Энергетические превращения в конденсаторах и сохранение энергии в электростатике
Для анализа энергетических превращений, которые могут происходить в электрическом поле, рассмотрим плоский конденсатор с воздушным зазором, подсоединенный к источнику с постоянным напряжением U0. Будем раздвигать пластины конденсатора от расстояния di до расстояния d2 в двух случаях: предварительно отсоединив конденсатор от источника питания и не отсоединяя конденсатор от источника. В первом случае заряд на обкладках конденсатора все время остается неизменным: q = CU=const, хотя емкость С и напряжение U изменяются при движении пластин. Зная напряжение на конденсаторе в начальный момент, находим величину этого заряда: q = ClU0=^U0. (5.1) Так как разноименно заряженные пластины конденсатора притягиваются, для их раздвижения необходимо совершить положительную механическую работу. Если при раздвижении расстояние между пластинами все время остается много меньше их линейных размеров, то, как нетрудно убедиться, сила притяжения пластин не зависит от расстояния между ними. Действительно, поле, создаваемое одной из пластин, однородно и его напряженность Е=а/(2е0), где a — q/S—поверхностная плотность заряда. Умножив эту напряженность на заряд другой пластины, находим действующую на нее силу: F=q2/(2e0S). Для равномерного перемещения пластины внешняя сила должна уравновесить силу притяжения, и поэтому совершаемая при перемещении пластины на расстояние — механическая работа равна A = F{d2-dl)=^-(d2-dx). ze0 о Подставив в эту формулу заряд из (5.1), найдем A=^(d2-d',). (5.2) Второй случай отличается от рассмотренного тем, что при движении пластин остается неизменным не заряд конденсатора, а напряжение на нем: IJ—U0. Поскольку расстояние между обкладками увеличивается, то напряженность поля убывает, а следовательно, убывает и заряд на пластинах. Поэтому сила притяжения пластин не остается постоянной, как в первом случае, а убывает, причем, как нетрудно убедиться, обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычислить работу этой переменной силы методами элементарной математики затруднительно необходимо умение интегрировать. Но все-таки мы можем найти эту работу, ибо математические трудности в физике нередко удается обойти, подходя к задаче с другой стороны, т. е. используя другие физические законы. На помощь нам придет один из самых фундаментальных законов природы закон сохранения и превращения энергии. Применим его сначала к более простому первому случаю. Изменение энергии W конденсатора происходит только за счет механической работы, совершаемой внешними силами: W2 — Wx — A. Поскольку заряд конденсатора остается неизменным, для энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой W—qll{2C). Таким образом. что при подстановке выражения для емкости и для наряда (5.1) приводит к окончательной формуле (5.2). Обратим внимание, что этот результат можно получить и рассматривая энергию конденсатора как энергию .электрического поля между его обкладками. Так как напряженность поля и, следовательно, плотность энергии остаются неизменными, а объем, занимаемый полем, возрастает, то увеличение энергии равно произведению плотности . энергии г0Е2/2 на приращение объема S(d2 — d1). Во втором случае энергия конденсатора изменяется как за счет механической работы, так и за счет работы, совершаемой источником питания: W2—W1 = А + АИСТ. (5.3) Определив независимо изменение энергии конденсатора и работу источника, можно с помощью закона сохранения энергии (5.3) найти механическую работу. Поскольку в этом случае остается неизменным напряжение, для расчета энергии конденсатора- удобно использовать формулу W—CU2/2. Для изменения энергии получаем = (5.4) При изменении заряда на обкладках конденсатора на Aq = q2 — qi источник питания совершает работу Лист= Uo(ch~<7i)- Заряд конденсатора определяется соотношением q = CU0. Тогда и с помощью выражения (5.3) получаем Отметим, что из (5.5) и (5.4) видно, что т. е. работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора. Интересно отметить, что как работа источника, так и изменение энергии конденсатора получились отрицательными. Это вполне понятно: совершаемая механическая работа положительна и должна была бы привести к увеличению энергии конденсатора (как и происходит в первом случае). Но энергия конденсатора убывает, и, следовательно, источник должен «принять на себя» энергию, равную убыли энергии конденсатора и механической работе внешних сил. Если процессы в источнике обратимы (аккумулятор), го он будет заряжаться, в противном случае источник просто нагревается. Чтобы лучше разобраться в сути явлений, рассмотрим противоположный случай: присоединенные к источнику пластины конденсатора сближают от расстояния dx до расстояния d2(d2 0. Величину Q можно вычислить, если известна скорость движения пластин. Чем больше скорость движения, тем больше выделяющаяся теплота. При бесконечно медленном движении пластин Q-+Q. Выше мы отметили, что работа источника питания при раздвижении пластин равна удвоенному изменению энергии конденсатора. Этот факт носит универсальный характер: если любым способом изменить энергию подсоединенного к источнику питания конденсатора. то работа, совершаемая при этом источником питания, равна удвоенному значению изменения энергии конденсатора: Как в этом убедиться? Поскольку конденсатор все время остается присоединенным к источнику питания, напряжение на конденсаторе равно U0 как в начале, так и в конце процесса (хотя во время процесса напряжение на конденсаторе может быть и меньше). Если заряд конденсатора во время процесса изменился на Aq, то его энергия изменилась на ЛИ7: При этом источник питания совершил работу ЛИст = U0Aq = 2 AW. (5.6) Чтобы у читагеля не возникло подозрений в том, что половина энергии «бесследно исчезла», полезно написать уравнение баланса энергии: AKCT = AW+A, + Q, (5.7) где A j —механическая работа, совершенная при этом процессе силами, действующими на внешние тела, a Q выделившаяся теплота. Очевидно, что A t + Q и равно оставшейся половине работы источника. Существуют такие процессы, в которых либо Л^О, либо 0 = 0. Но, как видно из (5.6) и (5.7), изменение энерг ии конденсатора, соединенного с источником, обязательно сопровождается либо совершением механической работы, либо выделением теплоты. Рассмотрим теперь энергетические превращения в конденсаторах при наличии диэлектрика между обкладками. Емкость конденсатора с диэлектриком в 8 раз больше, чем емкость С такого же конденсатора без диэлектрика. Конденсатор с зарядом q, отсоединенный от источника питания, обладает энергией W=q2/(2C). При заполнении пространства между обкладками диэлектриком с проницаемостью е энергия конденсатора уменьшится в е pa-?: W'=Wlz. Отсюда сразу можно сделать вывод о том, что диэлектрик втягивается в электрическое поле. Втягивающая сила при неизменпом заряде конденсатора убывает по мере заполнения диэлектриком пространства между обкладками. Если на пластинах конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то сила, втягивающая диэлектрик, не Рис. 5.1. Втягивание пластины из диэлектрика в плоский конденсатор зависит от длины втянутой части. Для нахождения силы, действующей на диэлектрик со стороны электрического поля, рассмотрим втягивание твердого диэлектрика в горизонтально расположенный плоский конденсатор, соединенный с источником постоянного напряжения U (рис. 5.1). Пусть под действием интересующей нас втягивающей силы F3JI и какой-то внешней силы F кусок диэлектрика находится в равновесии и длина втянутой части при этом равна х. Допустим, что диэлектрик вдвинулся на Ах. Из закона •сохранения энергии следует, что совершенная источником работа ААист равна сумме изменения энергии конденсатора A W и механической работы, совершаемой силой F3n над внешними телами: Как мы уже знаем, ААИСТ = 2 АIV, поэтому уравнение (5.8) можно переписать в виде Изменение энергии конденсатора при вдвигании диэлектрика на Ах равно где / -поперечный размер пластины. С помощью формул (5.9) и (5.10) находим напряжении. В качестве последнего примера рассмотрим задачу о втягивании жидкого диэлектрика в пространство Рис. 5.2. Втягивание жидкого диэлектрика в илоский конденсатор между вертикальными пластинами плоского конденсатора, соединенного с источником постоянного напряжения О (рис. 5.2). Определим, на какой высоте /; установится уровень жидкости между пластинами при погружении их концов в жидкий диэлектрик с проницаемостью е и плотностью р и сколько при этом выделится теплоты. В состоянии равновесия сила, втягивающая диэлектрик в пространство между пластинами, уравновешивается силой тяжести mg, действующей на поднятую жидкость: mg — pVg = pdlhg. Для нахождения высоты подъема жидкого диэлектрика приравняем вычисленную втягивающую силу весу столба поднявшейся жидкости и получим (5.11) Для нахождения выделившейся при подъеме жидкости теплоты проще всего исходить из закона сохранения энергии. Совершенная источником питания работа равна сумме изменения энергии конденсатора и механической работы, совершенной электрическими силами: A=MV+A. поскольку поднятый столЬ жидкости покоится, совершенная механическая работа равна сумме изменения потенциальной энергии диэлектрика в поле тяжести и выделившейся теплоты Q: Anc^/±W+\mgh + Q. Учитывая, что Лист = 2ДИ/, и пользуясь соотношением (5.11), находим * Spgd} 2 5 Таким образом, половина механической работы, совершенной силами электрического поля, пошла на увеличение потенциальной энергии жидкого диэлектрика, а вторая половина превратилась в теплоту. Как эта теплота выделилась? При погружении пластин конденсатора в диэлектрик жидкость начинает подниматься, приобретая кинетическую энергию, и по инерции проскакивает положение равновесия. Возникают колебания, которые постепенно затухают из-за вязкости жидкости, и кинетическая энергия превращается в теплоту. Если вязкость достаточно велика, то колебаний может и не быть — вся теплота выделяется при подъеме жидкости до положения равновесия. ВОПРОСЫ 1. Может ли измениться суммарный электрический заряд при ядерных реакциях и взаимных превращениях элементарных частиц? 2. На какой особенности закона взаимодействия электрических зарядов основана теорема Гаусса? Какую роль играет здесь принцип суперпозиции? 3. Как использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности электрического поля при симметричном распределении создающих его зарядов? 4. Почему напряженность электрического поля у поверхности проводника направлена по нормали к ней? 5. Почему потенциал электростатического поля одинаков во всех точках проводящего тела? 6. Сформулируйте основную идею метода электрических изображений. 7. В чем проявляется роль краевых эффектов при рассмотрении электростатических явлений в конденсаторе? 9. Как в электростатике преодолевается трудность, связанная с бесконечным значением собственной энергии точечных зарядов? J 10. В чем физическая причина того, что работа, совершаемая подключенным к конденсатору источником, вдвое больше изменения энергии конденсатора при любых процессах в этой цепи? 11. Поясните физический механизм возникновения сил, втягивающих диэлектрик в пространство между пластинами конденсатора.