аканчивая изучение механики, познакомимся еще с одним методом исследования физических процессов — так называемым методом анализа размерностей. Рассмотрим задачу, ответ на которую нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты /г, если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо того, чтобы непосредственно определять эту скорость, пользуясь соотношениями кинематики, попробуем рассуждать следующим образом. От чего вообще может зависеть эта скорость? Довольно очевидно, что от высоты h и от ускорения свободного падения g она непременно должна зависеть. Поколебавшись, мы можем включить в число величин, от; которых зависит скорость падения, и массу тела т, хотя вообще-то легко сообразить, что от массы зависимости быть не должно. Итак, предположим, что скорость падения зависит от h, g и т: v=f(h, g, т). (16.1) Какой вид может иметь функция /? Ответить на этот вопрос можно с помощью анализа размерностей. В любой системе единиц имеется несколько физических величин, для которых единицы выбраны произвольно и считаются основными. В системе единиц СГС (а для механических величин и в СИ) в качестве основных выбраны единицы длины L, времени Т и массы М. Единицы всех остальных физических величин выражаются через основные. Например, единица скорости выражается через основные единицы длины и времени как LT~ . Выражение единицы любой физической величины в определенной системе единиц через основные единицы этой системы называется размерностью данной физической величины. Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то после некоторого раздумья можно для искомой функции / предложить такую формулу: v — Chxgymz, (16.2) где С-—некоторое постоянное число (безразмерная постоянная), а х, у и z — неизвестные числа, которые следует определить. Теперь учтем то обстоятельство, что если формула (16.2) правильна, то размерность ее левой части должна совпадать с размерностью правой. Размерность скорости есть LT'1, размерность высоты h есть L, размерность ускорения свободного падения g равна LT~2, и, наконец, размерность массы m равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то муле (16.2) соответствует следующее равенство ^мерностей: 1 LT~1 — Lx [LT~2)y Mz. (16.3) 0 равенство должно выполняться тождественно, не-висимо от того, каковы численные значения h, g и ,т. Поэтому следует приравнять показатели степеней при I 1 Т и М: L \=х+у, Т -1 = -2.у, (16.4) М 0 = z. решая систему (16.4), находим z = О, .у =1/2, х=1/2, и поэтому формула (16.2) принимает вид v = Chli2g1№m° = Cy/gh. (16.5) Истинное значение скорости равно, как известно, -Jlgh. Итак, изложенный подход дал нам возможность определить правильный вид зависимости v от h, g и m и не дал возможности найти значение постоянной С, которая на самом деле равна Jl. Теперь сразу возникает довольно много вопросов. Прежде всего, означает ли успех в разобранном примере, что это действительно универсальный способ нахождения вида зависимости между различными физическими величинами? Если да, то как определить, от каких параметров зависит интересующая нас величина? Если найдены эти параметры, то всегда ли искомая зависимость выражается формулой вида (16.2), всегда ли система уравнений типа (16.4) позволит однозначно определить показатели степеней всех величин, входящих в формулу (16.2)? Как определить значение численной постоянной С? И т. д. Не будем пытаться сразу получить исчерпывающие ответы на эти вопросы, а попытаемся постепенно выяснить все, что нас интересует, рассматривая конкретные примеры. Первый вопрос, пожалуй, самый трудный. Судить об универсальности метода можно, только детально изучив его во всех отношениях. Поэтому мы пока оставим его в покое, разумно предположив, что, по крайней мере, всегда можно попытаться воспользоваться изложенным подходом. l) Е. И. Бутиков и др. Несколько яснее обстоит дело со вторым вопросо Таблицу основных параметров, определяющих изуиМ емое явление, всегда можно составить, если извест^ описывающие его физические законы. В ряде случаеЫ определяющие явление параметры можно указать и тог8 да, когда физические законы неизвестны. При определе нии системы параметров нужно, как и при составлений уравнений на основе физических законов, упростить схематизировать изучаемое явление. Как правило, дзд использования метода анализа размерностей нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения Если число параметров, определяющих изучаемое явление, больше числа основных единиц, на которых построена выбранная система единиц, то все показатели степеней, разумеется, не могут быть определены. В этом случае полезно прежде всего определить все независимые безразмерные комбинации выбранной системы параметров. Тогда искомая величина будет определяться произведением какой-либо комбинации параметров, имеющей нужную размерность, на некоторую функцию безразмерных параметров. Легко видеть, что в разобранном примере из величин h, g и т безразмерную комбинацию составить нельзя. Поэтому формула (16.2) исчерпывает все возможные случаи. Рассмотрим теперь такую задачу: определить дальность горизонтального полета пули, выпущенной с начальной скоростью v в горизонтальном направлении на высоте И ог земной поверхности. Число параметров, от которых может зависеть искомая величина, равно четырем: h, v, g и масса пули т. Поэтому полное решение задачи невозможно: система единиц СГС (а для механики и система СИ) построена только на грех основных единицах*'. Найдем прежде всего все безразмерные параметры у, которые можно сконструировать из h, v, g и т: y = hxvyg2mu. (16.6) Если заранее (из каких-либо дополнительных соображений) учесть, что от массы пули искомая величина не зависит, то может показаться, что число параметров равно числу основных единиц и задача становится разрешимой. Однако это не так, ибо, исключая массу пули из числа возможных параметров, мы ограничив;^' задачу рамками кинематики, а все кинематические величины содержат только две основные единицы—длину и время. Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей: 1 =Lx[LT~l)y{LT~2)zMu. (16.7) Отсюда получаем следующую систему уравнений: L 0 =x+y+z, Т 0= —y—2z, (16.8) М 0 = м. Решая систему уравнений (16.8), найдем w = 0, у = —2z, x=z. (16.9) Теперь для искомого безразмерного параметра получаем У = hzv-2zgzm° = (^J . (16.10) Таким образом, единственный независимый безразмерный параметр в рассматриваемой задаче—это hg/v2. Теперь уже не нужно искать дальность полета, имеющую размерность длины, в виде (16.2): все равно, как мы видели, однозначно ее определить не удастся. Достаточно найти какой-либо параметр, имеющий размерность длины, например сам параметр h. Тогда общее выражение для дальности полета по горизонтали S можно записать в виде (16.11) где /—.пока неизвестная функция безразмерного параметра у = hg/v2. Метод анализа размерностей в изложенном виде не позволит определить вид этой функции. Нужно привлекать какие-то дополнительные соображения. Например, из опыта нам может быть известно, что цскомая дальность полета пропорциональна горизонтальной скорости пули v. Тогда функция / немедленно определяется — скорость v должна стоять в первой степени в числителе, т. е. Лт) = Су-1/2, (16.12) и для S получаем что с точностью до постоянного множителя совпадает с правильным ответом S — v^Jlhjg. Подчеркнем, что при таком способе определения вида функции / нам достаточно знания экспериментально установленной зависимости дальности полета S не от всех параметров, а только от одного из них Но это не единственный возможный путь определения функции /. Можно немного изменить рассуждения и определить / из соображений размерности. Действительно, если бы число основных единиц, на которых построена система единиц, равнялось бы не трем, а четырем, то равенство размерностей позволило бы полностью определить зависимость дальности полета 5 от h, v, g и т. Откуда же взять четвертую независимую единицу? До сих пор при записи формул размерностей не делалось различия между единицами длины в горизонтальном и вертикальном направлениях. Однако такое различие можно ввести и обозначить размерность единицы длины по горизонтали через Lx, а по вертикали —через Ly. Тогда размерность дальности полета по горизонтали S будет Lx, а размерность высоты h — Ly. Размерность горизонтальной скорости v будет LXT 1, а размерность ускорения свободного падения g — LyT~2. Теперь, глядя на формулу (16.11), мы видим, что единственный способ получить размерность Lx в числителе правой части заключается в том, чтобы считать /(у) пропорциональной у~1/2. Мы снова приходим к формуле (16.13). Разумеется, теперь, имея четыре основные единицы Lx, Ly, Т и М, можно и непосредственно попытаться сконструировать величину нужной размерности из четырех параметров Л, v, g и т: S= Ch"vbgcmd. (16.14) Равенство размерностей левой и правой частей Lx = Lay(LxT-l)b{LyT-2)cMd (16.15) приводит к системе уравнений для показателей степеней а, Ь, с решая эту систему, находим d=0, Ь= 1, с= —1/2, а=1/2 (16.17) и получаем формулу (16.13). Такое разложение размерности длины по взаимно перпендикулярным направлениям получило название «векторных единиц длины». Их использование, как мы видим, существенно увеличивает возможности метода анализа размерностей. Анализ размерностей является одним из универсальных методов исследования физических явлений и очень широко используется. Великий физик Энрико Ферми часто утверждал, что действительно понимающие природу того или иного явления должны уметь получать основные соотношения из соображений размерности. Особенно широкое применение получил метод анализа размерностей при изучении движения вязкой жидкости и газа и при изучении движения твердых тел в жидкости и газе. В этом наиболее сложном разделе динамики, где очень многие вопросы не решены по настоящее время, метод анализа размерностей зачастую оказывается единственным подходом, позволяющим теоретически осмыслить результаты различных экспериментальных исследований. Число физических величин, определяющих то или иное явление, иногда настолько велико, что оказывается практически/ невозможным не только решить уравнения движения, но и даже составить их. Но и в таких случаях анализ размерностей позволяет найти некоторые основные соотношения между этими величинами, что фактически означает уменьшение числа независимых параметров. Сочетание метода размерностей с экспериментом iae возможность получать частичную информацию о свойствах изучаемых систем и в очень сложных случаях, когда другими методами ее вообще получить не удается. В качестве примера использования анализа размерностей рассмотрим одну из простейших задач этого сложного раздела механики задачу о сопротивлении, испытываемом твердым телом при движении в вязкой среде — жидкости или газе. Сопротивление движению в вязкой среде зависит от большого числа параметров относительная роль которых меняется в зависимости 0т скорости движения тела. При небольших скоростях движения основной вклад в сопротивление определяется вязкостью жидкости, а ее плотностью и сжимаемостью можно пренебречь. При больших скоростях движения определяющую роль играет как раз плотность жидкости а не ее вязкость. И, наконец, если скорость движения твердого тела становится сравнимой со скоростью звука в жидкости, то при расчете силы сопротивления необходимо учитывать сжимаемость среды. Таким образом, набор параметров, определяющих величину сопротивления движению, включает в себя скорость тела v, плотность среды р, ее вязкость г), сжи- ' дк — и линеиные размеры тела / , / Др х У и lz. Будем считать, что тело обладает симметрией относительно оси z, а его скорость v направлена вдоль оси симметрии. Тогда тело характеризуется линейным размером / вдоль оси симметрии и площадью поперечного сечения S. Будем использовать векторные единицы длины, приписывая разные размерности Lx, Ly и Lz для расстояний вдоль осей х, у и z. Рассмотрим случай, когда скорость движения тела много меньше скорости звука в среде. При этом сжимаемостью среды можно пренебречь, и мы имеем пять параметров: v, р, Г¦, /, S. Выражения для размерностей этих величин имеют следующий вид: v LZT~\ р {LxLyLz)"M, г\ ь;гт~1м, (16.18) i К S LxLy. Прежде всего определяем безразмерные параметры, которые можно составить из этих величин: y = vxpyr\zSulw. (16.19) Выражение (16.19) приводит к следующему равенству размерностей: I ={LzT~*)x(Lxl LylLz* M)y(Lzl T~l M)z(LxLy)uL™ Решая ее, находим х=у = и= —z, w = z. Следовательно, безразмерный параметр у, согласно (16.19), имеет вид Из выражения (16.22) видно, что в рассматриваемом случае имеется всего один независимый безразмерный параметр lr\/(Spv). Поэтому выражение для силы сопротивления равно произведению какой-либо комбинации из величин v, р, т¦, S и /, имеющей размерность силы, направленной вдоль оси z, на некоторую функцию безразмерного параметра /r¦/(Spi>). Как легко убедиться, произведение i;2p5 как раз и имеет размерность силы, направленной по оси г. Поэтому выражение для силы сопротивления F записывается в виде ,2aoW ,г\ Эта формула позволяет сделать очень интересные выводы о силе сопротивления. Пусть скорость движения настолько мала, что определяющую роль в сопротивлении играет вязкость жидкости г¦. Так как сила сопротивления при этом пропорциональна вязкости, то '^Spr) Spv' и выражение (16.23) принимает вид F=Cvlr], (16.24) гле С—некоторая постоянная. Сила сопротивления "Ропорциональна скорости движения тела, вязкости и линейному размеру тела в направлении движения, ^"а оказывается не зависящей от плотности жидкости и от поперечного сечения тела. При большей скорости определяющей становитс j не вязкость жидкости, а ее плотность. Для того чтобш сила сопротивления не зависела от вязкости, нуж^Г1 чтобы функция / стремилась к постоянному значению Формула (16.23) при этом принимает вид F=Cji;2pS, (16.25) где Ct — новая постоянная. Как и можно было ожидать из качественных соображений, сопротивление в этом! случае определяется поперечным сечением тела и це! зависит от размеров тела вдоль направления движения ВОПРОСЫ 1. Почему в состоянии равновесия жидкость действует на твердое' тело только по нормали к его поверхности? 2. Объясните, почему не опрокидывается корабль, центр тяжести! которого расположен вы!пе ватерлинии? 3. При каких условиях равновесие плавающего в полностью погруженном положении тела будет устойчивым? 4. Какие предположения" лежат в основе модели идеальной жидкости? Зависит ли применимость этой модели только от свойств самой жидкости? 5. В чем причина различия в показаниях манометра при разной ориентации его чувствительного элемента в потоке жидкости? 6. Получите выражения для скорости истечения жидкости из отверстия иглы шприца непосредственно с помощью закона сохранения энергии, не используя уравнения Бернулли. 7. Почему при рассмотрении явления гидравлического удара нельзя использовать модель несжимаемой жидкости? 8. Когда силу сопротивления движению тела в жидкости или I газе можно считать пропорциональной скорости, а когда квадрату, скорости? 9. Какую роль играет циркуляция воздуха вокруг крыла для возникновения подъемной силы? 10. Что можно сказать о возможностях и ограничениях методгй анализа размерностей? 11. Разъясните, каким образом введение «векторных едипиа¦ длины» расширяет возможности метода анализа размерностей, а