Статистические распределения
Полный беспорядок, которым характеризуется тепловое движение молекул, все же имеет свои законы. Несмотря на то, что каждая молекула газа при столкновениях,;! с другими молекулами и со стенками сосуда все время изменяет свою скорость, макроскопическое состояние газа в равновесии не меняется, что позволяет считать, что в газе существует некоторое в среднем неизменное во времени распределение молекул по скоростям. Дей ствительно, как мы видели, при 'данной температу среднее значение квадрата скорости молекул имеет определенное значение. Однако среди молекул в данный оставить вопрос: сколько в среднем в газе молекул "меет то или иное значение скорости? " Такое распределение молекул газа по скоростям устанавливается всегда, когда газ приходит в равновесие, независимо от того, каково было начальное состояние системы. Если даже в откачанный сосуд впустить струю газа, в которой все молекулы имеют почти одинаковые по модулю и направлению скорости, то спустя некоторое время в результате столкновений молекул направленное движение в газе перейдет в хаотическое, при котором все направления скоростей будут встречаться одинаково часто, а в распределении молекул по модулю скорости будет наблюдаться определенная закономерность. Равновесное состояние газа характеризуется не только распределением молекул по скоростям, но и по координатам. В отсутствие внешних полей это распределение будет однородным, т. е. газ равномерно распределяется по всему объему сосуда: в любых равных макроскопических объемах внутри сосуда в среднем находится одинаковое число молекул. А как обстоит дело при наличии действующего на молекулы поля, например поля тяжести? Хорошо известно, что давление воздуха убывает с высотой. Следовательно, убывает и концентрация молекул воздуха. Например, на высоте Эльбруса (5600 м) давление составляет лишь половину давления на уровне моря, т. е. концентрация молекул там уже вдвое меньше. Отсюда, конечно, не следует делать вывод, что на вдвое большей высоте совсем нет молекул воздуха, самолеты летают и гораздо выше. Найти закон распределения молекул газа в однородном поле тяжести с высотой можно из условия механического равновесия. Рассмотрим вертикальный столб газа с площадью основания •S (рис. 3.1) и выделим в нем мысленно на высоте х слой толщиной A.v, настолько малой, чтобы плотность газа р можно было считать в пределах этого слоя постоянной, но в то же время эта толщина должна быть такой, чтобы ®нУтри выделенного слоя было много молекул и можно 3ь'Л0 бы говорить о производимом ими давлении. Рис. 3.1. Равновесие мысленно выделенного слоя газа в поле тяжести К этому выделенному слою газа мы примени^ условие механического равновесия подобно дому, Ка]¦ это делалось в гидростатике для слоя жидкости, где мы, используя понятие давления, совершенно не интересовались его молекулярно-кинетической природой Мы можем так поступать, ибо давление газа на стенку сосуда, рассматриваемое как результат передачи молекулами импульса стенке при столкновениях, и гидростатическое давление в газе на опыте измеряются одинаково, одними и теми же приборами и, следовательно, представляют собой один и тот же макроскопический параметр рассматриваемой системы. • Условие равновесия выделенного слоя газа состоит в том. что действующая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания. В проекции на ось х (рис. 3.1) это.условие записывается в виде р (х) S -р (х + А х) S -рg S А х = 0. Так как давление на высоте х + Ах можно записать в виде р(х + Ах)=р(х) + Ар, то условие равновесия принимает вид Ap=-pgAx. (3.1) Входящая в (3.1) плотность газа р зависит от давления. Выразим ее из уравнения Менделеева — Клапейрона для произвольной массы газа М: pV=-RT, (3.2) ц где ¦! молярная масса. С помощью (3.2) получаем р = ^ = (33) V RT Подставляем это выражение в (3.1) и переходим к пределу при Ах-»0. Так как предел отношения Ар/Ах при Ах->0 есть производная ilp/dx, то получаем следующее дифференциальное уравнение для функции р(х): Это уравнение говорит о том, что производная искомой функции пропорциональна самой функции. Как известно из курса математики, единственной функцией, обладающей таким свойством, является экспонента, и, следовательно, решение такого уравнения при постоянных g и Т имеет вид />(х) = Сехр^-^. (3.5) Значение постоянной С определяется из условия, что давление на высоте х = 0 равно заданной величине р0: р(х)=р0ех (3.6) Формулу (3.6) можно переписать в несколько ином виде, учитывая, что молярная масса ц равна произведению массы молекулы m на постоянную Авогадро TVA: р(х)—Ро ехР Г(ЗЛ) Соотношение (3.6) или (3.7) носит название барометрической формулы. Выражаемая ею зависимость давления газа р от высоты х графически представлена на рис. 3.2. Отметим, что применимость барометрической формулы к реальной земной атмосфере весьма ограничена, так, как атмосфера практически никогда не находится в состоянии теплового равновесия и ее температура меняется с высотой. Учитывая связь между давлением газа и концентрацией молекул (2.11), из (3.7) получаем распределение молекул по высоте во внешнем поле: я(*) = л0ехр(-^). (3.8) Легко заметить, что в числителе показателя экспоненты в (3.8) стоит потенциальная энергия молекулы. как допустимых значений vx бесконечно много. Поэтому имеет смысл говорить только о среднем числе молекул в единице объема, значение проекции скорости которых на ось X лежит в интервале от vx до + например от 500 до 501 м/с. Наглядное представление о законе распределения молекул по проекции скорости дает график функции/^) (3.10), который приведен на рис. 3.3. Площадь f(vx) Рис. 3.3. График функции распределения /(»„) заштрихованной полоски на этом рисунке, равная f(vx)Avx, дает, как мы видели, среднее число молекул газа в единице объема, у которых проекция скорости vx лежит в указанном интервале Avx. Теперь легко сообразить, что полная площадь, ограниченная графиком функции f(vx) и осью vx, дает число молекул, у которых vx имеет любые значения от — оо до оо, т. е. дает полное число молекул в единице объема. Именно из этого условия, называемого условием нормировки функции распределения, и определяется постоянная а в формуле (3.10). Для ее нахождения нужно проинтегрировать функцию f(vx) по vx от — оо до оо и приравнять результат концентрации молекул п. Это дает следующее значение постоянной а: (3.11) Функции распределения можно дать и несколько иную интерпретацию. Вместо того, чтобы говорить о том, сколько в среднем молекул в единице объема имеют значение vx в заданном интервале, можно говорить о том, какова вероятность того, что наугад выбранная молекула имеет значение vx в этом интервале. Очевидно, что эта вероятность равна отношению среднего числа таких молекул к полному числу молекул в единице объема. Обозначая ее через q(vx)Avx, можем написать (3.12) Из-за полной хаотичности теплового движения в состоянии равновесия можно считать, что все направления равноправны. В противном случае в газе существовало бы некоторое преимущественное направление движения молекул и, следовательно, существовал бы направленный поток . газа, чего нет в состоянии теплового равновесия. Поэтому, если выбрать любые три взаимно перпендикулярных направления х, у, z, то функции распределения молекул по проекциям скорости на эти направления будут иметь один и тот же вид (3.12). Можно поставить вопрос, какова вероятность того, что наугад выбранная молекула газа будет иметь значения трех проекций ее скорости vx, vy и v2 в заданных интервалах: проекция на ось х в интервале от vx до vx+Avx, на ось у-—от vy до vy+Avy, на ось 2 — от vz до vz+Avz. Равноправие всех направлений позволяет считать, что вероятность иметь, например, vx в заданном интервале не зависит от того, каковы значения двух других проекций скорости молекулы. Это значит, что вероятность того, что все три проекции скорости лежат в заданных интервалах, равна произведению вероятностей для каждой из проекций в отдельности: q(vx, vy, vz)AvxAvyAvz = q(vx)Avx-q(vy)Avy-q(vz)Avz. ¦ Теперь с помощью (3.12) можем написать exp -^(v2x + v2y+v2z) . (3.13) m В показателе экспоненты в (3.13) фактически стоит квадрат скорости' молекулы, и показатель равен отношению ее кинетической энергии к кТ. Таким образом, эта функция распределения зависит только от модуля скорости, но не or ее направления. Распределение по скоростям, как и следовало ожидать, оказывается равномерным по всем направлениям, т. е. изотропным в пространстве. Теперь легко получить выражение для вероятности того, что наугад выбранная молекула имеет модуль скорости в заданном интервале от v до + A v, независимо от того, как эта скорость направлена. Для этого нужно найти, чему соответствует произведение AvxAvyAvz для всех молекул, модуль скорости которых лежит в заданном интервале от v до t; + Ai>. Если построить систему координат vx, vy, vz (рис. 3.4), то легко видеть, что молекулам с одинаковым значением модуля скорости v соответствуют точки на поверхности сферы радиуса v с центром в начале координат. Молекулам со скоростями в интервале от v до +At; соответствует шаровой слой толщины Av. Поэтому произведению AvxAvyAvz в рассматриваемом случае соответствует объем этого шарового слоя, равный произведению площади поверхности сферы на толщину слоя, т. е. 4кv2 Av. Выражение для вероятности того, что молекула имеет модуль скорости в заданном интервале, равно произведению (3.13) на 4nv2 Av: q{v)Av=4n(^3\^-^v2Av. (3.14) Если нас интересует среднее число молекул в единице объема с такими значениями модуля скорости, то мы должны умножить (3.14) на концентрацию газа п: Рис. 3.4. Шаровой слой в пространстве скоростей Зависимость функции f(v) от скорости показана на рис. 3.5. Эта функция имеет максимум при значении называемом наиболее вероятной скоростью. Площадь, ограниченная графиком функции и осью v, дает полное число молекул в единице объема п. При повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям деформируется так, как показано на рис. 3.6. Максимум кривой смещается при увеличе нии Т в область больших значений v. Максимальное значение f(v) при этом убывает, так что площадь под кривой остается неизменной. Приведенные выше функции распределения молекул газа по скоростям были О Рис. 3.6. Функции распределения молекул по скоростям при разных температурах У? К Т/т Рис. 3.5. График максвел-ловского распределения молекул газа по скоростям f(u) зоок -ч 1000К У •"V -. 2000К V/ впервые получены Максвеллом и носят его имя. Максвелловский закон распределения молекул по скоростям в классической физике применим не только к газам, но и к жидкостям, и к твердым телам. Экспериментальное измерение скоростей молекул и проверка закона распределения Максвелла осуществляются различными методами, использующими молекулярные пучки. Один из первых таких опытов был проделан Штерном в 1920 г. Знание статистических функций распределения дает возможность вычислять средние значения микроскопических параметров. Например, с помощью функции распределения Больцмана можно найти положение центра масс газа в поле тяжести. С помощью функции распределения Максвелла вычисляются средние значения величин, зависящих от скорости молекулы. Если вычислить среднее значение квадрата скорости , то мы получим уже приведенную ранее величину ЗкТ/т. Для среднего значения абсолютной величины скорости расчет с макс-велловской функцией распределения дает <у) = х/жГ/л:т.