Флуктуации
епловое равновесие —это всегда динамическое равновесие. Тепловое движение атомов или молекул, из которых состоит макроскопическая система, никогда не прекращается. Поэтому макроскопические величины, характеризующие систему в целом, строго говоря, никогда не остаются постоянными, а испытывают малые беспорядочные колебания вблизи некоторых средних значений. Такие хаотические отклонения от средних значений тех или иных величин, происходящие в течение малых промежутков времени, называются флуктуациями. Относительная величина флуктуаций тем больше, чем меньше размеры изучаемой системы. Яркий пример флуктуаций это дрожание зеркальца чувствительного гальванометра. Макроскопическая система, состоящая из подвижной катушки гальванометра, подвешенной на упругой кварцевой нити, в состоянии механического равновесия была бы совершенно неподвижной, если бы не тепловое движение. Удары молекул воздуха, совершающих тепловое движение, приводят к тому, что угол поворота зеркальца испытывает хаотические колебания вблизи положения механического равновесия. Фактически это то же броуновское движение, которое отличается от рассмотренного в § 1 движения взвешенной в жидкости частицы только тем, что здесь рассматривается не поступательное, а вращательное движение вблизи устойчивого, а не безразличного положения равновесия. Интенсивность такого движения зависит от температуры, оно принципиально неустранимо и ставит предел чувствительности измерительной аппаратуры. Основные закономерности флуктуаций можно подметить, рассматривая простейший пример пространственного распределения молекул идеального газа внутри сосуда в состоянии теплового равновесия. В среднем газ равномерно заполняет весь сосуд, т. е. концентрация молекул всюду одинакова. Разделим мысленно сосуд на две равные части. Пусть число молекул слева равно пу, справа —п2. Сумма пу+п2 есть полное число молекул в сосуде. В равновесии в среднем п1=^п2, но так как это равновесие динамическое, то в каждый момент времени вследствие хаотического движения это верно лишь приближенно, потому что молекулы непрерывно переходят из одной половины сосуда в другую. В принципе ничто не мешает им вообще в какой-то момент собраться в одной половине сосуда. Однако такое событие будет крайне маловероятным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, какими способами молекулы могут распределяться между половинами сосуда. Одну молекулу можно разместить в сосуде двумя способами—либо в левой, либо в правой его половине. Очевидно, что вероятность найти молекулу в какой-то одной половине сосуда равна 1/2, если, конечно, сосуд разделен на строго равные части. Две молекулы можно распределить в сосуде четырьмя (22) способами, ибо для каждого из двух способов распределения одной молекулы существует два способа распределения другой. Для трех молекул число способов распределения равно восьми (23), так как для каждого из четырех возможных вариантов распределения первых двух молекул есть две возможности распределения третьей молекулы, и т. д. В случае N молекул число способов распределения равно 2N. Будем считать, что вероятность нахождения любой наугад взятой молекулы в определенной половине сосуда не зависит от того, где в этот момент находятся все остальные молекулы. Это верно для идеального газа, молекулы которого не взаимодействуют между собой и имеют пренебрежимо малые размеры, так что их собственный объем значительно меньше объема сосуда. В этом случае каждый из 2N способов размещения N молекул в сосуде имеет одну и ту же вероятность, равную (1/2)^. Разъясним это подробнее. Молекулы газа находятся в тепловом движении, и их расположение в сосуде непрерывно изменяется. Предположим, что мы можем делать мгновенные «фотографии» положения молекул в сосуде. На каждой такой «фотографии» мы увидим один из мыслимых способов размещения молекул. Размещения на любых двух снимках считаются одинаковыми, если в какой-либо половине сосуда, например левой, на обоих снимках находятся одни и те же молекулы. Утверждение о равной вероятности всех 2N размещений означает, что какое-либо размещение будет встречаться на снимках не чаще и не реже других, в среднем один раз в каждой серии, содержащей 2N «фотографий». Разместить все N молекул в одной половине сосуда можно только одним способом. Поэтому вероятность того, что весь газ соберется в одной половине сосуда, равна (\/2)N. При больших N это очень малая величина. Например, для газа, содержащего всего 100 молекул, вероятность такого события равна 2_100«Ю~30. В среднем только на одном из 10 снимков мы бы увидели, что одна из половин сосуда пуста, чтооы представить ,-сбе. насколько велико это число, вспомним, что, по преданию, изобретатель шахматной игры потребовал в награду «всего» 26Ах 1019 зерен пшеницы. Это оказалось больше, чем количество зерен, которое может уместиться в амбаре высотой 5 м и шириной 20 м, протянувшемся от Земли до Солнца. И это для газа, состоящего всего из ста молекул! А для одного моля газа, где число молекул составляет 6 • 1023, вероятность всем молекулам оказаться в одной половине сосуда настолько мала, что просто невозможно найти для нее подходящее сравнение в мире образов, доступных человеческому воображению. Подсчитаем теперь вероятность того, что в определенной половине сосуда находится заданное число п молекул. Эта вероятность равна отношению числа способов размещения, при которых в выбранной половине сосуда находятся любые п молекул, к 2N — полному числу возможных размещений. Число таких размещений, очевидно, равно числу способов, которыми можно выбрать п молекул из совокупности N молекул, т. е. числу сочетаний из N по п. Это число сочетаний равно п \(N—ny. Поэтому вероятность Рп того, что в какой-нибудь, например левой, половине сосуда находится п молекул, равна Теперь с помощью (4.2) легко рассчитать, как часто па наших «фотографиях» будут встречаться те или иные распределения молекул. Для газа из ста молекул вероятность того, что молекулы распределятся между половинами сосуда строго поровну, приблизительно равна 1/18, т. е. такое распределение встречается в сре днем 1 раз на каждые 18 снимков. Итак, строго равномерное распределение молекул по объему встречается не так уж и часто. Но если мы подсчитаем вероятности таких распределений мо-'екул, при которых в одной половине сосуда буде'1 на две, четыре и вообще на небольшое число молекул больше, чем в другой, и просуммируем эти вероятности то мы увидим, что вероятность появления любого и-j таких распределений будет близка к единице, а очень неравномерные распределения, при которых число молекул справа и слева различается сильно, будут встречаться крайне редко. Представление о характере распределения вероятностей (4.2) дает рис. 4.1, построенный для газа из N=20 ! 15 Рп 10 Рис. 4.1. Вероятность того, что в сосуде, содержащем 20 молекул газа, п из них находятся в одной половине сосуда, а остальные 20 и в другой N=20 молекул. По оси абсцисс отложено число молекул в одной (например, левой) половине сосуда, а по оси ординат — вероятности соответствующих размещений молекул. Приведенное распределение вероятностей можно охарактеризовать плавной кривой огибающей, которая показана штриховой линией на рис. 4.1. С увеличением полного числа молекул газа эта кривая становится все более и более острой. Для jV= 100 она приведена на рис. 4.2. Теперь мы можем сделать следующий общий вывод: если полное число молекул в изучаемой системе велико, то флуктуации плотности, соответствующие существенно неоднородному распределению, почти никогда не возникают. Описанные выше закономерности справедливы не только для флуктуаций илот-^ носги, но и для флуктуаций других макроскопических параметров. Если число частиц в системе очень велико, относительная величина флуктуаций любого параметра очень мала по сравнению со средним значением этого параметра, и ею почти всегда можно пренебречь. Поэтому мы обычно не осознаем факта существования (Ьлуктуаций, когда имеем дело с большими макроскопическими системами. Но если система достаточно viaJja, то флуктуации могут быть легко обнаружены и часто имеют большое значение. Как уже упоминалось, тепловые флуктуации ставят предел чувствительности любых измерительных приборов. При измерении малых значений физических величин или слабых сигналов флуктуации в чувствительном элементе измерительного прибора могут оказаться сравнимыми с измеряемой величиной. Флуктуации, возникающие в самом измерительном приборе, затрудняют измерения и поэтому называются шумами. ВОПРОСЫ 1. Каким образом среднее удаление броуновской частицы от начальной точки зависит от времени наблюдения? Чем объясняется такой характер зависимости? 2. В чем заключаются особенности термодинамического и статистического подходов к описанию макроскопических систем? 3. Как средняя энергия хаотического теплового движения частиц связана с температурой системы? 4. Какие допущения положены в основу молекулярно-кинетичес-кой модели идеального газа? 5. Какие гипотезы используются при выводе основного уравнения кинетической теории газов? 6. Чем определяется отношение средних скоростей теплового движения молекул разных сортов в смеси газов? 7. На чем основаны рассуждения, приводящие к установлению вида равновесного распределения для газа в силовом поле? 8. Что можно сказать о свойствах кривой, описывающей распределение молекул по скоростям? Какой смысл имеет ограничиваемая этой кривой площадь? 9. Как изменяется с температурой положение максимума кривой Функции распределения молекул по скоростям и его высота? 10. Почему при хаотическом тепловом движении все молекулы макроскопического количества газа не могут собраться в одной половине сосуда? 11. Как относительная флуктуация макроскопических параметров зависит от числа частиц в системе?