Механическое равновесие
Раздел механики, в котором изучаются услови: равновесия тел, называется статикой. Проще всег< рассмотреть условия равновесия абсолютно твердой тела, т. е. такого тела, размеры и форму котороп можно считать неизменными. Понятие абсолютно твер дого тела является абстракцией, поскольку все реаль вые тела под влиянием приложенных к ним си. в той или иной степени деформируются, т. е. меняю свою форму и размеры. Величина деформаций зависи как от приложенных к телу сил, так и от свойст самого тела — его формы и свойств материала, и которого оно изготовлено. Во многих практическ важных случаях деформации бывают малыми и ис пользование представлений об абсолютно твердом тел является оправданным. Однако не всегда малость деформаций являете достаточным условием для того, чтобы тело можн было считать абсолютно твердым. Чтобы пояснит это, рассмотрим следующий пример. Балка, лежаща на двух опорах (рис. 12.1а), может рассматриваться как абсолютно твердое тело, несмотря на то, что она слегка прогибается под действием сил тяжести. Действительно, в этом случае условия механического j равновесия позволяют определить силы реакции опор и /V2, не учитывая деформации балки. Но если , A j Ы2 1 1 А л А тд 97 циальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому, если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше. В дальнейшем мы ограничимся изучением срав-J нительно простых систем, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное j условие = 0 (12.1) сводится к двум скалярным: = 0, 96 N, д Л тд (12.2) ¦Рис. 12.1. Силы реакции для балки на двух опорах (о) и на трех опорах (б). В случае б модель абсолютно твердого тела к балке неприменима та же балка лежит на трех опорах (рис. 12.16), то представление об абсолютно твердом теле является неприменимым. В самом деле, пусть крайние опоры находятся на одной горизонтали, а средняя — чуть ниже. Если балка абсолютно твердая, т. е. вообще не прогибается, то она совсем не давит на среднюю опору (УУ3 = 0). Если же балка прогибается, то она давит на среднюю опору, причем тем сильнее, чем больше деформация. Условия равновесия абсолютно твердого тела в этом случае не позволяют определить силы реакции опор Nl, N2 и /V3, так как приводят двум уравнениям для трех неизвестных величин. Такие системы носят название статически неопределимых. Для их расчета необходимо учитывать упругие свойства тел. Приведенный пример показывает, что применимость модели абсолютно твердого тела в статике определяется не столько свойствами самого тела, сколько условиями, в которых оно находится. Условия равновесия абсолютно твердого тела представляют собой частный случай динамических уравнений, когда ускорение отсутствует, хотя исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики. В инерции если расположить оси х и у в плоскости действия сил. Некоторые из входящих в условия равновесия (12.1) действующих на тело внешних сил могут быть заданы, т. е. их модуль и направление известны. Что же касается сил реакции связей или опор, ограничива ющих возможное перемещение тела, то они. как правило, наперед не заданы и сами подлежат определению. В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел. Иногда возникает сомнение в определении направления силы реакции связи, как, например, на рис. 12.2, где изображен стержень, опирающийся концом А о гладкую вогнутую поверхность чашки и в точке В на острый край чашки. Для определения направления сил реакции в этом случае можно мысленно немного подвинуть стержень, hi нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции будет направлена перпендикулярно поверхности, по которо! скользит точка контакта. Так, в точке А действующая н; стержень сила реакции перпендикулярна поверхност) чашки, а в точке В—перпендикулярна стержню. Для плоской системы сил векторы моментов всех! направлены перпендикулярно плоскости, в которой 1 ежа силы, если моменты рассматриваются относи-;льно точки, лежащей в этой же плоскости. Поэтому шторное условие для моментов сводится к одному :алярному: в положении равновесия алгебраическая мма моментов всех внешних действующих сил равна лю. Модуль момента силы F относительно точки равен произведению модуля силы F на расстояние точки О до линии, вдоль которой действует сила При этом моменты, стремящиеся повернуть тело часовой стрелке, берутся с одним знаком, против ж часовой стрелки—с противоположным. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты. Для иллюстрации применения условий равновесия абсолютно твердого тела рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания (рис. 12.3а). Определим, каково натяжение веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на. середине одной из них стоит человек весом Р. Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел — половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как для системы в целом, так и для ее частей. Применяя условия равновесия ко всей системе в целом, можно найти л реакции пола АГ1 и N2 (рис. 12.36). При отсутствии <ия эти силы направлены вертикально вверх и усло- равенства нулю векторной суммы внешних сил ) принимает вид Условие равновесия моментов внешних сил относительно точки А записывается следующим образом: Nx •21 cos а = Р - cos а, где / -длина половинки лестницы, а а — угол, образованный лестницей с полом. Решая систему уравнений (12.3) и (12.4), находим NX = P/4, N2 = 3P/4. Разумеется, вместо уравнения моментов (12.4) относительно точки А можно было бы написать уравнение моментов относительно точки В (или любой другой точки). При этом получилась бы система уравнений, эквивалентная использованной системе (12.3) и (12.4). Сила натяжения веревки и силы взаимодействия в шарнире для рассматриваемой системы являются внутренними и поэтому не могут быть определены из условий равновесия всей системы в целом. Для определения этих сил необходимо рассматривать условия равновесия отдельных частей системы. При этом удачным выбором точки, относительно которой составляется уравнение моментов сил, можно добиться упрощения алгебраической системы уравнений. Так, например, в данной системе можно рассмотреть условие равновесия моментов сил, действующих на левую половинку лестницы, относительно точки С, в которой находится шарнир. При таком выборе точки силы, действующие в шарнире, не войдут в это условие, и мы сразу находим силу натяжения веревки Т: Ar1/cosa=r/sina, (12.5) откуда, учитывая, что N^ — Pj4, получаем Р Т=- ctga. Условие (12.5) означает, что равнодействующая сил Т и Nt проходит через точку С, т. е. направлена вдоль лестницы. Поэтому равновесие этой половинки лестницы возможно, только если сила Qu действующая на нее в шарнире, также направлена вдоль лестницы (рис. 12.Зв), а ее модуль равен равнодействующей сил Т и ила Q2, действующая в шарнире на другую половинку кстницы, на основании третьего закона Ньютона )авна Q{ по модулю и направлена противоположно. Направление силы Qy можно было бы определить «посредственно из рис. \2.3в, учитывая, что при рав-ювесии тела под действием трех сил линии, по оторым действуют эти силы, пересекаются в одной очке. Действительно, рассмотрим точку пересечения Ьиний действия двух из этих трех сил и составим равнение моментов относительно этой точки. Момен-ы первых двух сил относительно этой точки равны ^улю; значит, должен равняться нулю и момент третьей шлы, что возможно, только если линия ее действия акже проходит через эту точку. Иногда задачу статики можно решить, вообще не рассматривая условий равновесия, а используя закон сохранения энергии применительно к механизмам без трения: ни один механизм не дает выигрыша в работе. Этот закон часто называют золотым правилом механики. Для иллюстрации такого подхода рассмотрим следующий пример: тяжелый груз весом Р подвешен на невесомом шарнире с тремя звеньями (рис. 12.4). Какое натяжение должна выдержать нить, соединяющая точки А и Я? / Попробуем с помощью этого механизма поднимать груз Р. Отвязав нить в точке А, потянем ее вверх так, чтобы точка В медленно поднялась а расстояние Ah. Величина перемещения Ah ограничена ем, что сила натяжения нити Т должна оставаться еизменной в процессе перемещения. Совершенная ри этом работа А А = TAh. В результате груз Р под-имается на высоту А Их, которая, как ясно из :ометрических соображений, равна ЗАЛ. Так как ри отсутствии трения никаких потерь энергии не роисходит, можно утверждать, что изменение по-;нциальной энергии груза, равное PAhx, определяется свершенной при подъеме работой. Поэтому Т=ЗР. Очевидно, что для шарнира, содержащего произвольное число п одинаковых звеньев, Т= пР. Нетрудно найти натяжение нити и в том случае, когда требуется учитывать вес самого шарнира Рх. совершаемую при подъеме работу следует приравнять сумме изменений потенциальных энергий груза и шарнира. Для шарнира из одинаковых звеньев центр тяжести его поднимается на a Ah/2. Поэтому Р1 Т=п[ Р+ Сформулированный принцип («золотое правило ме ханики») применим и тогда, когда в процессе перемеще ний не происходит изменения потенциальной энергии а механизм используется для преобразования силы Редукторы, трансмиссии, вороты, системы рычаго] и блоков — во всех таких системах модуль преобразо ванной силы можно определить, приравнивая работь преобразованной и приложенной сил. Другими словами при отсутствии трения отношение этих сил определяете только геометрией устройства. Рассмотрим с этой точю зрения разобранный выше пример со стремянкой. Конечно, использовать стремянку в качестве подъемного механизма, т. ё. поднимать человека, сближая половинки стремянки, вряд ли целесообразно. Однако это не может помешать нам применить описанный метод для нахождения силы натяжения веревки Приравнивая работу, совершаемую при сближении частей стремянки, изменению потенциальной энергии человека на стремянке и связывая из геометрически соображений перемещение Ах нижнего конца лестниц с изменением высоты груза Ah (рис. 12.5), получаем, кг и следовало ожидать, приведенный ранее результат -г р ? Как мы уже отмечали, перемещение следует выбирать Ьм, чтобы в процессе перемещения можно было Гать постоянной действующую силу. Легко убедиться, в примере с шарниром это условие не накладывает ничений на величину перемещения, так как сила 1жения нити не зависит от угла ¦3 (рис. 12.4). Напротив, даче о стремянке перемещение следует выбирать >im. ибо сила натяжения веревки зависит от ос. 'авновесие бывает устойчивым, неустойчивым и без-ичным. Равновесие устойчиво, если при малых мещениях тела из положения равновесия дейст-цие силы стремятся вернуть его обратно, и неустой-, если силы. уводят его дальше от положения овесия. Если же при малых смещениях дейст-дие , на тело силы и их моменты по-прежнему ювешиваются, то равновесие безразличное, стойчивому равновесию соответствует минимум щиальной энергии тела по отношению к ее ниям в соседних положениях тела. Этим свойством : При каком соотношении между радиусами равновесие устойчиво? На какой максимальный угол можно при этом отклонить от горизонтали верхний карандаш? Коэффициент трения равен ц. На первый взгляд может показаться, что равновесие верхнего карандаша вообще неустойчиво, так как центр тяжести верхнего карандаша лежит выше оси, вокруг которой он может поворачиваться. Однако здесь положение оси вращения не остается неизменным, поэтому этот случай требует специального исследования. Поскольку верхний карандаш уравновешен в горизонтальном положении, центры тяжести карандашей О у и О 2 лежат на одной вертикали (рис. 12.66). Отклоним верхний карандаш на некоторый угол ср от горизонтали. При отсутствии'трения покоя он немедленно соскользнул бы вниз. Чтобы не думать пока о возможном соскальзывании, будем считать трение достаточно большим. При этом верхний карандаш «прокатывается» по нижнему без проскальзывания. Точка опоры из положения А перемещается в новое положение С, а та точка, которой верхний карандаш до отклонения опирался о нижний, переходит в положение В. Поскольку проскальзывание отсутствует, длина дуги АС равна длине отрезка ВС: ^АС = R(p = ВС. Центр тяжести верхнего карандаша 02 переходит в положение 03. Если вертикаль, проведенная через 03, проходит левее новой точки опоры С, то сила тяжести стремится вернуть верхний карандаш в положение равновесия. Выразим это условие математически. Проведя вертикаль через точку В. видим, что должно быть выполнено условие BE ф (0 < ф < л 2), сила тяжести будет стремиться возвратить верхний карандаш в положение равновесия только при r/R< 1. Следовательно, устойчивое равновесие верхнего карандаша на нижнем возможно только тогда, когда его радиус меньше радиуса нижнего карандаша. Для ответа на второй вопрос следует выяснить, какие причины ограничивают значение допустимого угла отклонения. Во-первых, при больших углах отклонения вертикаль, проведенная через центр тяжести .. i H=tq»¦i и=уа> верхнего карандаша, может пройти '' 7 правее точки опоры С. Из условия (12.7) видно, что при заданном отношении радиусов карандашей у — Rjr максимальный угол отклонения cpi определяется уравнением tg ф! = уф ]. Решение этого трансцендентного уравнения легко найти графически (рис. 12.7). Во-вторых, максимальное значение угла отклонения ограничивается значением коэффициента трения: карандаш не должен соскальзывать, т. е. для предельного угла ф2 получаем tg ф2 = ц (вспомните условие равновесия на наклонной плоскости). Решение этого уравнения также показано на рис. 12.7. Очевидно, что максимально допустимый угол отклонения равен меньшему из ф! и ф2. Поскольку у>1, а коэффициент трения ц обычно меньше единицы, то максимально допустимый угол отклонения практически всегда определяется условием соскальзывания, т. е. углом ф2. ВОПРОСЫ 1. О чем говорит закон движения центра масс системы взаимодействующих тел? Могут ли внутренние силы влиять на траекторию центра масс? 2. Почему невозможно осуществление межзвездной космической экспедиции с использованием традиционных ракет на химическом топливе? 3. Объясните различие потенциальных и непотенциальных сил. 4. Как зависит потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли от высоты над ее поверхностью? Рассмотрите случаи, когда высота мала и сравнима с радиусом Земли. 5. При каких условиях механическая система может считаться консервативной? 6. Могут ли внутренние силы изменить механическую энергию системы? 7. С какими свойствами симметрии пространства и времени связаны законы сохраненкя импульса и энергии? § 13. ГИДРОСТАТИКА. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ 8. Разъясните различие между упругими и неупругими новениями. 9. Почему при большом различии масс сталкивающихся затруднен обмен энергией при упругих столкновениях? 10. Какие ограничения накладывают законы сохранения н отклонения при упругом столкновении с неподвижной части 11. Все инерциальные системы отсчета равноправны. Г1оч1 при определении второй космической скорости в одной с отсчета приходится учитывать эффекты, которыми можно npei в другой (тоже инерциальной) системе отсчета? 12. В пределах сферы действия Земли можно рассчи движение космического аппарата, не учитывая его притяжения д небесными телами. Чем определяются размеры этой сферы де 13. На поверхности Земли некоторому телу сообщают нач скорость, меньшую второй космической. При каком ее напр; тело удалится от Земли на наибольшее расстояние? 14. В каких точках эллиптической орбиты спутника его ci принимает наибольшее и наименьшее значения? 15. При каком условии периоды обращения спутника по к] и эллиптической орбите будут одинаковы? 16. Всегда ли условий равновесия твердого тела достато1 определения сил реакции? 17. Как практически можно определить направление сил при отсутствии трения? 18. Как можно использовать золотое правило механи анализе условий равновесия? 19. Как связана устойчивость равновесия системы с ее циальной энергией?