Работа. Закон сохранения энергии в механике
Наряду с временной характеристикой действия силы—ее импульсом, рассматривают пространственную •характеристику действия силы — работу. Работа А А Шсилы F при перемещении тела, к которому она I 3 Е. И. Бутиков и др. риложена, равна скалярному произведению силы F ш! Ьементарное перемещение тела А г, к которому она риложена: AA = FAr—FArcos а, це а—угол между направлениями F и А г. ЕслЛ ¦а тело действует сразу несколько сил, то работа! екторной суммы этих сил равна сумме работ от-¦ Цельных сил. Работа всех сил, действующих на материальнук очку, определяет изменение ее кинетической энергии \=mv2l 2. В этом можно убедиться с помощью торого закона Ньютона. Выразим входящую в (8.1). юлную силу f4 через ускорение тела: F=ma. Тогда¦ i место (8.1) получим AA = m — Ar=mvAv. At $десь использовано то, что предел отношения А г/А t 1ри А/—>0 есть скорость частицы г. Стоящая в правой засти (8.2) величина mvAr есть приращение кинетической энергии частицы mv212. В самом деле, приращение квадрата любой изменяющейся величины / по определению есть д(Л=(/+д/)2-Л что равно 2/Д/, если пренебречь малым членом (А/)". Таким образом, АА = А^ Работа силы F при конечном перемещении тела равна сумме работ на элементарных участках, на которые можно разбить траекторию этого движения. Изменение кинетической энергии при конечном перемещении частицы равно работе векторной суммы всех действующих на нее сил. По аналогии с законом изменения импульса можно было бы ожидать, что для системы материальных точек закон изменения кинетической энергии будет иметь вид: изменение кинетической энергии системы равно работе внешних сил, действующих на систему. ( Однако легко видеть, что это не так. При рассмотрении] § 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ ?закона сохранения импульса внутренние силы попарно Ишчтожались в соответствии с третьим законом Нью-Вша. Работы же внутренних сил попарно уничтожаться будут, так как в общем случае частицы, к которым " приложены эти силы, могут совершать разные пере-f мещения. Например, если две притягивающиеся частицы переместятся навстречу друг другу, то внутренние силы [ их взаимодействия совершат положительные работы, ^В их сумма будет отлична от нуля. Таким образом, ^шбота внутренних сил может привести к изменению ^?гаетической энергии системы. Но и в этом случае [ можно сформулировать физический закон, согласно [ которому работа внешних сил, действующих на систему, определяет изменение некоторой функции состояния If механической системы. Такой функцией состояния яв-№'ляется полная механическая энергия системы, которая I наряду с кинетической включает в себя потенциальную I энергию взаимодействия частиц системы. [ Все силы, действующие на частицы, можно разбить ^Bt две группы: потенциальные и непотенциальные, ^^плы называются потенциальными, если их работа ?при изменении положения частиц не зависит от формы Ипути при перемещении частиц, а определяется только I начальной и конечной конфигурациями системы. Принтерами таких сил могут служить силы тяжести, Икулоновские силы взаимодействия заряженных частиц, Иупругие силы. Работа непотенциальных сил зависит Нрт формы пути. Примером таких сил является сила ^В>ения. Понятие потенциальной энергии вводится в связи ^В работой потенциальных сил. Рассматривая, например, В)днородное поле тяжести, можно убедиться, что при ?перемещении гела из положения 1 в положение 2 работа !силы тяжести Л12 не зависит от формы траектории Нг определяется только разностью высот и h2 в навальном и конечном положениях: Al2 = mg(hl—h2). (8.4) Цгак как работа не зависит от формы пути, то она Ножет служить характеристикой начальной и конечной точек, т. е. характеристикой самого силового поля. Д1римем какую-либо точку поля (например, ту, от «соторой отсчитаны высоты в формуле (8.4)) за начало Цогсчета и будем рассматривать работу, совершаемую :илами поля при переходе частицы в эту точку из фугой произвольной точки Р (например, находящейся ia высоте А). Эта работа, которая в рассматриваемом! ?римере равна mgh, называется потенциальной энергией 7 частицы в точке Р. Тогда работа силы тяжести [ри перемещении тела из точки I в точку 2 (8.4) 1авна разности потенциальных энергий в начальной конечной точках пути. Потенциальную энергию можно ввести для любых :ил, работа которых не зависит от способа изменения паимного расположения взаимодействующих тел. Поля таких сил носят название потенциальных. Покажем потенциальный характер центрального поля, в котором сила зависит только от расстояния до силового цешра и направлена по радиусу от него. Пусть тело перемещается из точки / в точку 2 по некоторой кривой (рис. 8.1). Разобьем весь путь на элементарные участки А/ так, чтобы силу J*" в пределах участка можно было считать постоянной. Работа на таком элементарном участке AA = FAl—FAlcos ос. Io A/cos а есть проекция элементарного перемещения J на направление радиус-вектора г, проведенного из Ьилового центра: A/cosoc = Ar. Таким образом, работа ia таком участке равна произведению силы на измене-гие расстояния до силового центра. Суммируя элемен-арные работы на всех участках, убеждаемся, что >абота сил ноля при перемещении из точки 1 в точку равна работе при перемещении вдоль радиуса из точки 1 ? в точку 3. Таким образом, эта работа определяется только начальным и конечным расстоя-шями тела от силового центра и не зависит от формы ivти. Потенциальная энергия тела в произвольной I 1очке определяется как работа, совершаемая силами юля при перемещении тела из этой точки в определению точку. потенциальная энергия в которой принята >авной нулю, В более сложном случае, когда рас- : сматривается несколько взаимодействующих гел, принимается, что потенциальная энергия взаимодействия равна Вулю при каком-либо определенном взаимном расположении этих тел. Удобно (но не обязательно) в качестве этой конфигурации выбрать такое расположение, когда взаимодействующие тела удалены друг от друга на бесконечность. I Потенциальная энергия системы во всякой иной конфигурации определяется как работа, совершаемая всеми силами взаимодействия при переходе системы из этой конфигурации в положение с нулевой потенциальной энергией. Из самого определения ясно, что потенциальная энергия является функцией координат взаимодейству-?ощих тел. Нахождение вида этой функции состоит в вычислении работы, совершаемой силами взаимодействия при перемещении тел. Приведем выражения для ^потенциальной энергии в некоторых важных Случаях. Потенциальная энергия тяготения точечных масс юп, и т2 или тел со сферически симметричным 1 распределением масс, находящихся на расстоянии г друг Кот друга, определяется выражением En=-G^. (8.5) ^Вдесь- потенциальная энергия принята равной нулю при бесконечно большом расстоянии между телами. р!ля потенциальной энергии тела массы т в поле Тяготения Земли удобно видоизменить формулу (8.5) учетом соотношения (5.7) и выразить потенциальную энергию через ускорение свободного падения g у поверхности Земли и радиус Земли R\ Еп= -mg- Если высота тела над поверхностью Земли h мала ?JO сравнению с радиусом Земли (r = R+h, h«:/?), то (формулу (8.6) можно упростить, воспользовавшись тем, [что 1/(1 +х)к 1-х (при jt«;l): ¦ Первое слагаемое в правой части (8.7) можно опустить, ¦ггак как оно постоянно, т. е. не зависит от положения §тела. Тогда мы получаем E„ = mgh, что, в отличие от (8.6), соответствует выбору начала! отсчета потенциальной энергии на поверхности Земли. ¦ Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов д1 и q2 на расстоянии г друг от друга дается выражением, аналогичным (8.5): 1 Й1Ч2 4леп г Различие знаков в формулах (8.5) и (8.8) вызвано тем, что гравитационное взаимодействие всегда имеет характер притяжения, в то время как при электростатическом взаимодействии заряды одного знака отталкиваются. В случае сил'притяжения потенциальная энергия возра-J стает при увеличении расстояния между телами, а в слу чае отталкивания — убывает. Обобщение формулы (8.8)1 на случай системы взаимодействующих зарядов будет! проведено в § 4 раздела 3. При упругой деформации, ¦ описываемой законом Гука, потенциальная энергия ¦ деформированного тела пропорциональна квадрату деформации. Например, энергия растянутого стержня, для I которого закон Гука записывается в виде (6.9), равна Еп=-к(Ыу Установим соотношение между силой и изменением I потенциальной энергии. Рассмотрим перемещение тела! Д/ между двумя близкими точками. Работа сил поля1 при этом перемещении равна FAI. С другой стороны, эта работа равна разности потенциальных энергий тела в начальной и конечной точках, т. е. взятому с об-1 ратным знаком изменению потенциальной энергии. Поэтому FM=-AEn. Левую часть этого соотношения можно записать в виде! произведения проекции силы Fl на направление переме-[ щения А/ на модуль этого перемещения Д/: F Д/=/"(А/. Отсюда (8.10) Проекция силы на произвольное направление может] быть найдена делением изменения потенциальной энер- гии при малом перемещении вдоль этого направления f на модуль перемещения. Потенциальная энергия частицы в силовом поле яв-яется функцией ее координат. Приравнивая Еп (х, у, z) постоянной величине, получаем уравнение поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти поверхности постоянной потенциальной энергии дают наглядную картину [ силового поля и широко используются в электростатике. Сила в каждой точке направлена перпендикулярно ¦ проходящей через эту точку эквипотенциальной повер-?хности. Это легко увидеть с помощью формулы (8.10). В самом деле, выберем перемещение Д/ вдоль поверхности постоянной энергии. Тогда Д?п = 0 и, следовательно, равна нулю проекция силы на поверхность = const. Так, например, в гравитационном поле, создаваемом телом массы т, со сферически симметричным распределением масс, потенциальная энергия Бела массы т2 дается выражением (8.5). Поверхности оюстоянной энергии такого поля представляют собой >ы, центры которых совпадают с силовым цен-ром. Действующая на массу т2 сила перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена силовому центру. Проекцию этой силы на радиус, I проведенный из силового центра, можно найти из ? выражения для потенциальной энергии (8.5) с помощью формулы (8.10): г + Д г)' что при Дг->0 дает F = —G ¦Полученный результат подтверждает приведенное выше ез доказательства выражение для потенциальной энер-т (8.5). Перейдем теперь к обсуждению закона сохранения механической энергии. Рассмотрим систему материаль-ых точек, на которые действуют внешние силы внутренние потенциальные силы взаимодействия. 1зменение кинетической энергии всей системы при ?епеходе ее из состояния 1 в состояние 2 равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на все тела: Ек 2 Ек\ = ^внеш + ^внутр- (8-1 1)¦ Работа внутренних потенциальных сил равна разности [значений потенциальной энергии системы в начальном 1и конечном состояниях: ^ внутр = Еп 1 Еа 2 • Подставляя это выражение в (8.11) и перегруппировывая слагаемые, получим {Е*г + Еп2)-{ЕкХ+ЕаХ) = А„ (8.12) этого равенства видно, что работа действующих систему внешних сил определяет изменение функции юстЬяния системы, равной сумме ее кинетической I потенциальной энергий. Эта сумма и есть полная Механическая энергия системы. Если наряду с потенциальными в системе действуют непотенциальные внутренние силы, например силы рения, то изменение механической энергии системы Будет равно сумме работ внешних сил и внутренних непотенциальных сил. Иногда некоторые из действующих на систему мешних сил также являются потенциальными, напри-tep, когда система находится во внешнем гравитаци-нном (или электростатическом) поле. В этом случае южно ввести понятие потенциальной энергии системы о внешнем поле и включить ее в механическую яергию системы. Теперь изменение механической энер-1И будет равно сумме работ только непотенциальных нешних и внутренних сил. В отсутствие непотенциальных сил механическая 1ергия системы остается неизменной. Возможны лишь ааимные превращения потенциальной энергии в ки-ггическую и обратно, но полный запас механической 1ергии системы измениться не может. Такие системы пываются консервативными. Законы сохранения энергии и импульса выполняются любых инерциальных системах отсчета. Хотя и ме-шическая энергия, и импульс рассматриваемой си-¦емы материальных точек имеют разные значения ¦ разных инерциальных системах отсчета, но при ;ижении эти значения остаются неизменными в за- мкнутых механических системах, а при наличии внешних воздействий в каждой системе отсчета меняются в соответствии с уравнениями (7.4) и (8.12). При этом механическая энергия, в отличие от импульса, может изменяться из-за наличия внутренних непотенциальных сил. Законы сохранения энергии и импульса тесно связаны с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Хотя выше они были получены как следствие законов динамики Ньютона, в действительности они представляют собой более общие принципы, область их применимости шире и не ограничивается ньютоновской динамикой. Сохранение импульса в замкнутой системе связано с однородностью пространства. Однородность пространства означает, что все явления в замкнутой системе не изменятся, если осуществить параллельный перенос системы из одного места в другое таким образом, чтобы все тела в ней оказались в тех же условиях, в каких они находились в прежнем положении. При таком переносе потенциальная энергия взаимодействия тел, которая, как это следует из однородности пространства, зависит только от их взаимного расположения, остается неизменной. Значит, при переносе всех тел на один и тот же вектор R равна нулю работа всех внутренних сил F{: х 0. i Так как R произвольный вектор, то отсюда следует что ?.^ = 0, т.е. сумма сил в замкнутой систем< i равна нулю. Это и есть то условие, при выполненш которого второй закон Ньютона приводит к закон; сохранения импульса. В/ этих рассуждениях третш закон Ньютона уже не используется. Сохранение энергии в замкнутой системе связан! с однородностью времени. Однородность времени за ключается в том, что все явления в замкнутой систем при одинаковых начальных условиях будут дальш протекать совершенно одинаково, независимо от тоге в какой момент времени эти начальные услови созданы.