Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях
Как известно, сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле, имеет вид F=q(E+rxB). (12.1) При заданных полях Е и В задача о движении заряда в поле —это обычная задача классической механики о движении частицы под действием известных сил. Строго говоря, движущаяся с ускорением заряженная частица излучает электромагнитные волны и испытывает с их стороны ответное воздействие. Но этот эффект, вообще говоря, мал, и во многих случаях им можно полностью пренебречь. Но даже и тогда задача остается очень сложной, если заданные внешние поля неоднородны. В однородных электрическом и магнитном полях движение заряженной частицы происходит достаточно просто и может быть изучено элементарными методами. Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле совершенно аналогично движению материальной точки в однородном поле тяжести. Оно происходит с постоянным по модулю и направлению Ускорением, равным произведению удельного заряда частицы qjm на напряженность поля Е. Траектория такого движения в общем случае представляет собой параболу. Именно так движутся электроны в пространстве между отклоняющими пластинами в электроннолучевой трубке осциллографа с электростатическим управлением. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца qvxB происходит следующим образом. В плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля, частица равномерно обращается по окружности. Радиус этой окружности пропорционален перпендикулярной магнитному полю составляющей скорости частицы, а частота обращения от скорости не зависит и равна произведению удельного заряда частицы на индукцию магнитного поля. Если при этом частица имеет еще и составляющую скорости вдоль магнитного поля, то на такое вращение накладывается равномерное движение вдоль поля, так что траектория результирующего движения представляет собой винтовую линию. Сила Лоренца, действующая перпендикулярно скорости частицы, не меняет модуль скорости и, следовательно, кинетическую энергию частицы. Интересно отметить, что при небольшом разбросе значений продольной составляющей скорости частиц движение в однородном магнитном поле обладает замечательным свойством фокусировки: выходящий из одной точки и направленный вдоль поля слегка расходящийся пучок заряженных частиц на некотором расстоянии вновь собирается в одну точку. Это свойство продольной фокусировки было использовано в 1922 г. Бушем для точного измерения удельного заряда электрона. Разберем опыт Буша подробно. Рассмотрим устройство, изображенное на рис. 12.1: электронно-лучевая трубка без управляющих пластин помещена внутрь соленоида, создающего однородное магнитное поле, направленное вдоль оси трубки. В отсутствие магнитного поля электроны летят прямолинейно и образуют на флуоресцирующем экране широкое светящееся пятно, регулируя силу тока в соленоиде и тем самым изменяя индукцию магнитного поля, можно добиться того, что электроны соберутся на экране в яркую светящуюся точку. Выясним причину фокусировки электронов. Из электронной пушки электроны вылетают с приблизительно одинаковыми по модулю скоростями, но с некоторым разбросом по направлению. Скорость электрона v можно определить с помощью закона сохранения энергии: ^ = (12.2) где е — абсолютная величина заряда электрона, a U— ускоряющее напряжение между катодом и ускоряющим анодом электронной пушки. На электрон, летящий вдоль магнитного поля, сила Лоренца не действует. Поэтому электрон, вылетевший из пушки вдоль оси трубки, движется прямолинейно и попадает в центр экрана. Если же электрон вылетел под некоторым углом ос к оси трубки и, следовательно, у него есть составляющая начальной скорости, перпендикулярная магнитному полю, то, как мы видели, траектория электрона представляет собой винтовую линию: его движение есть результат сложения равномерного движения вдоль оси трубки со'скоростью v ц = v cos а и равномерного обращения по окружности в плоскости, перпендикулярной оси трубки, со скоростью tfj^Dsina. Угловая скорость вращения электрона по окружности определяется с помощью второго закона Ньютона: ^=eBv±, (12.3) к где R — радиус окружности. Учитывая связь между линейной и угловой скоростями v± = (ocR, с помощью (12.3) найдем еВ сос = —. (12.4) т Замечательно, что угловая скорость и, следовательно, период обращения не зависят от скорости. Поэтому электроны, вылетевшие из пушки под разными углами, совершают полный оборот за одно и то же время. Поскольку электроны вылетают из пушки под малыми углами к оси трубки (cosa« 1), то все они движутся вдоль оси трубки практически с одной и той же скоростью v^v и за время одного оборота Г=2л/юс проходят вдоль оси трубки одно и то же расстояние L; L = —. (12.5) Это означает, что все винтовые линии, по которым движутся электроны, пересекают ось трубки практически в одной и той же точке, отстоящей на расстояние L от пушки. Такая же фокусировка происходит и после совершения электронами двух, трех и т. д. оборотов, т. е. на расстояниях 2L, 3L и т. д. от пушки. Если положение одной из этих точек совпадет с плоскостью экрана, то пятно на экране сожмется в яркую точку. Разумеется, расстояние от электронной пушки до экрана определяется конструкцией трубки и не изменяется во время опыта, но мы можем изменять шаг винтовой линии L, регулируя индукцию магнитного поля В или ускоряющее напряжение U. Подставляя скорость электронов v из (12.2) и угловую скорость вращения шс из (12.4) в формулу (12.5), получаем соотношение е 8я2 U (12.6) L В Если при неизменном ускоряющем напряжении U мы добьемся фокусировки пучка электронов, постепенно увеличивая индукцию магнитного поля В от нуля, то формула (12.6) может быть использована для вычисления отношения е/т. Для этого в правую часть нужно подставить значения U и В, при которых произошла фокусировка, а в качестве L взять расстояние от электронной пушки до экрана трубки. Если теперь продолжать увеличивать индукцию магнитного поля, то пятно на экране будет сначала расплываться, а затем снова сожмется в яркую точку. Ясно, что теперь электроны успевают совершить два полных оборота по винтовой линии до того, как попадают на экран. Для нахождения е/га в формулу (12.6) в качестве L в этом случае следует подставлять половину расстояния от пушки до экрана. Отметим, что достигнутая этим методом точность измерения удельного заряда электрона составляет величину порядка десятой доли процента. В настоящее время явление фокусировки пучка электронов продольным магнитным полем используется во многих электронно-оптических приборах. Перейдем теперь к рассмотрению движения заряженной частицы в постоянных однородных взаимно перпендикулярных (так называемых скрещенных) электрическом и магнитном полях. Будем считать, что в начальный момент частица покоится. На первый взгляд кажется, что движение частицы будет весьма замысловатым. В самом деле, на неподвижную частицу магнитное поле не действует, но, как только под действием электрического поля она приобретает некоторую скорость, так немедленно магнитное поле будет искривлять ее траекторию. Однако, несмотря на кажущуюся сложность, в данном случае удается полностью исследовать движение частицы с помощью ,весьма простых рассуждений. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось 7 была направлена вдоль вектора индукции магнитного поля В, а ось у — вдоль вектора напряженности электрического поля Е. Начало системы координат поместим в ту точку, где в начальный момент времени покоилась частица (рис. 12.2). Пусть для определенности заряд частицы q положителен. Прежде всего убедимся, что траектория представляет собой плоскую кривую. Первоначально покоившейся частице электрическое поле сообщает ускорение и, следовательно, скорость вдоль оси у. Поскольку сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, перпендикулярна как индукции поля, так и скорости частицы, то и эта сила также действует в плоскости ху. Другими словами, ускорение частицы, а следовательно, и скорость вдоль оси z равны нулю: частица никогда не сможет покинуть плоскость ху. Но и в плоскости ху первоначально покоившаяся положительно заряженная частица может двигаться только в верхней полуплоскости (у 5=0). В этом проще всего убедиться из энергетических соображений. В самом деле, постоянное магнитное поле, действуя перпендикулярно скорости, работы не совершает, а посто- \ янное электрическое поле потенциально. В рассматриваемом однородном электрическом поле потенциальная энергия заряженной частицы зависит только от координаты у, и наша частица, оказавшись ниже оси дс, имела бы полную энергию большую, чем в начальный момент. Самое большее — частица сможет только дойти до оси л:, но при этом скорость ее должна обратиться в нуль. Чтобы продвинуться дальше в выяснении вопроса о форме траектории, забудем на время о начальных условиях и задумаемся над таким вопросом: может: ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться с постоянной скоростью? Очевидно, что для этого полная сила, действующая на частицу, должна быть равна нулю, т. е. магнитная и электрическая силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Электрическая сила, действующая на положительно заряженную частицу, направлена вдоль оси у, следовательно, магнитная должна быть направлена в отрицательном направлении этой оси. Нетрудно убедиться, что для этого скорость частицы должна быть направлена вдоль оси х. Модуль скорости определяется из соотношения qE=qvB, (12.7). откуда » = (12-8) Поскольку скорость частицы не может превышать скорости света в вакууме с, то из формулы (12.8) видно, что движение заряженной частицы в "скрещенных полях с постоянной скоростью возможно только при Е<сВ. В противном случае условие (12.7) не может быть выполнено. Рассмотрим поведение частицы, движущейся в скрещенных полях с постоянной скоростью, с точки зрения системы отсчета, в которой эта частица покоится (рис. 12.2). Поскольку такая система отсчета К' движет я относительно исходной системы К равномерно и прямолинейно, то она также является инерциальной. Полная сила (12.1), действующая на покоящуюся в этой системе отсчета частицу, должна быть равна нулю. Но магнитная сила отсутствует, так как частица покоится. Следовательно, должна отсутствовать и электрическая сила. Но это возможно, только если напряженность электрического поля Е' в системе К' равна нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в системе отсчета К', движущейся относительно исходной системы К с постоянной скоростью v = E/B вдоль оси х, электрическое поле отсутствует и есть только магнитное поле. Этот пример еще раз иллюстрирует относительный характер электромагнитного поля: напряженность электрического поля и индукция магнитного поля изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Разумеется, мы могли прийти к выводу об отсутствии электрического поля в системе К' и непосредственно с помощью формул преобразования полей (10.5), если с самого начала ограничиваться случаем, когда движение частицы происходит со скоростью, малой по сравнению со скоростью света. Вторая из формул (10.5) показывает, что в рассматриваемом случае при v с индукция магнитного поля при переходе в систему отсчета К' практически не меняется: В —В. Теперь возвратимся к рассмотрению первоначально покоившейся в системе отсчета К частицы и рассмотрим ее движение с точки зрения наблюдателя в системе отсчета К', где есть только магнитное поле. Очевидно, что начальная скорость этой частицы в системе отсчета К' направлена в отрицательном направлении оси х и в соответствии с формулой (12.8) равна v — E/B. Как мы видели в предыдущем примере, в однородном магнитном иоле заряженная частица равномерно обращается по окружности, если ее скорость перпендикулярна магнитному полю. Радиус окружности R и угловая скорость юс даются соотношениями Положение окружности, по которой движется частица в системе отсчета К', показано на рис. 12.3. Частица с положительным зарядом обращается по часовой стрелке. Найдем теперь движение частицы в системе отсчета К. Очевидно, что оно получается в результате сложения У , ( , \ ч / \ / / Г 0 2ПЯ X Рис. 12.4. В системе отсчета К траектория заряда — циклон да равномерного движения точки по окружности и поступательного движения этой окружности со скоростью v по оси х. Легко сообразить, что точно так же движется та точка обода колеса радиуса R, катящегося без проскальзывания по оси х, которая в начальный момент находилась в начале координат. Траектория такого движения носит название циклоиды. Она изображена на рис. 12.4. Нетрудно получить зависимость координат частицы от времени. Для этого нужно просто «прокатить» колесо из начального положения по оси д: (рис. 12.5) Приведенное рассмотрение справедливо и для частицы с отрицательным зарядом. Такая частица в магнитном поле обращается по окружности против часовой стрелки, но центр окружности перемещается по-прежнему в направлении оси х. Траектория в этом случае является зеркальным отражением в плоскости = 0 кривой на рис. 12.4. Таким образом, любая частица, независимо от ее массы, величины и знака заряда, в скрещенных полях совершает дрейф в направлении, перпендикулярном к векторам ? и В, с одной и той же скоростью v = E/B. Хотя этот результат получен нами для первоначально покоившейся частицы, он имеет совершенно общий характер. В самом деле, -если частица имеет какую-то начальную скорость в плоскости ху, то это скажется только на положении центра и радиуса окружности, по которой частица обращается в системе отсчета К'. Центр этой окружности в системе отсчета К во всех случаях равномерно движется (дрейфует) с той же самой скоростью v — E/B. Результирующее движение частицы будет складываться из равномерного движения вдоль оси х и равномерного вращения по окружности в плоскости ху. Траектория этого движения носит название трохоиды. В общем случае это не соответствует качению без проскальзывания. Один из возможных типов трохоиды показан на рис. 12.6. В частном случае трохоидальная траектория может выродиться даже в прямую линию, параллельную оси х. Легко сообразить, что так будет, если начальная скорость частицы направлена вдоль оси х и равна Е/В, так как именно в этом случае в системе отсчета К' частица покоится. В заключение отметим, что если у начальной скорости частицы есть составляющая вдоль магнитного поля (т. е. вдоль оси z), то на уже рассмотренное движение наложится еще и равномерное движение в этом направлении. ВОПРОСЫ 1. Что можно сказать о физической природе сторонних сил ь явлении электромагнитной индукции? 2. Как объяснить возникновение индукционного тока в замкнутом контуре в тех случаях, когда магнитный поток через контур не меняется, например, в униполярном индукторе? 3. Покажите с помощью качественных соображений, что индуктивность соленоида пропорциональна квадрату числа витков. 4. Покажите из энергетических соображений, что при замыкании цепи ток в катушке индуктивности нарастает постепенно. От чего зависит скорость его нарастания? 5. Два электрона в вакууме отталкиваются, так как имеют одноименные заряды. Когда они движутся параллельными курсами, между ними действует сила притяжения, как между параллельными токами. Существует ли такая скорость, при которой это притяжение превзойдет их кулоновское отталкивание? 6. Как объяснить, что магнитное поле создается не только движущимися зарядами (токами), но и изменяющимся со временем электрическим полем? >я 7. Объясните возможность использования электродвигателя постоянного тока в качестве электрогенератора, основываясь на законе сохранения энергии. 8. Может ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться прямолинейно и равномерно?