Броуновское движение описание макроскопических систем
Основное положение молекулярно-кинетической теории строения вещества, вытекающее из опытных фактов, заключается в том, что все макроскопические тела состоят из атомов и молекул, находящихся в состоянии непрерывного хаотического теплового движения. Наиболее убедительным опытным фактом, наглядно подтверждающим хаотический характер теплового движения и зависимость интенсивности этого движения от температуры, является броуновское движение. Наблюдая в микроскоп за движением взвешенных в жидкости мелких частиц, можно обнаружить, что каждая частица совершает хаотическое движение. Представление о характере блуждания частицы можно получить, если фиксировать ее положение в поле зрения измерительного ^ ,, Броуновское движение микроскопа через равные промежутки времени. Соединив последовательные положения частицы прямыми, мы получим ломаную линию, подобную изображенной на рис. 1.1. Направления соседних участков ломаной линии составляют всевозможные углы дру1 С им, laR TIU nv i wi 1№дшынн никакой закономерности в изменении направления ломаной линии. Чем короче промежутки времени, через которые фиксируется положение частицы, тем более изломанной будет выглядеть «траектория» частицы: точки А, В, С,... фиксируют положение частицы через 30 секунд, а точки 7, 2, 3,..., соединенные пунктиром, фиксируют ее положение через каждые 5 секунд. Если наблюдать за движением сразу нескольких взвешенных в жидкости частиц, то можно заметить, что они движутся то в одну сторону, то в противоположные, то под углом друг к другу. Отсюда можно сделать вывод, что наблюдаемое броуновское движение не связано с перемещением потоков жидкости, так как в этом случае соседние частицы всегда перемещались бы вместе. На опыте же никакой согласованности в движении соседних частиц не наблюдается, движутся они совершенно независимо друг от друга. Изменяя температуру, при которой производится опыт, можно заметить, что с увеличением температуры интенсивность броуновского движения растет, с понижением температуры оно замирает. Такой характер движения позволяет предположить, что броуновская частица движется под действием ударов, получаемых от молекул жидкости, в которой она находится. Если при этом считать, что тепловое движение молекул жидкости является хаотическим, то можно объяснить все наблюдаемые на опыте закономерности броуновского движения. На первый взгляд могло бы показаться, что совершенно хаотический, беспорядочный характер ударов отдельных молекул должен был бы приводить к тому, что броуновская частица, масса которой во много раз больше массы молекулы, вообще не должна была бы заметно перемещаться. В самом деле, действие ударов, полученных броуновской частицей с одной стороны, должно полностью компенсироваться ударами с противоположной стороны. В такой ситуации, казалось бы, броуновская частица может только «дрожать» на месте. Ошибка такого рассуждения заключается в том, что случайный процесс подменяется, по существу, регулярным чередованием воздействий с противоположных сторон. Но такое чередование уже не является случайным процессом, а обладает высокой степенью упорядоченности. Степень упорядоченности такого чередования не отличается от степени упорядоченности процесса, в котором все испытываемые частицей толчки происходят в одном направлении. Если, например, результат одного толчка характеризуется некоторым расстоянием /, то результат последовательности N упорядоченных толчков пропорционален величине N1. Если же последовательность этих N толчков носит случайный характер, то их результат пропорционален ly/~N. Покажем это. Будем с помощью измерительного микроскопа определять расстояние, на которое броуновская частица удаляется от начала координат за время /, многократно повторяя этот опыт. Всякий раз мы будем получать разные значения этого расстояния, однако в большинстве опытов будут получаться близкие друг к другу значения, и лишь изредка заметно отличающиеся от остальных. Можно ввести среднее расстояние, на которое уходит частица от начала координат за время t, понимая под ним среднее по большому числу опытов. В однократном опыте имеется большая вероятность получить значение расстояния, близкое к среднему. Подчеркнем, что речь идет именно о расстоянии до частицы от начала координат, а направления перемещений в отдельных опытах могут быть совершенно различными, поскольку все направления равновероятны. Задача состоит в том, чтобы найти зависимость от времени величины среднего расстояния, которое будем обозначать • Разделим интересующее нас время наблюдения t на большое число равных малых промежутков At таких, что в течение каждого промежутка частица испытывает огромное число ударов со стороны молекул жидкости. По существу, такое рассуждение означает многократное повторение опыта по измерению среднего расстояния, пройденного частицей за^ время At, причем каждый раз мы совмещаем начало координат с положением частицы в конце предыдущего промежутка времени At. Другими словами, это такой же опыт, как и рассмотренный выше, только осуществляемый за промежуток времени At, а не t. Поскольку и за промежуток частица испытывает огромное число ударов, все приведенные выше рассуждения остаются в силе: направление перемещения за каждый «шаг» At совершенно произвольно и никак не связано с направлением перемещений в другие промежутки, а расстояние, проходимое частицей за At, будет примерно одинаковым для большинства промежутков. Для простоты будем считать эти расстояния одинаковыми для всех шагов и обозначим через L. Пусть в результате N таких последовательных шагов частица оказалась в точке с радиус-векто-'* ром R,у. Тогда после очередного шага она попадет в точку Rn+I = Rn + Ln+1, (1.1) где ?jv + 1—вектор перемещения за (7У+1)-й шаг, имеющий произвольное направление и определенную длину L. Расстояние частицы от начала координат после (W-l-l)-ro шага равно RN+1=^R2N + 2RNLcosq) + L2. (1.2) Здесь ф — угол между векторами RN и LN + l. Найти среднее значение правой части этого выражения затруднительно, ибо усреднять нужно квадратный корень, а в общем случае среднее значение функции не равно этой функции от среднего значения аргумента: "(/(•^^/(Х-*»- Легко заметить, ? что если возвести (1.1) или (1.2) в квадрат: R2N+l = R2N + 2RNLcosq> + L2, (1.3) то среднее значение квадрата смещения может быть легко найдено. Поэтому будем использовать для характеристики удаления броуновской частицы от начала координат не <Л>, a ,/<7f2>- Усредняя левую и правую J части (1.3) и учитывая, что угол ср с равной вероятностью принимает любые значения от 0 до 2л, т. е. • = 0, получаем = = а/. (1.5) Это, конечно, не означает, что среднее смещение пропорционально времени. Броуновское движение частицы таково, что средний квадрат смещения растет пропорционально времени. Другими словами, квадратный корень из растет со временем пропорционально Эта величина, т. е. ^/(Л2), называемая средним квадратичным значением R, не равна среднему значению расстояния <Л> частицы от начала координат спустя промежуток времени t, которое мы хотели определить! Однако можно показать, что эти величины отличаются только постоянным множителем. Поэтому среднее расстояние броуновской частицы от начала координат также пропорционально yjt\ <Я> = Р\Д (1.6) Совершенно очевидно, что коэффициенты ос и (3 в формулах (1.5) и (1.6) зависят от интенсивности теплового движения молекул жидкости, удары которых приводят к броуновскому движению взвешенной частицы, т. е. в конечном счете от температуры. Изучение броуновского движения сыграло большую роль в развитии молекулярно-кинетической теории строения вещества. Именно броуновское движение не только принесло неопровержимое доказательство реальности атомов и молекул, но и позволило впервые подсчитать количество молекул в макроскопическом объеме вещества, т. е. определить значение постоянной Авогадро: ./VA = 6,02 • 1023 моль-1. Таким образом было окончательно установлено, что тепловая форма движения материи обусловлена хаотическим движением атомов или молекул, из которых состоят макроскопические тела. Исторически при изучении макроскопических свойств физических систем независимо сложились два различных подхода—статистический и термодинамический. Статистический подход, или статистическая механика, является молекулярно-кинетической теорией, основанной на определенных представлениях о строении вещества. Задачей статистической механики является установление законов поведения макроскопических систем, состоящих из огромного числа частиц, на основе известных динамических законов поведения отдельных частиц. Другими словами статистическая механика устанавливает связь между экспериментально измеряемыми макроскопическими величинами, характеризующими систему в целом, такими, как давление, объем, температура, напряженность электрического поля и т. д., и микроскопическими характеристиками системы, такими, как массы и заряды составляющих систему частиц, их координаты и импульсы и т. д. Поясним сказанное на примере. Простейшей системой, состоящей из большого числа частиц, является газ, занимающий некоторый объем. С точки зрения механики состояние такой системы определяется заданием положений и скоростей всех молекул газа, число которых в макроскопическом объеме огромно. Например, всего 1 см3 воздуха при нормальных условиях содержит 2,7 1019 молекул. Из-за движения-молекул механическое состояние непрерывно изменяется. Однако опыт показывает, что при неизменных внешних условиях любая макроскопическая система рано или поздно приходит в стационарное состояние, при котором, несмотря на изменение механического состояния, такие величины, как, например, температура, плотность, давление, характеризующие систему в целом, остаются неизменными. Для изолированной макроскопической системы это будет состояние теплового равновесия. Заданием таких макроскопических величин и характеризуют состояние системы в статистической механике. Таким образом, определение состояния системы в статистической механике является гораздо менее детализированным, чем в механике, так как опирается лишь на небольшое число макроскопических параметров, измеряемых на опыте. В большинстве случаев такое сокращенное описание системы является вполне достаточным, ибо нас, как правило, совершенно не интересует детальная информация о движении отдельных молекул. Но значения макроскопических параметров, разумеется, зависят от движения молекул, и задача статистической механики — выразить свойства системы в целом через характеристики отдельных молекул, т. е. перекинуть мост между макро- и микроскопическими описаниями системы. При этом требуется установить связь макроскопических параметров системы со сред- ними значениями микроскопических величин и дать способ, вычисления этих средних значений на основе законов движения отдельных молекул. Так, например, для одного моля идеального газа молекулярно-кинетическая теория устанавливает связь между произведением двух макроскопических параметров газа—давления р и молярного объема Vц— и средним значением микроскопического параметра (?у—средней кинетической энергией хаотического движения одной молекулы Е: pV,=\(E)NK. (1.7) В отличие от молекулярно-кинетической теории, термодинамический подход при изучении свойств макроскопических систем не опирается ни на какие модельные представления об атомно-молекулярной структуре вещества. Термодинамика представляет собой феноменологическую теорию, основанную на небольшом числе твердо установленных на опыте законов, таких, как, например, закон сохранения энергии. Основные понятия термодинамики вводятся на основе физического эксперимента, и поэтому она оперирует только макроскопическими величинами: давлением, температурой, объемом и т. п. При этом связь между различными макроскопическими параметрами конкретных систем в термодинамике устанавливается опытным путем. Например, для 1 моля газа в условиях, когда по своим свойствам он близок к идеальному, на опыте установлена следующая связь между тремя макроскопическими параметрами: давлением, молярным объемом и термодинамической температурой: pV^RT. (1.8) Термодинамический подход отличается большой общностью и простотой. Он дает возможность решать многие конкретные задачи, не требуя никаких сведений о свойствах атомов или молекул. Недостатком термодинамического метода можно считать то, что при его использовании остается невы явленной связь между наблюдаемым явлением и обусловливающим это явление поведением молекул. Если мы, например, термодинамическим методом установим, что металлический стержень при нагревании должен удлиняться, а растянутый резиновый жгут — сокращаться, то мы не сможем объяснить, какие особенности строения вещества приводят к такому различию в поведении при нагревании. Если же это нас не удовлетворяет и мы хотим понять, почему так происходит, то мы должны обратиться к статистической механике, так как в рамках термодинамики невозможно вскрыть глубокий физический смысл макроскопических параметров и их связь с микроскопическими параметрами. Однако именно благодаря этому обстоятельству основные законы термодинамики, установленные на опыте, применимы ко всем макроскопическим системам, независимо от особенностей их внутренней структуры. Статистическая механика и термодинамика долгое время развивались независимо, ибо термодинамика основывалась на экспериментальных фактах, в то время как в основе статистической механики лежали гипотезы об атомномолекулярном строении вещества и кинетической природе теплоты, достоверность которых вызывала сомнение до тех пор, пока эти гипотезы не были подтверждены экспериментально. С тех пор отпала необходимость в резком разграничении между термодинамикой и молекулярно-кинетической теорией, и в настоящее время они фактически слились в единую науку—статистическую термодинамику. Действительно, наиболее полные представления о свойствах систем большого числа частиц дает совместное использование термодинамики и статистической механики. Например, сравнение формул (1.7) и (1.8) дает возможность установить физический смысл макроскопического параметра- термодинамической температуры Т, связав ее со средней кинетической энергией хаотического движения молекул: <Е> = 3~кТ, где к = R/Na- постоянная Больцмана.