Движение идеальной жидкости
При кинематическом описании движения : или газа можно поступать следующим образо следить за определенной точкой пространства ровать модуль и направление скоростей р частиц жидкости, которые в разные моменты проходят через эту точку. Если проделать это точек пространства и указать скорости частиц во всех точках в определенный момент вре получится .мгновенная картина распределения < в движущейся жидкости—так называемое по стей. Линии, касательные к которым во всс совпадают с направлениями скоростей жидкое точках, называются линиями тока. При стационарном течении жидкости по. стей, а следовательно, и линии тока не менвременем. В этом случае линии тока совпадают с траекториями отдельных частиц жидкости, так как каждая частица жидкости приходит в данную точку с той же самой скоростью. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 14.2). Такая мысленно выделен-\ ная в потоке часть жидкости — трубка тока,—подобно жидкости в настоящей трубе, движется, нигде не пересекая боковой поверхности трубки. При стационарном течении количество жидкости, пересекающей в единицу времени сечение т. е. «втекающей» в выделенную часть трубки, равно количеству жидкости, «вытекающей» через сечение S2. Если выбрать трубку тока с поперечным сечением AS настолько малым, чтобы скорость жидкости во всех точках сечения была одинаковой, причем это сечение ориентировано перпендикулярно линиям тока, то количество жидкости Ат, протекающей через это сечение за время /, будет равно Am = pvASt. (14.1) В стационарном потоке величина Ат одна и та же для любого поперечного сечения выбранной (14.2) Если жидкость можно рассматривать как несжимаемую, ¦ то р, = р2 и условие (14.2) принимает вид vlASl=v2AS2. (14.3) Это соотношение называется уравнением неразрывности. Полученный результат (14.3) справедлив для выбранной трубки тока. При изучении движения потоков жидкости на такие трубки можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью. Динамика движения реальной жидкости очень на. Для упрощения ее описания в некоторых сл можно пренебречь силами внутреннего трения. 1 жидкость называют идеальной. При движении и; ной жидкости не происходит превращения механич энергии во внутреннюю, т. е. механическая эн жидкости сохраняется. Закон сохранения механи1 энергии для идеальной несжимаемой жидкости вы ется уравнением Бернулли. Рассмотрим часть жидкости, заключенную i сечениями АБг и AS2 некоторой трубки тока, положенными на высотах h1 и h2 соответст (рис. 14.3). За промежуток времени At эта жи; Рис. 14.3. К выводу уравнения Бернулли смещается вдоль трубки тока и занимает новое п ние между сечениями AS\ и AS2. Для малоп межутка времени At можно пренебречь раз: между площадями AS и AS' старых и новых с и различием в их высотах. Подсчитаем работу, шаемую внешними силами над выделенной жид за время At. Силы давления, действующие на б< поверхность трубки тока, работы не совершай как действуют перпендикулярно перемещению, силы давления в сечении AS! равна plASlvlAt, в сечении AS2 равна —p2AS2v2At, так что работа внешних сил AA—p1ASlv1At—p2AS2v2At. В силу стационарности движения энергия Ж1 между сечениями AS'j и AS2 не меняется. Эт; жидкости показана на рис. 14.3 двойной штри Ьэтому изменение энергии рассматриваемой жидкости ,вно энергии части жидкости между сечениями AS2 [AS 2 минус энергия части жидкости между сечениями Vt и AS i- Потенциальная энергия части жидкости гжду AS2 и AS 2 равна pAS^o2Atgh2, ее кинетическая рргия равна {li2)pAS2v2Atv2. Аналогично записыва-ся выражения для энергии жидкости между сечениями и AS;. Поэтому изменение энергии всей выделен-части жидкости в рассматриваемой трубке тока время At равно = р AS2 v2 At gh2 + ~ pAS2 v2 Atv \ — —(pASx Atgh^ +pASi Vj^Atvl). (14.5) основании закона сохранения механической энергии 1ота внешних сил (14.4) равна изменению энергии гемы (14.5). Учитывая уравнение неразрывности 3), получим Pi + pglh + l- pvj =p2 + pgh2 + i pvl. (14.6) и есть уравнение Бернулли. Оно было выведено достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, 1ведливо, когда эта трубка сжимается в линию 1. Поэтому сумма p + pgh + (\/2) pv2 остается неиз-ной вдоль одной и той же линии тока. 3 неподвижной жидкости в состоянии равнове-согласно закону Паскаля давление не зависит ориентации площадки. А как обстоит дело в кущейся жидкости? Уравнение Бернулли дает воз-ность ответить на этот вопрос в случае стационар-I течения идеальной несжимаемой жидкости. Ока-1ется, что величина измеряемого неподвижным эметром давления зависит от ориентации площадки >токе. 1редставим себе манометр в виде изогнутой трубки зняя часть которой, обращенная навстречу потоку, яна, а в боковой стенке имеется отверстие 14.4л). Такая трубка искажает поток только вблизи среднего конца, а вблизи отверстия поток практпче-не меняется. Поэтому давление здесь такое же, 1 как и во всех других точках линии тока, проходяще вблизи отверстия. Соединенный с такой трубкой м нометр измеряет давление жидкости р, входящее в ура нение Бернулли. Такое же давление покажет произвол но ориентированный манометр, движущийся вмес с потоком. Если же взять трубку с открытым передним ко цом, обращенным навстречу потоку жидкост (рис. 14.46), то показание соединенного с ней маномет} Рис. 14.4. Манометрическая трубка в потоке жидкости будет больше величины р. Поясним это. Лини тока вблизи такой трубки показаны на рис. 14.4i Так как жидкость внутри трубки неподвижна, то лиш тока, упирающаяся в открытый конец трубки, обрыв; ется в точке А и скорость жидкости в этой точ! обращается в нуль. Обозначим давление в этой точ! через рj, а давление и скорость в потоке вдали с трубки через р и v. Применяя к выделенной линии тока уравнею Бернулли, получим -р+-г PV Именно это давление и показывает соединенный с тру( кой манометр. По измерениям величин р и р1, т. располагая трубками обоих типов, можно рассчитал скорость потока v. С помощью уравнения Бернулли легко оценит скорость истечения жидкости v из шприца. Буде считать жидкость идеальной. Пусть на поршень nmpi ца, который имеет площадь S0, действует внешня сила F (рис. 14.5) и струя жидкости вытекает из игл имеет вид Таким образом, скорость истечения идеально? кости из отверстия в сосуде такая же, как i свободном падении тела с высоты И. Этот фак впервые установлен Торричелли. Более сложным является вопрос о форме вытекающей жидкости. Оказывается, что форма зависит от устройства отверстия. Сравнительно г исследовать предельные случаи, показанньк рис. 14.7а и б. В случае а линии тока в отв< Из уравнения неразрывности (14.3) вытекает, что 1 Рис. 14.6. Истечение жидкости из отверстия в стенке сосуда Рис. 14.5. К опенке скорости истечения жидкости цх шприца Sv. Выражая отсюда v0 и подставляя в (14.8), получим (14.9) )бычно площадь отверстия иглы во много раз меньше лощади поршня шприца: S«S0. Тогда .тенебпе'гая вадратом отношения S/S0 по сравнению Гйинипей аидем скорость истечения: единицеи, v= Как вытекает налитая в широкий сосуд жидкость небольшого отверстия в дне или боковой стенке эд действием силы тяжести (рис. 14.6)? Скорость стечения идеальной несжимаемой жидкости легко шти с помощью уравнения Бернулли. Рассмотрим шию тока, начинающуюся вблизи свободной повер-юсти жидкости и проходящую вдоль оси отверстия, оскольку скорость жидкости вблизи поверхности в ши- Зависимость сечения струи жидкости от устройства отв перед истечением постепенно изменяют напра! на параллельное оси трубки. В результате пл сечения вытекающей струи равна площади о отверстия трубки и сжатия струи не проис В случае б частицы жидкости вблизи отв имеют скорости в поперечных направлениях приводит к сжатию струи. Величину сжати: этого случая можно рассчитать с помощью сохранения импульса. Будем рассуждать следу образом. Всюду вблизи боковых стенок сосуда ск движения жидкости пренебрежимо мала и да равно гидростатическому. Силы давления жи, на стенки сосуда взаимно уравновешиваются за исключением участка, лежащего точно напротив отверстия и имеющего ту же площадь S, что и отверстие. Импульс этой неуравновешенной силы за время At равен pghSAt. На основании закона сохранения импульса точно такой же импульс должна унести вытекающая за это время At жидкость. Этот импульс равен произведению массы вытекающей жидкости на скорость ее истечения v. Если площадь сечения струи после сжатия St, то импульс жидкости равен pSjuAfu. Поэтому pghSAt = pS\v2 At. Подставляя сюда скорость истечения жидкости (14.10), получим Sl = S/2: поперечное сечение вытекающей струи оказывается вдвое меньше площади отверстия. При всех других формах отверстий, отличающихся от изображенных на рис. 14.7, сжатие струи заключено в промежутке между этими предельными случаями. Закон сохранения импульса позволяет объяснить реакцию струи жидкости, которая течет по изогнутой трубе постоянного сечения площади S1 (рис. 14.8). При Рис. 14.8. Реакция струи жидкости при течении по изогнутой трубе стационарном течении импульс любого элемента жидкости изменяется только по направлению, оставаясь неизменным по величине. В трубе, изогнутой под прямым углом, изменение импульса жидкости за время At, как видно из рис. 14.8, равно Л/»=/?2 — /?1 = pS'i?(t»2 — fx)A/, (14.11) где i/1! и v2 — равные по модулю скорости жидкости до и после изгиба трубы: vl = v2 — v. Таким образом, действующая на трубу сила, обусловленная дв жидкости, равна F=y/2pSv2. Направление этой силы указано на рисунке. Р ный пример объясняет принцип действия гидр ких турбин. В заключение рассмотрим явление так назь гидравлического удара. Нередко можно вид в твердых камнях выбиты углубления в тех куда попадают отдельные падающие сверх; воды. Дело в том, что при ударе капель о е в отличие от постоянно действующей струи, пр( внезапно возникающий контакт струи с пр В непрерывной струе, как мы видели, на поста поперек потока площадку действует добавоч! pv2/2 на единицу площади. Если же непо площадка появляется в потоке внезапно, то наб на нее жидкость вынуждена затормозиться. Аб несжимаемая жидкость, движущаяся по тру мгновенном перекрывании трубы остановилась сразу, что привело бы к бесконечно больш давления на преграду. Поэтому представл< абсолютно несжимаемой жидкости в таких ; неприменимо. В сжимаемой жидкости при bf появлении преграды за время At остановите*, та часть жидкости, до которой успеет дойт деформации, распространяющаяся в жидкости н потоку от преграды. Такая волна распростран скоростью, равной скорости звука с в данной ж Закон сохранения импульса позволяет рассчит; F, действующую на внезапно возникающую сечением S перегородку. Пусть до появления г жидкость в трубе имела скорость v. Учиты масса останавливающейся за время At жидкое pScA/, имеем FAt^pScAtv, откуда для развивающегося при гидравлическс добавочного давления p = F/S имеем p = pcv. Скорость звука в воде равна примерно Поэтому в пот оке, имеющем скорость 10 м/с, (14.13), развиваемое при гидравлическом ударе, как нетрудно убедиться, в 300 раз больше давления pv2/2 постоянно действующей струи воды. Явления, связанные с гидравлическим ударом, весьма разнообразны. Например, во время шторма на море можно наблюдать, как волны, бьющие в вертикальную стенку набережной, образуют всплески, имеющие огромную высоту, в десятки раз превосходящую высоту волн на море.