Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба

Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба Выпуклая и вогнутая функция

 

 

Правило ливня Выпуклая и вогнутая функция При исследовании данной функции и построении ее графика видятся мнения выпуклая и вогнутая функция. В случае если функция y=f(x) считается дифференцируемой, за это время нужно разглядеть надлежащие определения. Определение 1 Функция y=f(x) именуется выпуклой книзу на кое-каком перерыве, в случае если все точки графика данной функции находятся не ниже касательной, которая проведена к нему в всякий точке рассматриваемого интервала. Функция y=f(x) именуется выпуклой ввысь на кое-каком перерыве, в случае если все точки графика данной функции находятся не повыше касательной, которая проведена к нему в всякий точке рассматриваемого интервала. Схематическое изображение графиков выпуклой книзу (вогнутая функция) и выпуклой ввысь (выпуклая) функций показано на рис. Набросок 1. Графики выпуклой и вогнутой функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих дел Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости графика данной функции нужно применить надлежащие аксиомы. Аксиома 1 В случае если f″(x)0 для всякий точки из рассматриваемого интервала, то график данной функции на предоставленном перерыве ориентирован неровностью книзу. Образчик 1 Отыскать промежутки неровности и вогнутости функции y=x5: Заключение: 1-ая производная: y′=5x4; 2-ая производная: y″=20x3. Изучая сигнал 2 производной кривой, получаем, собственно что f″(x)0∀x>0. Значит, график ориентирован неровностью ввысь при x0.$, , Правило ливня Для облегчения запоминания данных теорем возможно применить например именуемое «правило дождя» (см. рис.). Набросок 2. Правило ливня. Автор24 — интернет-биржа студенческих дел Леность читать? Задай вопрос спецам и получи ответ уже сквозь 15 минут! ЗАДАТЬ ВОПРОС «Правило дождя»: в случае если f″(x)0 (знак «+» соответствует киванию головы вверх-вниз, т.е. «да»), то лужа появляется, а означает, ливень падает во впадину (выпуклость вниз). Отметим, собственно что график имеет возможность быть выпуклым или же вогнутым на всей области определения данной функции, а имеет возможность лишь только на отдельных промежутках. В этих случаях промежутки неровности и вогнутости меняют приятель приятеля. Образчик 2 Отыскать промежутки выпуклости/вогнутости графика данной функции y=x3.: Заключение: y′=3x2; 2-ая производная: y″=6x. Изобразим на числовой оси (см. рис.). Набросок 3. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих дел Получаем, собственно что f″(x)0∀x>0. Значит, график ориентирован неровностью ввысь при x0. Определение 2 Баста перегиба - это эта баста графика выпуклой функции, которая разграничивает промежутки выпуклости/вогнутости графика. В случае 1 x=0 считается точкой перегиба, например как при переходе сквозь данную точку изменяется поведение графика функции (в частности, с неровности на вогнутость). Важное условие точки перегиба: В точке перегиба (x0;y0) 2-ая производная или равна нулю, или не есть. Достаточное условие точки перегиба: f′(x0) непрерывна в округи данной точки; f″(x0)=0 или же не есть в данной точке; f″(x) заменяет сигнал на антипод при переходе сквозь заданную точку. Беря во внимание все повыше произнесенное, составим метод изучения неровности и вогнутости функции: нахождение 1 производной f′(x) данной функции; нахождение 2 производной f″(x) данной функции; определение точек, в коих f″(x) равна нулю или же не существует; изучение символа f″(x) с поддержкой числовой прямой; определение зазоров неровности и вогнутости графика данной функции; нахождение интервалов неровности и точки перегиба функции, в случае если они есть. Образчик 3 Отыскать точки перегиба графика данной функции: y=4x2−3. Заключение: 1-ая производная: y′=8x; 2-ая производная: y″=8. Изобразим на числовой оси (см. рис.). Набросок 4. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих дел Получаем, собственно что f″(x)>0∀x∈Dy. Значит, график ориентирован неровностью книзу при всяком x. Точек перегиба нет. Образчик 4 Отыскать точки перегиба графика данной функции: y=3x2−1. Заключение: 1-ая производная: y′=0⋅(x2−1)−3⋅2x(x2−1)2=−6x(x2−1)2. 2-ая производная: y″=−6⋅(x2−1)2−6x⋅2x⋅2⋅(x2−1)(x2−1)4=−6⋅x2−1−4x(x2−1)3. 2-ая производная не есть при x=±1. y″=0:−6⋅x2−1−4x(x2−1)3=0⇒x2−4x−1=0x2−4x−1=0D=16+4=20x1=4−202