Основы теории электромагнитного поля Изучая электромагнитную индукцию, мы видели, что при рассмотрении этого явления в определенной инерциальной системе отсчета возможны две различные причины возникновения индукционного тока: либо появление вихревого электрического поля, либо действие силы Лоренца на движущиеся вместе с проводником электрические заряды со стороны магнитного поля. Однако при анализе возникновения ЭДС индукции за счет силы Лоренца в опыте с металлической рамкой, движущейся в магнитном поле (рис. 9.1), мы можем рассуждать и иначе. Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся рамкой. В ней заряды неподвижны и, следовательно, со стороны магнитного поля сила на них не действует. Как же объяснить возникновение ЭДС индукции в этой системе отсчета? Единственное, что остается предположить,—это наличие в этой системе электрического поля, направленного перпендикулярно магнитному вдоль стороны ab рамки, которого не было в исходной системе отсчета. Действительно, в любой инерциальной системе отсчета действующая на заряд сила определяется формулой (9.4), и, поскольку в системе отсчета, связанной с рамкой, v=0, сила Сможет быть обусловлена только электрическим полем Е', существующим в этой системе. Итак, мы приходим к выводу об относительном характере электрического и магнитного полей. Согласно принципу относительности, с которым подробнее познакомимся ниже (см. стр. 484), все инерциальные Рис. 10.1. К объяснению возникновения ЭДС индукции в разных системах отсчета системы отсчета равноправны. В обсуждаемом здесь опыте наблюдаемой величиной является ЭДС индукции в рамке, и она существует независимо от того, в какой инерциальной системе этот опыт рассматривается. Как мы видели, в одной системе отсчета, где электрическое поле отсутствует, существование ЭДС объясняется силой Лоренца (рис. 10.1а), в то время как в другой, где рамка неподвижна,—только наличием электрического поля (рис. 10.1 б). При малых скоростях (t>«;c), когда можно пренебречь изменением силы F при переходе от одной системы отсчета к другой, из формулы (9.^ следует, что напряженность электрического поля Е в системе, где рамка неподвижна, должна быть равна Е'= rx В. (10. Итак, движущийся магнит кроме магнитного созда° и электрическое поле. Обратим внимание на то, что относительный харак тер электрического и магнитного полей мы могли заметить и раньше. В самом деле, неподвижный заряд создает только электрическое поле. Однако заряд, неподвижный в какой-либо одной системе отсчета, oi носительно других систем отсчета движется. Такой движущийся заряд подобен электрическому току и по тому создает магнитное поле. Таким образом, если в какой-либо системе отсчета есть только электрическое поле, то в любой другой системе будет еще и магнитное. Получим формулу для индукции магнитного поля в этом случае, аналогичную формуле (10.1). Рассмотрим систему отсчета, движущуюся со скоростью у относительно заряда q. В этой системе отсчета заряд движется со скоростью — v. Воспользуемся законом Био — Савара Лапласа (8.2) для нахождения индукции магнитного поля В', создаваемого движущимся со скоростью — i зарядом q. Ток / выражается через концентрацию п элементарных зарядов q0, скорость их движения площадь сечения проводника S следующим образом: I—q0nSv. Подставляя это выражение в закон Био — Савара Лапласа (8.2) и учитывая, что векторы А/ и — параллельны, получаем 4п г Так как q0nSAI есть полный заряд q, находящийся в рассматриваемом объеме проводника SAI, то создава емое этим зарядом при движении магнитное поле естг Но в этой же точке заряд q создает электрическое поле Е, равное (10.3) Сравнивая (10.2) и (10.3), видим, что магнитное поле, создаваемое движущимся со скоростью — у зарядом, связано с электрическим полем Е, создаваемым этим же зарядом в той системе отсчета, где он неподвижен, соотношением В' = — еоИоух Е. Эта формула, полученная для точечного заряда, справедлива и для поля, создаваемого любым распределением зарядов. Таким образом, если в некоторой системе отсчета существует только электрическое поле Е, то в другой системе отсчета, движущейся со скоростью у относительно исходной, существует еще и магнитное поле В', которое вычисляется по формуле (10.4). Формулы (10.1) и (10.4) представляют собой частные случаи преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они справедливы при малой относительной скорости систем отсчета (v<§:c). В общем случае, когда в исходной системе отсчета есть и электрическое, и магнитное поле, нерелятивистские формулы преобразования имеют вид Е =Е+ухВ, В' = В-г0\х0ух Е (10.5) Отметим, что г0ц0= 1 /с2, где с—скорость света в вакууме. Формулы преобразования электрического и магнитного полей при относительной скорости систем отсчета, сравнимой со скоростью света, более громоздки, чем (10.5). Однако всегда при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой существуют инвариантные, т. е. не меняющие своего значения, комбинации из векторов Е и В, причем их только две — это скалярное произведение этих векторов и их разность квадратов: ЕВ=Е В', Е2-с2В2 = Е'2-С2В'2. Формулы (10.6), (Ю.7) позволяют сделать ряд важных выводов о свойствах электромагнитного поля. Если в какой-либо инерциальной системе отсчета электрическое и магнитное поля взаимно 1 перпендикулярны, то, как видно из (10.6), они будут взаимно перпендикулярны и во всякой другой системе. Для таких взаимно ортогональных полей можно найти такую систему отсчета, в которой либо В— 0, либо Е= 0, смотря по тому, положителен или отрицателен инвариант (10.7). В Из относительного характера электрического и маг-А нитного полей естественно вытекает, что при изучении электрических и магнитных явлений имеет смысл ?] рассматривать эти поля совместно, как единое элек- ; тромагнитное поле. При переходе от одной системы отсчета к другой электрическое поле в одной системе, j как мы видели, выражается и через электрическое* поле, и через магнитное поле в другой системе, и нао- ? борот. Поэтому естественно ожидать, что между электрическими и магнитными явлениями существует опре- s деленная симметрия. Изменение магнитного поля порождает вихревое электрическое поле. Оказывается, что справедливо и обратное: изменяющееся во времени электрическое ; поле порождает магнитное поле. К этому выводу можно прийти, анализируя уже известные нам экспериментальные факты и описывающие их физические законы. Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий длинный прямолинейный провод и плоский конденсатор (рис. 10.2). Будем считать, что в течение некоторого 4 достаточно малого промежутка времени ток в этой цепи равен I. Этот ток связан с изменением заряда конденсатора соотношением l=dq\dt. Рассмотрим круговой контур /, охватывающий проводник, как показано на рис. 10.2. Ток / создает . магнитное поле, поэтому по теореме о циркуляции • вектора индукции магнитного поля (8.5) имеем Я В правой части (10.8) стоит заряд, пересекающий ограниченную контуром / поверхность в единицу времени. Будем теперь перемещать контур / вниз до тех пор, пока его плоскость не пройдет в промежутке между пластинами. В этом случае никакие заряды не пересекают ограниченную контуром часть плоскости, и в этом смысле ток / в (10.8) равен нулю. Но магнитное поле вокруг провода, в том месте, где расположен контур, исчезнуть не может, и левая часть (10.8) не изменяет своего значения при смещении контура. Мы приходим к противоречию: левая часть (10.8) отлична от нуля, а правая равна нулю. Значит, в формуле (10.8) чего-то не хватает. Естественно ожидать, что на самом деле в правой части этой формулы должен стоять еще один член, который равен нулю, пока плоскость контура пересекает провод. Как угадать вид этого члена? Так как левая часть (10.8) при смещении контура не изменилась, то попробуем подставить в правую часть (10.8) вместо / равную ему скорость изменения заряда на обкладках конденсатора dq/dt и попытаемся интерпретировать эту величину так, чтобы она имела смысл и в той области, где отсутствуют движущиеся заряды. Поскольку заряд конденсатора q равен произведению поверхностной плотности заряда ст на площадь пластины S, то при неизменных размерах и форме конденсатора dq/dt = Sda/dt. Выражая поверхностную плотность заряда через напряженность электрического поля между пластинами Е=о/ео, перепишем (10.8) в виде —, HF (10.9) 1 В отличие от тока /, величина dE/dt не равна нулю в промежутке между обкладками конденсатора. Поскольку произведение ES представляет собой поток напряженности электрического поля Е через поверхность, ограниченную контуром, то в правой части (10.9) стоит величина, пропорциональная скорости изменения потока N напряженности электрического поля: ^BM=Eoiio~. (10.10) Если теперь вместо (10.8) и (10.10) написать формулу то она будет справедлива всегда, независимо от того, где проходит контур /. Если плоскость контура пересекает провод, то второй член в правой части (10.11) практически равен нулю, и мы возвращаемся к теореме о циркуляции магнитного поля (10.8). Если же плоскость контура проходит внутри конденсатора, то /==0, первый член в правой части вклада не дает, но, как" мы видели, положение спасает второе слагаемое. Возникает вопрос: является ли добавленное нами второе слагаемое в правой части (10.11) чисто формальным, необходимым только для того, чтобы формула была справедлива для любого контура, или оно имеет физический смысл и соответствует тому, что магнитное поле возбуждается изменяющимся электрическим полем? Ответ на этот вопрос можно получить, если рассмотреть несколько видоизмененный опыт (рис. 10.3), где контур / расположен целиком внутри большого конденсатора, расстояние между пластинами которого велико по сравнению с размерами контура. Опыт показывает, что внутри конденсатора есть магнитное поле, однако очевидно, что это поле не может создаваться далеко расположенными проводами с током /. Значит, в этом случае магнитное поле возникает из-за изменения электрического поля. Циркуляция индукции этого магнитного поля по контуру определяется скоростью изменения потока напряженности электрического поля через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина z0dN/dt получила название тока смещения, так как она, подобно току проводимости /, является источником магнитного поля. Термин «смещение» обусловлен историческими причинами и связан с утратившей значение механической моделью электрического поля. Следует отметить, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Например, при наличии тока смещения не выделяется джоулева теплота. Ток смещения был впервые предсказан Максвеллом на основе теоретического анализа известных к тому времени экспериментально установленных законов электромагнетизма. Максвелл показал, что единая непротиворечивая картина электромагнитных явлений может быть создана, только если предположить, что изменяющееся электрическое поле способно создавать магнитное поле. Из написанной им системы уравнений электромагнитного поля следуют как все экспериментальные законы электромагнетизма, так и существование тока смещения. Система уравнений Максвелла содержит четыре основных закона электромагнетизма. Первый закон — теорема Гаусса, связывающая поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность с полным зарядом внутри этой поверхности. Теорема Гаусса дает иную математическую формулировку экспериментальному закону Кулона. Второй закон —теорема Гаусса для магнитного поля, согласно которой поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Эта теорема отражает вихревой характер магнитного поля и отсутствие в природе магнитных зарядов. Третий закон —закон электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Четвертый закон является обобщением закона Ьио — Савара — Лапласа. Магнитное поле может создаваться как движущимися электрическими зарядами, т. е. токами проводимости, так и .изменяющимся электрическим полем, т. е. токами смещения. Анализируя систему уравнений электромагнитного поля, Максвелл пришел к выводу, что эти уравнения допускают существование связанных между собой электрического и магнитного полей, распространяющихся в пространстве со скоростью света,—электромагнитных волн, которые позднее были экспериментально обнаружены Герцем. Разговор о свойствах этих волн нам предстоит в разделе «Колебания и волны».