Движущийся электрический заряд наряду с электрическим создает магнитное поле. В отличие от потенциального электрического поля, постоянное магнитное поле, создаваемое стационарными токами, является соленоидальным, или вихревым: его линии индукции всегда замкнуты. Другими словами, магнитное поле не имеет источников —магнитных зарядов. Магнитное поле проявляется в действии на магнитную стрелку, рамку с током, движущийся заряд. На рамку, с током и магнитную стрелку магнитное поле оказывает ориентирующее действие, на движущийся заряд в магнитном поле действует сила, перпендикулярная скорости заряда. Силовой характеристикой магнитного поля является индукция В. Эта векторная физическая величина обычно вводится путем рассмотрения действия магнитного поля на маленькую пробную рамку с током. Направление вектора В совпадает с направлением нормали к свободной пробной рамке с током, установившейся в поле. За направление нормали к плоскости рамки принимают то направление, в котором будет перемещаться винт с правой нарезкой, если вращать его по направлению тока в рамке. Значение индукции пропорционально максимальному моменту сил, действующих на пробную рамку. Индукция магнитного поля, создаваемого текущим по проводу током, определяется совместным действием всех отдельных участков провода. Магнитное поле удовлетворяет принципу суперпозиции: если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником. Точно так же для одного проводника с током наблюдаемая на опыте индукции В есть векторная сумма элементарных индукций АВ, создаваемых отдельными участками провода. На опыте невозможно осуществить отдельный участок тока, так что нельзя непосредственно измерить и создаваемое им поле. Измерить можно только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Однако существует закон, называемый законом Био --Савара —з Лапласа, который, будучи применен к участкам провода произвольной формы, позволяет во всех случаях вычислить значение результирующей индукции магнитного поля, совпадающее с измеренным на опыте. Закон Био — Савара - Лапласа формулируется следующим образом. Элемент провода А/, по которому течет ток /, создает в вакууме (или в среде с магнитной проницаемостью ц = 1) в некоторой точке магнитное поле, индукция которого АВ обратно пропорциональна квадрату расстояния г от элемента тока до точки наблюдения: Но /А/sinа 4л г2 ' АВ= (8.1) где (i0 — магнитная постоянная, а а —угол между направлением на точку наблюдения и направлением элемента тока А/ (рис. 8.1). Вектор А В перпендикулярен к плоскости, содержащей элемент А/ и радиус-вектор г. Направление А В определяется правилом правого винта: оно совпадает с направлением вращения головки винта при его поступательном перемещении вдоль тока. Используя понятие векторного произведения, закон Био — Савара—Лапласа можно переписать в векторном виде: Но/А/х г 4я г3 Здесь вектор А/ направлен вдоль провода в направлении движения положительных зарядов.. Формула (8.1) (или (8.2)) позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемого произвольным распределением постоянных токов. Простейшим примером использования закона Био Савара Лапласа служит вычисление магнитного поля в центре кругового тока. Пусть ток / идет по проводу в виде окружности радиуса R по часовой стрелке (рис. 8.2). Векторы ЛИ от всех элементов кольцевого провода направлены перпендикулярно плоскости круга за плоскость рисунка. Поэтому суммарная индукция магнитного поля В направлена в ту же сторону, а ее модуль равен просто сумме всех А В. Любой элемент кругового контура находится на одном и том же расстоянии r = R от центра круга, а его направление образует прямой угол са = п/2 с направлением на точку наблюдения. Поэтому, суммируя элементарные индукции, с помощью формулы (8.1) получим Но I Сумма длин всех элементарных участков УА/ равна длине окружности 2тгR, поэтому индукция магнитного поля в центре кругового тока равна Но/ 2 R ' Рис. 8.2. К вычислению магнитного поля круго- вого тока В= Расчет магнитного поля, создаваемого токами других конфигураций, выполняется с помощью интегрирования. В частности, индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током, убывает обратно пропорционально расстоянию г от провода: 2к г Линии магнитной индукции в этом случае представляют собой концентрические окружности, плоскости которых перпендикулярны току, а центры расположены на оси тока (рис. 8.3). Магнитное поле может быть охарактеризовано некоторым общим соотношением, которое, как и теорема Гаусса в электростатике, может быть использовано для расчета магнитных полей, создаваемых симметричными распределениями токов. Это соотношение носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Рассмотрим произвольный замкнутый контур / и зададим на нем направление обхода. Обозначим через В\ проекцию вектора В на направление элемента контура А/. Составим сумму произведений В,А1 для всех элементов замкнутого контура. Эта сумма называется циркуляцией вектора В по замкнутому контуру /. В силу закона Био — Савара — Лапласа циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению ц0 на ток А пронизывающий контур, по которому берегся циркуляция. Проверим справедливость этого утверждения для магнитного поля, создаваемого прямолинейным бесконечным проводником с током. Прежде всего отметим, что нужно рассматривать только контуры, лежащие: в плоскости, перпендикулярной к проводнику, так как вектор В не имеет составляющих вдоль тока и, следовательно, циркуляция В по произвольному контуру совпадает с циркуляцией по проекции контура на эту плоскость. Проще всего рассчитать циркуляцию В по круговому контуру с центром на проводнике. В этом случае вектор В в каждой точке контура параллелен элементу А/ (если выбранное направление обхода совпадает с направлением линий индукции), а модуль В, одинаковый во всех точках контура, дается формулой (8.3). Суммируя В,А/ по всем элементам контура, получаем ^В,А1=В^А1= = ^2л/? = ц0/. (8.4) 2л R Видно, что циркуляция В не зависит от радиуса окружности. Нетрудно убедиться в том, что при произвольной деформации окружности циркуляция вектора В не изменится. Рассмотрим элемент А/ произвольного контура / (рис. 8.4). Для него B,Al= BAlcosa; но A/cosa = rAtp, поэтому Суммируя по всем элементам контура, получаем ХЯ,Д/^1Дф = Ио/. (8.5) Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля справедлива для поля, создаваемого произвольным распределением токов. Применим георему о циркуляции вектора индукции магнитного поля к расчету поля, создаваемого соленоидом, т. е. цилиндрической катушкой с плотно соприкасающимися витками. Магнитное иоле такой ка-1ушки имеет вид, показанный на рис. 8.5. Если длина Рис. 8.5. Магнитное ноле соленоида 0 С а d Рис. 8.6. Контур для применения теоремы о циркуляции катушки много больше ее диаметра, то линии магнитной индукции внутри катушки параллельны ее оси и поле гам однородно всюду, за исключением концов катушки. Снаружи вблизи боковой поверхности катушки поле практически отсутствует. Вычислим циркуляцию индукции В по прямоугольному контуру, показанному на рис. 8.6: сторона be параллельна, а стороны ab и cd перпендикулярны линиям индукции внутри катушки. Тогда вектор В будет иметь отличную от нуля проекцию на направление контура только на участке be и циркуляция В по контуру равна BI, где /- длина участка be. Подсчитаем теперь полный ток, пронизывающий выбранный контур. Обозначим число витков на единицу длины соленоида через п. Сквозь выбранный контур проходит nl витков, и полный ток равен Inl. Согласно теореме о циркуляции Bl=\i0Inl, откуда В = ц01п. (8.6) Формула (8.6) дает индукцию магнитного поля внутри длинного соленоида, по обмотке которого пропускается ток /. Вблизи краев соленоида поле уже не будет однородным. Легко показать, что индукция поля на оси соленоида на самом его конце равна половине значения индукции внутри соленоида. Если к концу соленоида приставить другой такой же соленоид, по которому в том же направлении протекает такой же ток, то рассматриваемая точка окажется внутри нового, составного соленоида, и индукция поля в ней будет определяться формулой (8.6). Но по принципу суперпозиции эта же индукция есть сумма индукций полей, существующих вблизи концов каждого соленоида. Поскольку соленоиды одинаковы, то одинаковы и создаваемые ими поля, и, следовательно, индукция магнитного поля в точке на оси на конце одного соленоида равна Я=(]}/2)ц0/и. Теперь вычислим индукцию магнитного поля внутри замкнутой тороидальной катушки (рис. 8.7). В отличие от соленоида, линии магнитной индукции замыкаются здесь внутри самой катушки и представляют собой окружности, параллельные оси тора. Направление их таково, что, глядя вдоль них, мы видим токи в обмотке тороидальной катушки текущими по часовой стрелке. Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль одной из таких линий. Из соображений симметрии очевидно, что модуль вектора индукции В одинаков во всех точках, лежащих на одной линии индукции. Пусть радиус такой окружности равен r(rl?). Какая доля потребляемой из сети энергии запасается в аккумуляторе? 3. В чем сходство и различие условий (7.12) и (7.15), выполнение которых обеспечивает увеличение тока в нагрузке при подключении еще одного источника тока? Какова физическая причина этих различий? 4. В чем заключается принципиальное отличие применения принципа суперпозиции при расчетах электростатического поля системы зарядов и магнитного поля тока? 5. Какова роль соображений симметрии при расчете магнитных полей, создаваемых различными распределениями токов?