеализированной схеме вообще отсутствуют и ток в подводящих проводах равен нулю, хотя в контуре, состоящем из L и С, ток может быть очень большим. В этом случае на резонансной частоте (0=1 l^JLC полное сопротивление контура неограниченно возрастает. Резонанс токов, наряду с резонансом напряжений, широко используется в технике. В качестве примера рассмотрим работу простейшего резонансного усилителя, в анодной цепи ко- i пленной нуль — ращается торого имеется колебательный контур, настраиваемый на частоту сигнала, который требуется Выход усилить (рис. 13.7). Для резонансной частоты (точнее, для узкой полосы частот) контур представляет собой большое сопротивление, и резонансный усилитель действует таким же образом, как и обычный усилитель на сопротивлениях, причем роль анодного сопротивления играет колебательный контур. Для частот, заметно отличающихся от резонансной, контур представляет собой практически короткое замыкание анодной цепи, и поэтому усиления сигнала не происходит. Другим важным примером использования резонанса токов является индукционная печь, в которой нагревание металлов производится вихревыми токами. Параллельно нагревающей катушке присоединяют конденсатор и подбирают его емкость так, чтобы получить на частоте питающего генератора резонанс токов. Тогда через подводящие провода и генератор пойдет сравнительно небольшой ток, который может быть во много раз меньше тока в колебательном контуре, образованном конденсатором и нагревающей катушкой.