Проводники в электрическом поле
Необходимым условием электростатического равновесия проводника является равенство нулю напряженности электрического поля внутри проводника. Если бы внутри проводника существовало макроскопическое поле, то свободные заряды (в металлах —электроны) пришли бы в движение, т. е. равновесие было бы нарушено. Условие Е=0 должно быть выполнено для всех точек внутри проводника независимо от того, заряжен он сам или помещен во внешнее электростатическое поле. Условие отсутствия электростатического поля внутри проводника приводит к тому, что нескомпен-сированные заряды могут располагаться только на его поверхности. В этом легко убедиться с помощью теоремы Гаусса. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем внутри проводника. Во всех точках этой поверхности напряженность макроскопического электрического поля Равна нулю. Следовательно, равен нулю и поток напряженности поля через эту поверхность, югда по теореме Гаусса равен нулю и полный заряд в объеме, ограниченном рассматриваемой поверхностью. Так как поверхность произвольна, то результат применим к любому участку внутри проводника вплоть до его границы. Итак, нескомпенсированные заряды могут располагаться только на поверхности проводника. Отсутствие зарядов во внутренних частях проводника может быть использовано для опытной проверки закона Кулона. Если бы в законе Кулона F=—1— '-^Ц 4ле0 г I показатель степени г не равнялся бы точно двум, то не была бы справедлива теорема Гаусса и во внутренних частях заряженного проводника должны были бы находиться заряды. Интересно, что отсутствие зарядов во внутренних частях заряженного металличес-1 кого проводника было экспериментально установлено Кавендишем за 12 лет до того, как Кулон сфор-] мулировал закон взаимодействия точечных зарядов.¦ Проверку закона Кулона таким способом можно произ-1 вести с большей точностью, чем при непосредственном измерении силы взаимодействия между заряженными телами, так как очень трудно создать условия, отвечающие требованию, чтобы заряды были точечными. С помощью теоремы Гаусса легко найти выражение для напряженности электрического поля в непосредст-J венной близости от поверхности проводника. Прежде всего отметим, что во всех точках проводника потенциал одинаков и, следовательно, его граница является эквипотенциальной поверхностью, а линии напряженности перпендикулярны его поверхности. Возьмем на поверхности проводника настолько ма-¦ лый участок AS, чтобы! его можно было считать плоским, а поверхност-fj ную плотность заряда ст — постоянной. Прове-1 дем мысленно малую замкнутую цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны к поверхности проводника, а основания параллельны AS (рис. 2.1). Нижнее ос- , нование расположено целиком внутри проводника, где поле отсутствует, а верхнее— в непосредственной близости от поверхности проводника, где силовые пинии еще перпендикулярны к ней. При таком выборе замкнутой поверхности поток напряженности проходит только через верхнее основание и равен Е AS. По теореме Гаусса „ . „ аДs Е AS=-, е0 откуда ?=-. (2.1) Ео Подчеркнем, что формула (2 1) дает выражение для напряженности полного электростатического поля, существующего вблизи поверхности проводника, независимо от того, создается ли это иоле только самим заряженным проводником или еще и другими зарядами. Из (2.1) видно, что напряженность результирующего поля вблизи поверхности проводника связана только с плотностью зарядов на его поверхности. В качестве примера проводника в электрическом поле .рассмотрим большой кусок металла с плоской границей, т. е. фактически заполненное проводником полупространство, в поле точечного заряда q, находящегося на расстоянии / от плоской поверхности (рис. 2.2). Выясним, каким будет электростатическое поле во всем пространстве. Прежде всего отметим, что внутри куска металла поля нет: справа от плоскости Е— 0. Остается найти поле в полупространстве, содержащем заряд. На плоской поверхности проводника индуцируются заряды, поверхностная плотность а которых связана с напряженностью полного поля вблизи плоскости соотношением (2.1). По принципу суперпозиции полное поле в любой точке можно рассматривать как сумму полей заряда q и индуцированных на плоскости зарядов. Так как справа от плоскости полное поле равно нулю, го ясно, что суммарное поле всех индуцированных на плоскости зарядов можно заменить Для правого полупространства полем одного точечного заряда — q, помещенного в ту же точку, что и исходный Заряд q. Поле индуцированных зарядов симметрично относительно плоскости. Поэтому поле индуцированных Урядов в левом полупространстве эквивалентно полю точечного заряда — q, расположенного справа от плоскости симметрично заряду q (рис. 2.3). Итак, полное поле в левом полупространстве представляет собой суперпозицию полей, создаваемых зарядом q и зарядом Рис. 2.3. Действие индуцированных на плоской границе зарядон жвивалевг! но действию точечного заряда —q Рис. 2.2. Электрическое поле точечного заряда, находящегося вблизи поверхности проводника — q, расположенным справа от плоскости симметрично заряду q. Полученный результат можно кратко сформулировать так: действие плоской границы проводника с индуцированными на ней зарядами можно заменить действием точечного заряда — q, являющегося как бы зеркальным изображением данного заряда q в проводящей плоскости. Поэтому описанный способ нахождения поля носит название метода изображений. Зная электрическое поле, можно рассчитать поверхностную плотность индуцированных на проводнике зарядов и силу, действующую на точечный заряд q. Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда q, оканчиваются на проводящей плоскости, то полный индуцированный на ней заряд равен —q. Разумеется, этот заряд распределен неравномерно. Поверхностную плотность индуцированных зарядов легко определить с помощью соотношения (2.1). Напомним, что напряженность поля вблизи поверхности проводника направлена по нормали к ней. Очевидно, что в рассматриваемом случае поле обладает осевой симметрией: при вращении вокруг линии, соединяющей заряды q и — q, картина поля не меняется. Поэтому плотность заряда на поверхности зависит только от расстояния г от оси симметрии: ст = а(г). Простой расчет, идея которого понятна из рис. 2.4, приводит к результату ст(г) = е0?(г) = ; 2я(г2 + /2)3'2 (2'2) Какая сила действует на заряд ql Для нахождения силы нужно знать напряженность поля, в котором находится этот заряд. В данном случае это поле создается зарядами, индуцированными на проводнике. Точно такое же поле создавал бы заряд-изображение — q. Таким образом, заряд q притягивается к проводнику с такой же силой, как и к заряду —q, находящемуся на расстоянии 21 от него. А какую работу нужно совершить, чтобы удалить заряд q на бесконечность? Может показаться, что искомая работа будет такой же, как и при раздвижении на бесконечность зарядов q и —q, находящихся на расстоянии 21 друг от друга: (2.3) Однако это неверно! В этом можно убедиться с помощью следующего простого рассуждения. При удалении заряда q от поверхности металла будет удаляться в противоположную сторону и его «изображение» — q, ибо в каждый момент сила, действующая на заряд, определяется зарядом-изображением — q, расположенным симметрично q относительно поверх-'ости металла. Поэтому по формуле (2.3) определяется работа, которая совершается внешними силами, действующими на оба заряда. Нам же необходимо найти работу только одной из этих сил—действующей на *аряд q: ведь на самом деле никакого заряда — q нет, а есть заряды, индуцированные на поверхности циальнои поверхности, так что при их;! перемещении никакой работы не совершается. Таким образом, интересующая нас работа А' будет в два¦ раза меньше, чем работа А в (2.3): (2.4) Этот результат становится особенно наглядным,! если вспомнить, ню электростатическую энергию взаимодействия зарядов можно рассматривать как энергию] создаваемого ими поля. В системе двух точечных! зарядов с] и — q поле существует во всем пространстве! в то время как в рассматриваемом случае поле! существует только в той половине пространства, где¦ находится заряд q (рис. 2.3). Мы рассмотрели простейший случай: точечный; заряд вблизи бесконечной плоской поверхности провод! ника и сумели просто угадать решение заменили поле индуцированных зарядов полем фиктивного точечного заряда-изображения, расположенного по другую сторону границы проводника. А можно ли применять метод изображений для проводников более сложной формы? Для ответа на этот вопрос рассмотрим разобранный выше пример с несколько иной точки зрения. Предположим, что имеются два точечных заряда q и -q на расстоянии 21 друг от друга. Поле такой системы зарядов хорошо известно. На рис. 2.5 показаны линии напряженности и сечения эквипотенциальных поверхностей. Одна из эквипотенциальных поверхностей плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему заряды, и делящая его пополам. Действительно, потенциал любой точки этой плоскости Ф = 4яеп = 0, так как расстояния любой точки этой плоскости от зарядов q и — q одинаковы (г1 — г2). Совместим гонкий проводящий экран с этой плоскостью. Поскольку все точки проводника, помещенного в электростатическое поле, имеют одинаковый потенциал, картина поля не изменится вне экрана, а внутри него напряженность ноля равна нулю. Уберем теперь заряд —q. Справа от экрана поля не будет, слева все останется без изменения. Но получившаяся система — как раз то, что нам нужно рассмотреть! Справа от экрана поля нет, слева напряженность в любой точке определяется векторной сум- мой напряженностей полей, создаваемых зарядами <у и — с], а потенциал — алгебраической суммой потенциалов этих полей. Теперь можно сформулировать основную идею метода изображений: нужно подобрать точечные заряды, которые создавали бы такие же поля, как и индуцированные на поверхностях проводников заряды. Положение и величина этих фиктивных зарядов должны выбираться таким образом, чтобы одна из эквипотенциальных поверхностей поля, создаваемого заданными и фиктивными подобранными зарядами, совпадала бы с поверхностью проводника Подчеркнем, что с помощью этих зарядов находится иоле только вне проводников. Внутри проводников поля нет. Метод изображений в некоторых случаях позволяет очень просто находить решения весьма сложных на первый взгляд электростатических задач. Для примера рассмотрим поле точечного заряда q, находящегося внутри проводящего прямого двугранного угла (рис 2 6 а) Все электрическое поле сосредоточено тольповерхности поля нет. Нетрудно убедиться, что эквипотенциальность поверхности двугранного угла будет обеспечена, если ввести три фиктивных точечных заряда, как показано на рис. 2.6 б. Поэтому поле внутри угла пред- Рис. 2.7. Такую задачу методом изображений решить нельзя ставляет собой суперпозицию полей четырех изображенных на рис. 2.6 б зарядов. Сила, с которой заряд q притягивается к проводнику, может быть представлена как векторная сумма сил его взаимодействия с тремя фиктивными зарядами. Но, несмотря на свою привлекательность, метод изображений далеко не универсален. Достаточно поместить точечный заряд q снаружи проводящего двугранного угла (рис. 2.7), чтобы задачу уже невозможно было решить таким методом. Хотя система четырех точечных зарядов, изображенная на рис. 2.6 б, и в этом случае обеспечивает эквипотенциальность поверхности двугранного угла, она не дает решения задачи. Дело в том, что фиктивные заряды можно помещать только по другую о7 pea но: о заряда сторону проводящей поь хности. В той очке, где находится точечный заряд, напряженность поля обращается в бесконечность. Поэтому, если мы поместим фиктивный точечный заряд по одну сторону с реальным зарядом, то в точке нахождения фиктивного заряда напряженность поля обращается в бесконечность, чего на самом деле нет.