Простые примеры из космической динамики
Особенности движения тел в ньютоновском поле отения лучше всего изучать, рассматривая конкрет-: примеры. В этом параграфе будет рассмотрено шлько примеров из космической динамики движения гников в гравитационном поле Земли на основе энов Кеплера и законов сохранения. Пример 1. С полюса Земли запускают две ракеты, у вертикально вверх, другую горизонтально. На-ьные скорости обеих ракет равны v0, причем i>0 ьше первой космической скорости и меньше второй, [сним, какая из ракет удалится дальше от центра ли и во сколько раз. Сопротивлением воздуха гм пренебрегать. Рассмотрим вначале более простой случай, когда ;та запускается вертикально вверх. Поскольку един-нная сила, действующая на ракету в свободном ;те, есть сила притяжения к Земле, направленная икально вниз, то ракета полетит по прямой, «одящей через центр Земли. Так как начальная юсть ракет ы меньше второй космической скорости, 1акета на некотором расстоянии rt от центра Земли новится и начнет падать назад. Точку максималь-> удаления проще всего найти из энергетических ражений. Действительно, так как полная механичес-энергия системы ракета — Земля сохраняется, энер-з начале полета (mvl/2 — mgR) равна энергии в точке новки (~mgR2/rl). Отсюда сразу находим рассто- максимального удаления от центра Земли: r - 2«Rl 1 2gR-v20' 11. ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ КОСМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ Прежде чем вычислять максимальное удаление ракеты при горизонтальном запуске, выясним вопрос о форме траектории. Поскольку начальная скорость ракеты превышает первую космическую, но меньше второй, ракета движется по эллипсу, у которого фокус находится в центре Земли, а начальная точка полета является перигеем. Большая ось эллипса проходит через эту точку и центр Земли (рис. 11.1). Интересующая нас точка наибольшего удаления от центра Земли апогей — лежит на противоположном конце большой оси, и скорость ракеты v2 в этой точке, разумеется, отлична от нуля и направлена перпендикулярно большой оси эллипса. Для нахождения г2 опять можно воспользоваться энергии: Уже отсюда легко увидеть, что максимальное удаление ракеты г2 в этом случае будет меньше, чем г1. Уравнение содержит две неизвестные величины v2 и г2 и поэтому имеет бесчисленное множество решений. Что бы это могло означать? Перечитав еще раз наши рассуждения, легко заметить, что в уравнение закона сохранения энергии не вошли никакие признаки, которые характеризовали бы точку г2 как точку наибольшего удаления. Точно такое же уравнение мы получили бы и дтя любой другой точки траектории. Заметим, что в первом случае (при вертикальном запуске ракеты) точка максимального удаления была уже выделена в уравнении закона сохранения энергии, так как только в этой точке кинетическая энергия ракеты обращается в нуль. Какое же условие следует добавить к уравнению баланса энергии во втором случае, чтобы учесть особенности точки наибольшего удаления, отличающие ее от всех других точек траектории? Мы уже заметили, что в этой точке скорость перпендикулярна к направлению на центр Земли. Точно таким же свойством обладает и начальная точка траектории: по условию начальная скорость ракеты v0 перпендикулярна направлению на центр Земли. Во всех остальных точках 1ектории это не так. Этот факт позволяет в простом ю применить второй закон Кеплера о постоянстве торной скорости при движении в центральном поле: v0R = v2r2. Г ерь мы имеем систему уравнений для определения " г2, причем из наших рассуждений вытекает, что система должна иметь два решения, соответству-;их перигею и апогею. Легко убедиться, что после становки v2 = v0R/r2 уравнение баланса энергии вращается в квадратное уравнение относительно г2, ни которого равны R и r2 — vlRI(2gR — Vo)\ сравнивая " гь получаем >1. r2 V2o \V0/ \Пример 2. Два искусственных спутника Земли дви-ся по одной и той же круговой орбите на расстоянии ¦фуг от друга, считая вдоль траектории. Период Ьщения спутников равен Т. Как можно сблизить гники на орбите, если на одном из них есть атель, с помощью которого можно практически Ьвенно сообщить некоторую дополнительную скорость Av, малую по сравнению с орбитальной скоростью и направленную по касательной к траектории? Как скорость Av связана с L и Г? На рис. 11.2 показана круговая траектория радиуса гь по которой движутся спутники на расстоянии L друг от друга. Если в произвольной точке А спутнику сообщить дополнительную скорость Av в направлении орбитального движения, то он будет двигаться по эллиптической орбите 1 с фокусом в центре Земли. Период обращения по такой те больше, чем по круговой. Если же дополнитель-скорость Av в точке А направить против движения >рбите, то спутник перейдет на эллиптическую гу 2, период обращения по которой шчьше Т. Отсюда становится ясным, какие маневры следует проводить для сближения спутников. Прежде всего отметим, что, поскольку круговая и эллиптическая орбиты имеют только одну общую точку А, встреча спутников может произойти только в этой точке. Поэтому встреча может произойти только через промежуток времени послс совершения маневра, кратный периоду обращения спутни ка по эллиптической орбите. Если двигатель установлен т спутнике, идущем впереди, то его нужно разогнать переводя на орбиту 1. Если же двигатель находится Hi спутнике, идущем сзади, то его нужно тормозить переводя на орбиту 2. Обратите внимание на кажущийс! парадокс: для того чтобы догнать, нужно притормозить Для определенности рассмотрим первый случай в момент совершения маневра пассивный спутни] находится в точке В, отстоящей на L от точки А Найдем дополнительную скорость Av, которую нужн сообщить активному спутнику, чтобы встреча произош ла через один оборот. Обозначим через v скорост движения по круговой орбите. Тогда период обращени 7\ по эллиптической орбите должен быть больш периода обращения Т по круговой на время прохо» дения дуги L по круговой орбите: 7\ — T—Ljv: Найдем связь между периодом обращений Г, п эллиптической орбите и той добавочной скоросты Av, которая переводит спутник на эту орбиту. В это нам помогут законы Кеплера. На основании третьег закона Кеплера Т\ = Т где a = (rl +г2)/2 — большая полуось эллипса (рис. 11.2 Для того чтобы связать расстояние г2 от центра Зе? ли до апогея эллиптической орбиты с Av, воспользуем< вторым законом Кеплера и законом сохранения энерги обозначив через vt = v+Av скорость спутника в периге а через v2 — в апогее эллиптической орбиты, HMeev (11. rlV1 =r2V2, mgR2 mvj mgR1 2 r2 Ьесь т — масса спутника, R радиус Земли. Выражая из (11.3) и подставляя в (11.4), получаем мечая, что g/?2/ra есть квадрат скорости спутника на уговои орбите радиуса гь из уравнения (11.5) получаем 1. ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ КОСМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ придется погасить сообщенную ему добавочную скорость, т. е. еще раз включить двигатель. Второй случай, когда требуется «догнать» идущий впереди спутник, рассматривается совершенно аналогично и приводит к такому же выражению (11.6) для Av. Пример 3. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно нее со скоростью v0. Если бы земное притяжение отсутствовало, метеорит прошел бы на расстоянии / от центра Земли (рис. 11.3а). 93 _gR -/ J _r, (11.5) г2 = - 2v2!V\-\' ¦сюда большая полуось эллипса Ьскольку по условию добавочная скорость Av много ¦ньше скорости орбитального движения и, то 1ерь для большой полуоси имеем аъгх (1 + 2Av/v) дставим полученное выражение для а в уравнение :тьего закона Кеплера (11.2). Возводя отношение Ън К1л и учитывая, что Av/vT\v ^внивая это выражение с (11.1), видим, что Av=—. (11.6) зг v Итак, если мы хотим, чтобы встреча спутников Низошла через один оборот, то идущему впереди ггнику нужно сообщить добавочную скорость Ai>, еделяемую соотношением (11.6). Чтобы встреча произошла через п оборотов, нужно бщить в п раз меньшую добавочную скорость = L/(3nT). Таким образом, мы можем израсходовать меньше топлива для совершения маневра, чем ьше времени согласны ждать встречи. (После завершения маневра сближения, для того 5ы перевести спутник снова на круговую орбиту, Рис. 11.3. а — Траектория метеорита вблизи Земли и «прицельное» расстояние б—Заштрихованные площади равны по второму закону Кеплера Выясним, при каком наибольшем значении «прицель ного» расстояния / метеорит будет захвачен Землей На' большом расстоянии от Земли, где потенци альную энергию взаимодействия с Землей можн считать равной нулю, метеорит имеет скорость v0 и ег полная энергия равна кинетической mv5/2. Если 61 начальная скорость метеорита v0 была равна нулк то, двигаясь только под действием силы притяжени Земле, он обязательно упал бы на Землю и при цении имел у поверхности Земли скорость, равную эрой космической уи= 11,2 км/с, в чем легко убедить-с помощью закона сохранения энергии. Ясно, что 1ектория метеорита в этом случае — прямая, проходя-я через центр Земли. Если же начальная скорость георита отлична от нуля, то он в поле земного отения движется по гиперболе и будет захвачен «лей только тогда, когда эта гипербола «заденет» 1ной шар. Нетрудно сообразить, что при заданном «цельном расстоянии / траектория метеорита будет 1 меньше искривлена, чем больше его скорость v0, так > достаточно быстрые метеориты благополучно мину-Землю. Очевидно, что наименьшей скорости v0, при орой метеорит еще «проскочит» Землю, соответству-траектория, изображенная на рис. 11.3а. И наоборот, I заданной начальной скорости v0 эта траектория ответствует наибольшему прицельному расстоянию /, I котором метеорит будет захвачен Землей. Итак, для [учения ответа на поставленный вопрос нужно рас->треть траекторию, касающуюся земного шара. При движении метеорита в поле тяжести Земли юлняется закон сохранения механической энергии mv о mv2 — ^--mgR, и—скорость метеорита в точке касания, отстоящей центра Земли на расстояние R. Второй закон клера о постоянстве секторной скорости при движе-¦ тела в поле тяжести справедлив и для разомкнутых екторий. Поэтому приравняем секторные скорости ¦еорита в бесконечно удаленной от Земли точке точке касания: lv0 — Rv. квая часть этого равенства очевидна, поскольку 1очке касания вектор скорости г перпендикулярен Ьусу Земли, а левая часть становится очевидной, ji посмотреть на рис. 11.36. Подставляя v из уравне-(11.7) закона сохранения энергии в (11.8), находим /: 'l = R "о Из полученного ответа видно, что максимальное прицельное расстояние, при котором метеорит будет захвачен Землей, зависит от начальной скорости v0. Если i?o-*0, то 1-уоо, т. е. первоначально покоившийся относительно Земли метеорит упадет на Землю при любых обстоятельствах (разумеется, это справедливо в предположении, что Солнце и другие планеты практически не влияют на движение метеорита). Если Vq—+co (tfo^^n)* то /-»/?, т. е. в пределе бесконечно большой скорости v0 траектория прямолинейна, так как за малое время полета метеорита вблизи Земли сила земного притяжения не успевает вызвать заметного изменения импульса метеорита (т. е. искривить егс траекторию), и метеорит попадет на Землю толькс тогда, когда его прицельное расстояние / не превосходит радиуса Земли. В приведенном примере не учитывалось влияние земной атмосферы на траекторию метеорита. Однакс при расчете максимального прицельного расстоянш по формуле (11.9) мы не получим заметной ошибки так как толщина атмосферы мала по сравнении с радиусом Земли R.