Законы сохранения и космические скорости
Аналитическое решение динамической задачи о двиган»! тела в центральном гравитационном поле, шример о движении планет вокруг Солнца или гкусственных спутников Земли, сопряжено со значи-льными математическими трудностями. Между тем веты на многие вопросы, касающиеся этого движения, )жно сравнительно просто получить с помощью конов сохранения. Прежде всего определим вторую космическую ско-сгь vu, т. е. минимальную скорость, которую нужно общить находящемуся на поверхности Земли телу я того, чтобы оно удалилось на бесконечность (ее сто называют также скоростью освобождения). Про-: всего это сделать, используя закон сохранения :ргии. Будем считать, что двигатели ракеты срабаты-ют непосредственно у поверхности Земли, что они эбщают ракете необходимую скорость и выключа-ся. Кинетическая энергия тела при запуске равна п/2, а потенциальная энергия вблизи поверхности ллп, в соответствии с формулой (8.6), равна —mgR. лная механическая энергия mi;,2, mgR § 10. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ состоянии полная механическая энергия равна нулю, и вследствие закона сохранения энергии -mgR = 0, откуда немедленно получаем vn = y/2gR=U,2 км/с. Ракета удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ей вторая космическая скорость, хотя траектории движения при этом будут, разумеется, разные. Обратим внимание на то, что приведенные выше рассуждения проведены в системе отсчета, связанной с Землей. Это совершенно естественно, так как по самой постановке задачи очевидно, что Земля считается неподвижной. Точнее, система отсчета, связанная с Землей, считается инерциальной, а притяжением Солнца и тем более других планет пре-небрегается. Однако попробуем в том же самом приближении (т. е. пренебрегая притяжением к Солнцу) рассмотреть этот вопрос с точки зрения системы отсчета, связанной с Солнцем. Это совершенно законно, так как гелиоцентрическая система отсчета является инерциальной с большей степенью точности, чем геоцентрическая. Поскольку притяжение к Солнцу здесь не учитывается, Солнце является лишь телом, с которым связана система отсчета, а не физическим телом, влияющим на движение. Обозначим скорость движения Земли через v и предположим для простоты, что начальная скорость тела относительно Земли уа совпадает с ней пс направлению. Применим закон сохранения энергии учитывая, что, удалившись от Земли на бесконечность тело останавливается относительно Земли, т. е. в рас сматриваемой системе отсчета имеет ту же скорость что и Земля: 81 mv П (Ю.1) Е= :вободном полете остается неизменной. В конечном тоянии, когда ракета удалилась от Земли на бес-[ечность, ее потенциальная энергия равна нулю ивидно, что необходимая начальная скорость будет [меньшей, если в конечном состоянии скорость еты обратится в нуль. Следовательно, в конечном п (и,, + v) тс —mgR=—? (10.2 Отсюда находим (10.3 = s/2gR + v2 ?v, % 6 Г И. Бутиков и др. [го не совпадает с полученным ранее значением, акому же результату верить? Совершенно очевидно, го формула (10.3) не может быть верной. В нее кодит v—относительная скорость двух использован-ых нами систем отсчета. Но так как все инерциальные 1стемы отсчета равноправны, то ответ не может 1висеть от v. В чем же дело? В справедливости 1кона сохранения энергии сомневаться не приходится, ыражение для потенциальной энергии во всех инер-яальных системах отсчета одинаково. Значит, в урав-:нии баланса энергии. (10.2) что-то не учтено. Что е? Единственное, что мы могли упустить,—это измене-ие кинетической энергии Земли. В самом деле, при талении тела от Земли сила тяготения действует не хиько на тело, но и на Землю, оказывая влияние ее движение. Правда, изменение кинетической энер-1и Земли при этом очень мало, ибо ее масса М много эльше, чем масса тела т. Тем не менее попробуем 1есть его аккуратно. Обозначая скорость Земли после халения тела на бесконечность через vu запишем 1Кон сохранения энергии в виде Mv2 . m(i;n + t)2 Mv\ , mv\ —~—mgR—---- 2 5 2 2 корость тела в конечном состоянии теперь равна vv 5о тело, как и раньше, должно быть неподвижно гносительно Земли. Величину 1>, можно найти с по-ощью закона сохранения импульса, ибо в отсутствие гешних сил, т. е. в замкнутой системе взаимодейст-тощих тел, полный импульс сохраняется. Поэтому Mv+m(vTl+v)=Mvl +mv1. ¦аходя i\ из уравнения (10.5) и подставляя в (10.4), Ьсле несложных Преобразований получим vl=[\+~\2gR. го выражение уже гораздо ближе к прежнему резуль-ту, чем (10.3), но все-таки отличается от него лишним тожителем 1 +т/М. Заметим, что если считать массу ла много меньше массы Земли, т.е. т/1, то агаемым т/М можно пренебречь по сравнению единицей, и формула (10.6) дает прежний результат 83 vn = y/2gR. Нетрудно сообразить, что предположение т/М->0 с самого начала было неявно использовано при решении задачи в системе отсчета, связанной i с Землей. Действительно, Земля считалась неподвижной как в начальном, так и в конечном состоянии, несмотря на то, что на нее, как и на тело, действовала сила ' тяготения. Это возможно, только если т/М-+0. Итак, выражение (10.6) является более .общим, чем (10.1). Оно дает возможность определить вторую космическую скорость в том случае, когда массы запускаемого тела и Земли сравнимы между собой. Однако теперь возникает другой вопрос. Почему пренебрежение изменением кинетической энергии Земли (при т/М-> 0) в геоцентрической системе отсчета допустимо, а в гелиоцентрической приводит к явно неверному результату (10.3)? Ведь изменение скорости Земли одинаково в любой инерциальной системе отсчета. В этом легко убедиться, переписав формулу (10.5) в несколько ином виде: • mva=(M+m)(v1-v). (10.7) Видно, что изменение скорости Земли Av = vt — v не зависит от ее начальной скорости v, т. е. от выбора системы отсчета. Однако изменение кинетической энергии Земли в разных системах отсчета будет разным: в геоцентрической системе это M(Av)2/2, а в гелиоцентрической ? -/ • \2 (10.8) .^MvAv+Щ^ 2 2 При mго, чтобы оно смогло покинуть пределы Солнечной ютемы. Будем рассуждать следующим образом. За-'дем на время о земном тяготении и найдем ми-[мальную скорость vL, которую нужно сообщить лу, находящемуся от Солнца на расстоянии г, равном диу^у земной орбиты, чтобы оно смогло преодолеть >итяжени Солнца. Эту скорость легко найти, ис-льзуя закон сохранения энергии. Поскольку мы пока енебрегаем полем тяготения Земли, то нужно просто требовать чтобы сумма кинетической энергии гела >f/2 и потенциальной энергии в поле тяготения шнца —GrnMJr равнялась нулю: тело должно остаешься на бесконечно большом расстоянии от Солнца. : потенциальная энергия обращается в нуль. Отсюда Мг (10.9) § 10. З ¦ности Земли —mgR должна равняться кинетической энергии движения со скорЬстью 12,3 км/с после преодоления земного тяготения: 2 S 2 [[откуда v?n = {y/2-\)2v2 + 2gR. (10.10) Этой формуле можно придать другой вид, если всном-[ нить, что yj2gR равен второй космической скорости va: v?a=(j2-\)2v2 + vl (10.11) I Подставляя сюда численные значения орбитальной ? скорости Земли ««29,8 км/с и второй космической I скорости р„ « 11,2 км/с, получим иш «16,7 км/с. Итак, ответ получен. Но у читателя, возможно, возник вопрос: почему рассуждения проводились в два этапа? Другими словами, почему закон сохранения (энергии использовался дважды—сначала для процесса выхода тела из поля тяготения Солнца, а затем — из поля тяготения Земли? Нельзя ли применить закон сохранения энергии один раз ко всему процессу в целом, (потребовав, чтобы полная энергия тела, т. е. сумма его кинетической энергии и потенциальных энергий в полях тяготения Земли и Солнца, равнялась нулю: 85 v \ = 2G г гко виде , что эта скорость в v 2 раз больше рости Земли на круговой орбите движения вокруг пнна г - 29,8 км/с. Тело удалится на бесконечность ависимо от того, в каком направлении сообщена скорость Гр Итак, vl равна приблизительно I км с. Это очень много, однако, разумеется, мы кем использовать движение Земли и запуска ъ тело гу же сторону, куда движется Земля по орбите, да гелу нужно сообщить добавочную скорость, ную (ч 2- -1)t>« 12,3 км/с. Теперь нетрудно найти и саму третью космическую эость. Для этого достаточно только сообразить, на самом деле скорость 12.3 км/с тело должно ть после того, как оно преодолеет притяжение ем к. По тому сумма кинетической энергии тела запуске mvui - 11 потенциальной энергии на поверх- (10.12) 2 г Однако читатель, разобравшийся в предыдущем примере, конечно, сообразил, что так писать нельзя. Действительно, выразив второе слагаемое в формуле (10.12) через вторую космическую скорость иц = 2gR, а третье — через скорость Земли на круговой орбите вокруг Солнца v2 = GMc/r, мы не получим для третьей космической скорости формулы (10.11). И совершенно понятно — почему: в выражении (10.12) мы не учитывали изменения кинетической энергии Земли при удалении от нее запущенного тела. Хотя это изменение и мало, но, как мы видели в предыдущем примере, учет его в гелиоцентрической системе отсчета необходим. Учтем изменение кинетической энергии Земли. Разумеется, при этом мы будем пренебрегать изменением кинетической энергии Солнца: как нрЛ¦ вычислении второй космической скорости можно была! пренебречь изменением кинетической энергии Земли при использовании связанной с ней системы отсчета, ¦так и здесь изменением кинетической энергии Солнца можно пренебречь при использовании гелиоцентрической системы отсчета. Его нужно было бы учитывать, ¦если бы мы использовали какую-нибудь инерциальную! ¦систему отсчета, в которой Солнце движется, например ¦ систему отсчета, связанную с какой-либо галактикой. ¦ Г учетом сказанного закон сохранения энергии в ге-шоцентрической системе отсчета следует писать в виде ^ + + m^_mgr_grnmc^mvi (1013)¦ 2 2 г 2 эюм выражении М—масса Земли, v2—-скорость гмли после удаления тела, а остальные обозначения ¦режние. Третье и четвертое слагаемые в левой части, ¦ак и раньше, выразим соответственно через вторую эсмическую скорость и скорость Земли на круговой рбите. Перенесем второе слагаемое из левой части эавнения (10.13) в правую; тогда в правой части /дет стоять изменение кинетической энергии Земли, >торое представим в виде j(v22-v2X±j(v2 + v)(vz-v)*mv(v2-v). (10.14) Поскольку масса тела много меньше массы Земли, изменение скорости Земли при удалении тела от мало, и сумма v2 + v приближенно заменена на Нетрудно сообразить, что это соответствует пренеб-¦ке1шю вторым слагаемым в правой части формулы 1.8). j Для нахождения изменения скорости Земли = г2 —г воспользуемся законом сохранения импульса, енебрежем. влиянием поля тяготения Солнца на [жение Земли и запущенного тела в течение всею мени. которое оно затрачивает на выход из зоны ствия земного тяготения. Так как скорость тела выходе из этой зоны равна v1, имеем m(v+vm)+Mv=mi\ + Mv2. »юда ¦M(f2-y) = m(D-¦-i!ni-y1) = m[i;III-(v/2-l)t;], (10.15) 1так как vl = x2v. Обратим внимание на то, что изменение скорости Земли A v стремится к нулю при m/M->0, т. е. запуск космических аппаратов практически не влияет на движение самой Земли. Умножая (10.15) на v, получим, согласно (10.14), изменение кинетической энергии Земли. Подставляя это изменение в уравнение баланса энергии (10.13), получим уравнение для определения третьей космической скорости i?,„: (»+»ш)2 ~ п - 2»'2 = 2v [vlu - {Jl -1) г]. Решая это уравнение, находим ддя прежнее значение, даваемое формулой (10.11). Обратим внимание на следующее обстоятельство. Несмотря на то, что закон сохранения энергии (10.13) был записан для всего процесса в целом, при нахождении изменения скорости Земли нам пришлось воспользоваться законом сохранения импульса в приближенном виде только для определенного этапа процесса, а именно для выхода тела только из зоны действия тяготения Земли. При этом мы считали, что на втором этапе, т. е. при удалении тела из зоны действия солнечного притяжения, скорость Земли уже не менялась по модулю. Таким образом, фактически нам все равно пришлось проводить поэтапное приближенное рассмотрение. Попытка применить закон сохранения импульса ко всему процессу не привела бы к желаемому результату. Дело в том, что здесь мы сталкиваемся с так называемой «задачей трех тел», движущихся под действием сил взаимного притяжения. Точное решение этой задачи в общем случае встречает колоссальные математические трудности и может быть доведено до конца лишь в некоторых частных случаях. При решении практических задач космической динамики обычно используется приближенный подход, основанный на разбиении пространства на так называемые сферы действия отдельных небесных тел. Так, например, в разобранном примере сначала рассматривалось движение тела только под действием притяжения к Землей При этом, строго говоря, пренебрегается не влиянием Солнца на движение тела, а разностью во влияниях Солнца на движения Земли и тела, т. е. фактически пренебрегается неоднородностью поля тяготения Солнца в сфере действия Земли. После выхода ia из сферы действия Земли рассматривалось ею шение только в поле тяготения Солнца. Размер ;ры действия Земли определяется тем расстоянием, котором разность ускорений, сообщаемых Солнцем ше и запущенному телу, становится сравнимой ускорением, сообщаемым телу Землей. В отличие сферы действия, «сфера притяжения Земли отдельно Солнца», определяемая как область, на нице которой равны по величине гравитационные орения тела от Земли и от Солнца, не играет :акой роли в космической динамике.