Импульс. Движение центра масс. Реактивное движение
Если известны силы, действующие на материальные Иточки, то законы динамики дают возможность полно-Встью определить механическое поведение изучаемой г системы. Применение второго закона Ньютона к каждой В из материальных точек позволяет найти ее ускорение \ л данном месте в данный момент времени и тем самым последовательно, шаг за шагом, проследить ее движение. Но часто такая детальная информация о движении бывает не нужна. Иногда нас интересует только конечное состояние изучаемой системы, а ее промежуточные состояния, через которые система приходит в конечное состояние, не представляют интереса. В некоторых случаях нас вообще интересует только движение ¦:системы как целого, а не движение отдельных частиц, ?входящих в систему. В подобных случаях быстрее всего I к цели приводит не непосредственное применение ?законов Ньютона, а использование законов сохранения. К закону сохранения импульса системы взаимодейст-?вующих частиц легко прийти непосредственно из второго Ей третьего законов Ньютона. Силы, действующие на ?каждую из п входящих в систему частиц, разобьем на две ?группы: внешние и внутренние. Внутренняя сила Fik — это ?сила, с которой к-я частица действует на мо. Внешняя f сила Ft—это сила, с которой действуют на i-ю частицу все тела, не входящие в состав рассматриваемой системы. Закон изменения импульса р; г'-й частицы имеет вид = i-1, 2, Полным импульсом системы частиц Р называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени: (7.2) I Сложим почленно уравнения (7.1) для всех частиц. Тогда в левой части, как видно из (7.2), получим [скорость изменения полного импульса системы dP/dt. Поскольку внутренние силы взаимодействия между частицами Fik удовлетворяют третьему закону Ньютона Fik= ~Fki, то при сложении в правой части, где внутренние силы будут встречатйся парами, их сумма обратится в нуль. В результате получим i Скорость изменения полного импульса системы определяется суммой внешних сил, действующих на все частицы. Обратим внимание на то, что равенство (7.3) имеет такой же вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, причем в правую часть входят только внешние силы. В замкнутой системе, где внешние силы отсутствуют, полный импульс Р системы не меняется, независимо от того, какие внутренние силы действуют между частицами. Полный импульс не меняется и в том случае, когда действующие на систему внешние силы уравновешены. Может оказаться, что внешние силы урав-ювешены только вдоль какого-то направления. Хотя :истема в этом случае и не является замкнутой, доставляющая полного импульса вдоль этого направ-]ения, как видно из формулы (7.3), остается неизменной. Уравнение (7.3) характеризует систему в целом, но ю-прежнему относится к определенному моменту времени. Нетрудно видоизменить это соотношение таким >бразом, чтобы получить закон изменения импульса :истемы за некоторый промежуток времени. Допустим, [то действующие на входящие в систему частицы нешние силы неизменны в течение промежутка времени \t. Тогда (7.3) можно переписать в виде A P=?F,Af. (7.4) Величина FtAt носит название импульса силы Fr Изменение импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил. Соотношение (7.4) позволяет определить изменение импульса системы за конечный промежуток времени, если внешние силы постоянны. Если же внешние силы изменяются, то можно разбить промежуток времени на такие малые части, чтобы силы в пределах каждой части можно было считать постоянными, к каждой такой части применить (7.4) и просуммировать по всему промежутку времени. Закон изменения импульса системы (7.3) по существу представляет собой закон движения центра масс (или центра инерции) системы, определяемого следующим образом: центр масс — это точка, радиус-вектор которой гс дается выражением: = (7.5) i i I где г, — радиус-вектор частицы с массой т;. Скорость центра масс vc = drc/dt согласно (7.5) равна rc=X>i »-;/?>,. (7.6) 1 i В числителе правой части этого выражения стоит полный импульс системы Р, а в знаменателе — полная масса М. Поэтому импульс системы частиц равен произведению массы системы на скорость ее центра масс: (7.7) P=?mfVi = M vc. Отсюда dP ,,dvc T = MT, dt dt т. е. скорость изменения импульса системы равна произведению ее массы на ускорение центра масс. Сравнивая (7.8) с (7.3), видим, что (7.9) Согласно (7.9) центр масс системы движется так, как двигалась бы материальная точка массы М под действием силы, равной сумме всех внешних сил. 1 " ЛА С действующих на входящие в систему частицы. В ча-ггности. центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно или покоится. Внутренние силы, действующие в рассматриваемой истеме, не входят в уравнение (7.9), определяющее /скорение центра масс. Значит ли это, что внутренние :илы вообще никак не влияют на движение центра ласс? В отсутствие внешних сил это действительно ак. Если же внешние силы действуют, то дело ложет обстоять несколько сложнее. Внешние силы действуют не на центр масс, а на отдельные частицы :истемы. Внешние силы могут зависеть от положения [астиц, а положение каждой частицы при ее движении щределяется воеми действующими на нее силами, :ак внешними, так и внутренними. Поясним это [а следующем простом примере. Пусть заряженная [астица движется в однородном электрическом поле [лоского конденсатора. Представьте себе, что в не-оторый момент частица «взрывается» под действием аких-то внутренних сил. Если при этом все осколки •станутся внутри конденсатора, то останется без [зменения полная внешняя сила и, следовательно, скорение центра масс после взрыва останется таким ?се, как и до взрыва. Если же хоть один заряженный •сколок окажется за пределами конденсатора, где вешнее электрическое поле отсутствует, то полная ила изменится и, следовательно, изменится ускорение [ентра масс всех осколков. Итак, действие внутренних ил в момент взрыва может привести к изменению скорения центра, масс. Закон сохранения импульса замкнутой системы юзволяет легко объяснить принцип реактивного движе-ия. При сгорании топлива повышается температура создается высокое давление, благодаря чему продукты горания с большой скоростью вырываются из сопла [виГателя ракеты. В отсутствие внешних полей полный [мпульс ракеты и вылетающих из сопла газов остается низменным. Поэтому при истечении газов ракета [риобретает скорость в противоположном направлении. Получим уравнение, описывающее движение ракеты. 1усть в некоторый момент времени ракета в какой-то нерциальной системе отсчета имеет скорость к Введем [ругую инерциальную систему отсчета, в которой данный момент времени ракета неподвижна. Если § 7. ИМПУЛЬС. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС рвигатель ракеты работает и за промежуток времени Д t выбрасывает газы массой Атт со скоростью v0TH от-Июсительно ракеты, то спустя А г скорость ракеты в этой системе будет отлична от нуля и равна А к Применим к рассматриваемой системе ракета плюс ?газы закон сохранения импульса. В начальный момент ракета и газы покоятся в выбранной системе, поэтому полный импульс равен нулю. Спустя A t импульс ракеты равен m Av, а импульс выброшенных газов Д/иггогн, поэтому mAv+AmTvmH = 0. (7.10) Полная масса системы сохраняется, поэтому масса Кыброшенных газов равна убыли массы ракеты: Amr+Am = 0. Теперь уравнение (7.10) после деления на промежуток времени А/ переписывается в виде Am ' д7' 1ереходя к пределу при А/-"О, получаем уравнение движения тела переменной массы в отсутствие внешних сил: dm lTt' /равнение (7.11) имеет вид второго закона Ньютона. Однако масса ракеты т здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества, поэтому dm\dt< 0. Правую часть этого уравнения можно рассматривать как реактивную силу, т. е. силу, с которой действуют на ракету вылетающие из нее газы. Уравнение (7.11) получено в определенной инерци-альной системе отсчета, но, разумеется, вследствие \ принципа относительности оно справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета. Если кроме реактивной силы на ракету действуют и другие внешние силы, то их следует добавить в правую часть уравнения (7.11). Это уравнение впервые было нолучено Мещерским и носит его имя. Пусть ракета находится в свободном пространстве, где на нее не действуют внешние силы. После включеКГ срГот/ набирает скорость' да^-сь ПО прямой линии. Спроецировав векторное уравнение (1 in на направление движения ракеты, получим ' ° dv т — = dt (7.12) По мере работы двигателя масса ракеты уменьшя ется. Будем в vnaimemm h**cu>i уменьша-1 ракеты как ФуГцГ^абЙ^ТаТеГ''«„pS dm _ dm dv dt dv dt Подставляя (7.13) в уравнение (7.12), получим (7.14) Предположим, что скорость истечения газов vOTH неиз-I менна, что довольно точно соблюдается в современных ракетах. В этом случае уравнение (7.14) позволяет легко найти массу ракеты как функцию скорости. I В самом деле, согласно (7.14) производная искомой функции dm/dv пропорциональна самой функции т. ¦ Из курса математики известно, что таким свойством j I обладает только экспоненциальная функция. Поэтому решение уравнения (7.14) при постоянной скорости I истечения готн имеет вид т = С ехр (— v/vOTH). (7.15)1 Значение постоянной С определяется из начального ¦1 (условия: при v = 0 масса ракеты равна начальной массе 1 т0. Из (7.15) при v=0 получаем С=т0. Таким образом, ¦ масса ракеты т в тот момент, когда ее скорость 1 равна v, дается формулой m = m0exp(-v/vOTH), (7.16) ¦ которая называется формулой Циолковского. Формула Циолковского позволяет рассчитать запас I топлива, который необходим для сообщения ракете I определенной конечной скорости v. Согласно (7.16) I отношение начальной массы ракеты т0 к ее конечной I массе т равно ехр(у/иотн) и будет тем меньше, чем Щ § 8 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ (О больше скорость истечения газов vOTH. В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи составляет 3—4,5 км/с. Допустим, что ракете необходимо сообщить первую космическую скорость, т. е. такую скорость, при которой она может стать спутником Земли. Эта скорость приблизительно равна 8 км/с. При скорости истечения готн = 2 км/с формула Циолковского дает т0/т — 54,6, т. е. практически вся начальная масса ракеты приходится на топливо. При ^„, = 4 км/с отношение т0/т составляет 7,4, но и в этом Иучае запас топлива т0 — т должен превосходить массу космического корабля т в несколько раз. I Технические трудности, связанные с достижением космических скоростей, преодолеваются с помощью многоступенчатых ракет, идея которых принадлежит К[ Э. Циолковскому. Когда массивная первая ступень ракеты исчерпает запас топлива, она отделяется для того, чтобы не приходилось разгонять дальше уже .ненужные пустые баки из-под горючего и отработавшие двигатели. Вторая ступень добавляет к ранее достигнутой скорости еще некоторую скорость, а затем отделяется, и т. д. Для межзвездных полетов космических кораблей необходимы значительно большие скорости. Ближайшие 'it нам звезды находятся на расстоянии около 4 световых лет, поэтому для экспедиции приемлемой продолжительности необходимы скорости не меньше 0,1 скорости света. Формула Циолковского показывает, что для достижения таких скоростей ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Если даже допустить, что скорость газовой струи i>OTH составляет 10 км/с, то при г = 0,1с отношение m0jm равно е3000» а 10 . При полезной массе т всего лишь в одну тонну стартовая масса ракеты должна составлять ю1300 тонн. Эта величина превосходит всякое воображение, i Для сравнения укажем, что масса нашей Галактики равна «всего лиишь» 3 • 1038 тонн.