Закон Ома. Работа в цепи электрического тока. Закон Джоуля — Ленца
Расчет электрических цепей постоянного тока основан на использовании закона Ома. Для однородного участка цепи (на котором не действуют сторонние силы) закон Ома выражает связь между током в цепи /, напряжением на концах участка U и сопротивлением R: Для неразветвленной замкнутой цепи, содержащей источник тока с электродвижущей силой S (ЭДС) и внутренним сопротивлением г, закон Ома имеет вид /= — . (6.2) R + r v ' , А как найти силу тока в неоднородном участке цепи, между концами которого существует некоторая разность потенциалов и внутри которого имеются скачки потенциалов, например, включен гальванический элемент или аккумулятор? Рассмотрим для простоты неоднородный участок цепи, состоящий из двух последовательно соединенных различных проводников А и В, например медного и цинкового (рис. 6.1). Между различными проводниками имеется скачок потенциала, который не зависит от тока и существует даже в его отсутствие. Этот скачок потенциала носит название внутренней контактной разности потенциалов. Его возникновение обусловлено тем, что число свободных электронов в единице объема концентрация электронного газа—различно в разных металлах. При соприкосновении таких металлов происходит диффузия электронов через контакт из того металла, где концентрация выше, в гот, где концентрация ниже. В ре- / зулътате между проводни- ками возникает разность потенциалов, которая опре- % ip, <<>, деляется тем, ЧТО в уста- Рис 6 j. Участок неоднородной цепи новившемся динамическом равновесии диффузионный поток электронов компенсируется встречным потоком, создаваемым возникшим в контактном слое электрическим полем. Величина скачка зависит от рода металлов и or температуры. Подчеркнем, что каждый металл остается эквипотенциальным, а скачок потенциала и связанное с ним электрическое поле имеются только в месте контакта. Подсоединим теперь внешние концы проводников А и В к источнику постоянного напряжения. Обозначим потенциал левого конца проводника А через ф,, а потенциал правого конца проводника В через <р2 (рис. 6.1). Потенциалы металлов А и В в месте контакта обозначим через ф^ и фв. Так как теперь в проводниках идет ток, го, разумеется, ф^фд и Фг^Фв- Мы пока не знаем, как записать закон Ома для всего рассматриваемого участка цепи, но зато можем написать его для каждого из однородных участков А и В. Так как проводники соединены последовательно, то через них протекает один и тот же ток /. Предположим, что ток идет слева направо, как показано на рис. 6.1. Тогда Ф1-Ф a = IRA, Фв-Ф2 = /Лв, (6-3) где Ra и Rb—сопротивления участков А и В. Сложим почленно уравнения (6.3) и перегруппируем слагаемые в левой части следующим образом: (ф1-ф2) + (фв-ф.4) = /(/?л + Лв). (6.4) Сумма Ra + Rb есть полное сопротивление R рассматриваемого участка. Разность потенциалов Фх —ф2 представляет собой приложенное напряжение U. Разность Фв~Фд есть скачок потенциала в месте контакта металлов, который, как уже отмечалось, не зависит от протекающего тока и определяется только природой металлов и температурой. Значение скачка фв —фл обозначим через ё. Тогда соотношение (6.4) можно переписать в виде Это и есть закон Ома для участка неоднородной цепи. Отметим, что под напряжением U на рассматриваемом участке понимается разность tpj— ф2, где ф! — потенциал той точки, от которой течет ток, а ф2—потенциал точки, к которой течет ток. Скачок значения потенциала в месте контакта ё определен как фв — фл, т. е. знак S определяется тем, повышает или понижает скачок значение потенциала в цепи в направлении протекания тока: если повышает, то ё>О, если понижает, то ё<0. Но ведь при рассуждениях мы выбрали направление тока слева направо наугад! А если на самом деле он течет в противоположную сторону? Предположив, что ток идет справа налево, и повторяя буквально все выкладки, мы получим значение тока, отличающееся только знаком. Это означает, что, приступая к анализу неоднородного участка цепи, мы можем вообще не задумываться о том, в какую сторону идет ток на самом деле, а задавать ему направление произвольно. Выбрав направление тока, мы определяем его значение по формуле (6.5), строго соблюдая сформулированное выше правило знаков для U и $. Если в результате ток окажется положительным, то он действительно течет в заданном нами направлении. Если же получится отрицательное значение, то в действительности ток идет в противоположную сторону, а величина его, разумеется, найдена правильно. Ниже мы подробно рассмотрим примеры использования закона Ома для неоднородного участка цепи, иллюстрирующие сформулированное правило знаков. Скачок потенциала на границе двух металлов мы обозначили той же буквой что и электродвижущую силу. Это не случайно. Скачок потенциала возникает в результате диффузии электронов, т. е. сил неэлектростатического происхождения (не кулоновских), обусловленных хаотическим движением электронов. Такие силы неэлектростатического происхождения называют сторонними. Отношение работы сторонних сил по перемещению положительного заряда вдоль некоторого участка цепи к этому заряду носит название электродвижущей силы на данном участке. В рассмотренном случае работа сил, вызывающих диффузию, при перемещении заряда против электрического поля в контакте определяется скачком потенциала. Поэтому это действительно электродвижущая сила в обычном смысле этого слова. Но, конечно, такой контакт двух различных металлов в обычных условиях не может служить источником тока. Легко убедиться, что в замкнутой цепи из разных металлов, все участки которой поддерживаются при одной и той же температуре, сумма всех скачков потенциала равна нулю и ток в цепи отсутствует. Если поддерживать контакты при разных температурах, то сумма скачков не равна нулю и представляет собой термоэлектродвижущую силу. Закон Ома для участка неоднородной цепи (6.5) справедлив не только в случае контактной разности потенциалов, но и для сторонних сил любой природы. Неоднородность участка может быть обусловлена наличием гальванического элемента, аккумулятора, генератора постоянного тока и т. д. Если рассматриваемый участок содержит несколько ЭДС, то в формуле (6.5) под $ нужно понимать алгебраическую сумму всех ЭДС, причем знак каждой из них определяется в соответствии с сформулированным правилом. В этом случае R представляет собой полное сопротивление участка. Закон Ома в форме (6.5) содержит в себе в качестве частных случаев формулы (6.1) и (6.2). Для однородного участка цепи ? = О и (6.5) превращается в (6.1). Для неразветвленной замкнутой цепи (/ = 0 и формула (6.5) переходит в (6.2). При прохождении тока в цепи электрическое поле совершает работу, которую обычно называют работой тока. Работа постоянного тока / за время / на участке цени, на концах которого поддерживается напряжение U, определяется соотношением A=IUt. (6.6) Прохождение тока через проводник, обладающий сопротивлением, всегда сопровождается выделением теплоты. Количество выделившейся за время t теплоты определяется законом Джоуля — Ленца: В случае однородного участка, когда I=U/R. формулы (6.6) и (6.7) совпадают, т. е. количество выделяющейся теплоты равно работе тока, и работу тока можно выразить любым из грех эквивалентных способов: A = IUt = I2 Rt=— t. R В неоднородных участках цепи, где ток определяется формулой I=(U+S )/R. выделяющаяся теплота не равна работе тока. Это означает, что протекание гока в гаком участке сопровождается не только выделением теплоты, но и другими процессами, связанными с превращением энергии. В качестве примера энергетических превращений в неоднородной цепи рассмотрим зарядку аккумулятора. Не вдаваясь в детали происходящих в аккумуляторе процессов, легко сообразить, что при зарядке все химические процессы внутри него вдут «вспять», и, следовательно, ток идет в направлении, противоположном току при разрядке, когда аккумулятор является источником питания для внешней цепи. Поэтому аккумулятор включается в цепь так, как показано на рис. 6.2, а ток в цепи идет в направлении, указанном стрелкой. Так как ЭДС аккумулятора (сумма скачков потенциала внутри него) понижает потенциал в цепи в направлении протекания тока, то, в соответствии с законом Ома для неоднородного участка (6.5), ток в цепи равен (6.8) + и - g ,r Рис. 6 2. Схема включения аккумулятора на зарядку / = (6.9) U-g Л + г ' В этой формуле г —внутреннее сопротивление аккумулятора, а сопротивление R включено в цепь для,! регулировки зарядного тока. Легко видеть, что ток^ будет положительным и, следовательно, пойдет в указанном направлении только при условии, что подаваемое напряжение U больше ЭДС силы аккумулятора &. Только при выполнении этого условия и можно зарядить аккумулятор. Работа, совершаемая зарядной станцией в единицу времени, т. е. работа тока на всем рассматриваемом участке, равна IU. На всех сопротивлениях, включая внутреннее сопротивление аккумулятора, в единицу времени выделяется джоулева теплота, равная I2(R + r). Кроме зарядки аккумулятора и выделения теплоты, других энергетических превращений в рассматриваемой цепи не происходит. Поэтому на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что Д/=/2(Л + г) + Р,ар, (6.10) где аР—мощность, идущая непосредственно на зарядку аккумулятора. Подставляя в (6.10) выражение для силы тока (6.9), получим '(U-S) R + r Таким образом, при зарядке аккумулятор в единицу времени запасает энергию, равную IS. Разумеется, этого результата можно было ожидать из элементарных соображений: ведь процессы в аккумуляторе считаются обратимыми, а при разрядке аккумулятор развивает мощность IS. Обратим внимание, что, считая известными выражения для полной работы тока, для джоулевой теплоты и для работы зарядки аккумулятора, можно с помощью закона сохранения энергии получить выражение (6.9) для тока в цепи, т. е. закон Ома для данного g г случая. Для этого нужно просто подставить в (6.10) P^p = IS. В заключение этого параграфа исследуем условия работы источника постоянного тока, замкнутого на внешнее сопротивление R Рис 6-3- к исследованию (рис. 6.3): каким должно быть со- условий работы источни" п кз тока противление нагрузки R для того, чтобы получить максимальную силу тока в цепи, максимальную полезную мощность, максимальный коэффициент полезного действия? Ток в цепи определяется законом Ома (6.2): + г). Полная мощность Р, развиваемая источником тока, равна IS = S2/(R + r). Полезная мощность Р„, т. е. мощность, выделяющаяся на нагрузке, дается соотношением коэффициент полезного действия (КПД) г¦ источника в этой цепи, определяемый как отношение полезной мощности к полной, зависит от сопротивления нагрузки: * (6.13) 11 ~~ ~P~R + r Исследуем полученные выражения. Полная мощность Р и ток в цепи / отличаются постоянным множителем поэтому их зависимость от сопротивления нагрузки R одинакова (кривая 1 на рис. 6.4). Максимальное значение этих величин получается при /? = 0, т. е. при коротком замыкании источника. Как видно из формул (6.12) и (6.13), при этом равны нулю Рп и г¦. При R = r полная мощность и гок равны половине своего максимального значения, г¦ = 0,5, а Рп достигает своего максимального значения, равного половине полной мощности Р при этой нагрузке.. Для того чтобы убедиться, что при равенстве сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника тока полезная мощность максимальна, преобразуем правую часть выражения (6.12) следующим образом: (6.14) (R + r)2 / R R + 2r+r2 / R Полезная мощность максимальна, когда знаменатель правой части выражения (6.14) минимален. Преобразуем знаменатель: R-2r+j+4r=(y/rR—+4 г. (6.15) Функция (6.15) достигает минимума тогда, когда выражение в скобках равно нулю, т. е. при R = r. При неограниченном увеличении сопротивления нагрузки (R-* оо) как Р, так и Рп стремятся к нулю (кривая 2), а КПД действия — к единице (кривая 3). Из рис. 6.4 видно, что требования получения максимального тока в цепи, максимальной полезной мощности и максимального КПД противоречивы. Для получения возможно большего тока сопротивление нагрузки должно быть малым по сравнению с внутренним сопротивлением источника, но при этом близки к нулю полезная мощность и КПД: почти вся совершаемая источником тока работа идет на выделение теплоты на внутреннем сопротивлении г. Чтобы получить от данного источника тока максимальную полезную мощность, следует взять нагрузку с сопротивлением R, равным внутреннему сопротивлению источника. Максимальная полезная мощность Рптах = <у2/(4г), но КПД при этом равен всего лишь 0,5. Любую полезную мощность Р^, меньшую максимальной, мы можем получить, как свидетельствует ход кривой 2, при двух значениях Rx и R2 сопротивления нагрузки. Практически для получения заданной полезной мощности следует выбирать нагрузку с большим сопротивлением R2, так как КПД при этом выше. Для получения КПД, близкого к единице, следует брать нагрузку с сопротивлением, много большим внутреннего сопротивления источника гока, но при этом выделяющаяся мощность Рп->0.