Силы в природе. Гравитационные взаимодействия
I В динамике Ньютона природа сил, входящих в основные уравнения, несущественна. Второй закон Нью-Цгона определяет ускорение тела независимо от природы ¦сил, вызывающих это ускорение. г Все многообразие встречающихся в природе взаимодействий сводится всего лишь к четырем типам. Это гравитационное, электромагнитное, ядерное (или Шильное) и так называемое слабое взаимодействия1"'. Используя понятие силы в смысле механики Ньютона, из них можно рассматривать только гравитационное н электромагнитное взаимодействия. Ядерные и слабые Взаимодействия проявляются на столь малых расстояниях, когда законы механики Ньютона уже непри-Т;менимы. Область проявления этих взаимодействий ^ограничена процессами, происходящими с атомными .ядрами и элементарными частицами. В отличие от короткодействующих ядерного и слабого взаимодействий, гравитационное и электромагнитное взаимодействия—дальнодействующие: их действие проявляется на очень больших расстояниях. По этой причине именно электромагнитное и гравитационное взаимодейст-Цвия определяют все крупномасштабные явления, начиная В настоящее время существует теория, в которой электромаг г нитное и слабое взаимодействия рассматриваются как разные прояв Вления единого так называемого электрослабого взаимодействия. от явлений на молекулярном уровне и кончая процессами в далеких галактиках. Все механические явления в окружающем нас макроскопическом мире определяются исключительно гравитационными и электромагнитными силами. Гравитационные силы описываются наиболее простыми количественными закономерностями, но, несмотря на эту простоту, их проявления могут быть весьма сложны и многообразны. Движение планет и спутников, полет артиллерийских снарядов, плавание тел в жидкости — во всех этих явлениях проявляется действие гравитационных сил. Количественные закономфности электромагнитных сил гораздо сложнее, а их проявления еще более разнообразны. Кулоновское электростатическое взаимодействие зарядов, действие магнитного поля на заряды и токи, упругие силы в твердых телах, возникающие при их деформации, упругие силы в жидкостях и газах, наконец, силы трения при движении тел—все это проявления взаимодействий электромагнитной природы. Гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном. Материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: F=G Коэффициент пропорциональности G носит название гравитационной постоянной. Эта величина характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия и является одной из основных физических констант. Ее численное значение зависит от выбора системы единиц и в единицах СИ имеет значение 6,67259-Ю"11 м3/(кг-с2). Формула (5.1) дает только величину силы притяжения точечных тел. На самом деле есть две силы тяготения, которые действуют на каждое из взаимодействующих тел. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению в полном соответствии с третьим законом Ньютона. Они направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки. Такого рода силы носят название центральных. Векторное выражение, например, для силы F12, с которой тело массой т2 действует на тело массой /и, (рис. 5.1), имеет вид fi2 = Gm1ffl2r^3. (5.2) При установлении закона всемирного тяготения Ньютон исходил из открытых Кеплером на основании астрономических наблюдений Тихо Браге законов движения планет Солнечной системы. Три закона Кеплера гласят: 1. Траектории, по которым движутся планеты, представляют Кобой эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади. 3. Для всех планет отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси эллиптической орбиты имее! одно и то же значение. Орбиты большинства планет мало отличаются oi круговых. Для простоты будем считать их точне ^круговыми. Это не противоречит первому закон; Кеплера, так как окружность представляет собой част ? ный случай, эллипса, у которого оба фокуса совпадают ?Согласно второму закону Кеплера движение планеть ¦ро круговой траектории происходит с постоянной п( ; величине скоростью. При этом третий закон Кеплер; приводит к тому, что отношение квадрата период; «обращения Т к кубу радиуса круговой орбиты R оди щнаково для всех планет: т~ —г —— const. R3 Движущаяся по окружности с постоянной скоростью планета обладает центростремительным ускорением, рав ; ным 4n2Rj Г2. Воспользуемся этим обстоятельством чтобы определить силу, которая сообщает планете тако ускорение (при выполнении условия (5.3)). Согласи второму закону Ньютона модуль ускорения равен от ношению действующей на планету силы к массе планеты Отсюда с уметом (5.3) легко установить, как F зависит ] от массы планеты и от радиуса ее орбиты. Умножая (5.4) ка R2, видим, что в левой части, согласно (5.3), j стоит одинаковая для всех планет величина. Значит, и правая часть, равная FR2/m, постоянна. Поэтому г т R т. е. сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца и пропорциональна массе планеты. Но Солнце и планета выступают в их взаимодействии как равноправные тела. Они отличаются друг от друга только массами. И поскольку сила притяжения пропорциональна массе планеты т, то она должна быть пропорциональна и массе Солнца М: тМ Foo Вводя коэффициент пропорциональности G, не зависящий ни от масс взаимодействующих тел, ни от расстояния между ними, приходим к формуле для закона всемирного тяготения (5.1). Гравитационное взаимодействие тел можно описывать, используя понятие гравитационного поля. Ньютоновская формулировка закона всемирного тяготения соответствует представлению о непосредственном действии тел друг на друга на расстоянии без какого бы то ни было участия промежуточной среды. В современной физике считается, что передача любых взаимодействий между телами осуществляется посредством создаваемых этими телами полей. Одно из тел непосредственно не действует на другое, оно наделяет окружающее его пространство особыми свойствами — создает гравитационное поле, особую материальную среду, которая и воздействует на другое тело. Но j никакой наглядной картины поля дать невозможно, поскольку само понятие физического поля относится к числу основных понятий, которые невозможно определить через другие, более простые понятия. Можно только описать его свойства. Отметим, что в рамках механики Ньютона оба представления — о действии тяготения на расстоянии и о взаимодействии через гравитационное поле—приводят к одинаковым результатам и являются одинаково допустимыми. § 5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 45 Силовой характеристикой гравитационного поля является его напряженность, измеряемая силой, действующей на материальную точку единичной массы. Для ¦ гравитационного поля, создаваемого точечной массой М, на расстоянии г от нее модуль напряженности g(r), согласно закону всемирного тяготения (5.1), равен g{r) = G* Из соображений симметрии ясно, что поле точечной массы является сферически симметричным, т. е. вектор напряженности g в любой точке направлен к силовому центру, а модуль его зависит только от расстояния до центра. Опыт показывает, что гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Согласно этому принципу гравитационное поле, создаваемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. Напряжен ность поля, создаваемого несколькими телами, равнг векторной сумме напряженностей полей, создаваемы; этими телами в отдельности. Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать гра витационные поля, создаваемые протяженными телами Для этого нужно мысленно разбить тело на отдельны-элементы, которые можно считать материальным] точками, и найти векторную сумму полей, создаваемы этими элементами. Пользуясь принципом суперпозицш можно показать, что гравитационное поле, создаваемо шаром со сферически симметричным распределении массы, вне этого шара неотличимо от гравитационног поля материальной точки такой же массы, как и maj помещенной в центр шара. Доказательство подобног утверждения будет дано в главе «Электростатика» да случая электростатического взаимодействия, где сих г также убывает обратно пропорционально квадрат расстояния. Используя еще и третий закон Ньютона, нетрудг •доказать, что два шара со сферически симметричны распределением масс притягиваются друг к другу таки образом, как если бы их массы были сосредоточен в их центрах. Пусть два шара с масса\ т! и т2 притягивают друг друга с силаи F{2 и F21 (рис. 5.2а). Если заменить первый ш; точечной массой тх (рис. 5.26), то создаваемое им гравитационное поле в месте расположения второго шара не изменится и, следовательно, не изменится сила F21, действующая на второй шар. На основании третьего закона Нью-г тона отсюда можно сделать вывод, что второй шар действует Fa Л с 0ДН0й и той же си- -( )т? 5 лой F12 как на первый шар, так и на замену _ _ % „ няющую его материальную точку т1. Эту т, о- Рис. 5.2. К вопросу о гравитационном вза- СИЛу ЛеГКО НаЙТИ, уЧИ-И-v ^действии тел со сферически симметрии- ТЫВаЯ ЧТО СОЗДавае-ным распределением масс . " мое вторым шаром гравитационное поле в том месте, где находится первый шар, неотличимо от поля точечной массы т2, помещенной в его центр (рис. 5.2в). Таким образом, сила притяжения шаров совпадает с силой притяжения двух точечных масс т1 и т2, расстояние между которыми равно расстоянию между центрами шаров. Теперь очевидно, что на находящееся вблизи поверхности Земли тело массы т действует сила тяжести mg, модуль которой вычисляется по формуле тМ mg = G где М—масса Земли, R — ее радиус. Для применимости формулы (5.6) не обязательно, чтобы Земля представляла собой однородный шар; достаточно, чтобы распределение массы можно было считать сферически симметричным. Если тело движется только под действием силы тяжести mg, т. е. свободно падает, то его ускорение g, согласно второму закону Ньютона, равно по модулю т R2 и направлено к центру Земли. В то же самое время правая часть (5.7) дает значение напряженности гравитационного поля Земли у ее поверхности. Напряженность гравитационного поля и ускорение свободного падения в этом поле — это одно и то же. I Остановимся теперь на вопросе об экспериментальна определении гравитационной постоянной G. Пре-Вде всего отметим, что G не может быть определена i из астрономических наблюдений. Действительно, из наблюдений за движением планет можно найти только «произведение гравитационной постоянной на массу Во лица. Йз наблюдений за движением Луны или за ^свободным падением тел вблизи Земли можно найти ?только произведение гравитационной постоянной на Вассу Земли. Для определения G необходимо иметь ?возможность независимо измерить массу источника I гравитационного поля. Это можно сделать только Копыте, проводимом в лабораторных условиях. Такой Иопыт впервые был выполнен Генри Кавендишем в 1798 г. с помощью крутильных весов, к концам ?коромысла которых были прикреплены небольшие ?[свинцовые шары. На небольшом расстоянии от них Неподвижно закреплялись большие тяжелые шары. ¦ Массы всех шаров были известны. Под действием сил Критяжения малых шаров к большим коромысло ?немного поворачивалось, и по закручиванию нити родвеса измерялась сила. В своих опытах Кавендиш элучил значение G, всего на 1% отличающееся от ринятого в настоящее время. В современных модификациях опыта Кавендиша производится измерение Ькорений, сообщаемых малым шарам на коромысле равитационным полем тяжелых шаров, что позволяет Повысить точность измерений. Знание гравитационной постоянной позволяет опре-елить массы Земли, Солнца и других источников яготения по наблюдениям за движением в создаваемых Кми гравитационных полях. Основное физическое содержание открытого Ньютоном закона всемирного тяготения состоит в том, что сила гравитационного взаимодействия тел пропорциональна их инертным массам, т. е. массам, фигурирующим во втором законе Ньютона и описывающим инертные свойства тел. Но инерция и способность ¦к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно разные свойства материи. Количест-ренные меры этих свойств могли бы и не быть одинаковыми. В этом случае потребовалось бы вводить два понятия: инертной массы для описания инертных свойств тел и гравитационной (или тяготеющей) массы для описания способности создавать гравитационное поле. Совпадение инертной и гравитационной масс¦ в ньютоновской механике не имеет под собой физической причины и в этом смысле является случайным. Это просто экспериментальный факт, установленный с очень высокой степенью точности. Фактически этот результат содержался уже в установленном Галилеем законе о том, что все тела в одном и том же гравитационном поле падают с одинаковым ускорением. Опыты Галилея имели невысокую точность. В дальнейшем равенство инертной и гравитационной масс неоднократно подтверждалось со все возрастающей точностью в опытах ученых разных эпох — Ньютона, Бесселя, Этвеша, Дикке I и, наконец, Брагинского и Панова, которые довели относительную погрешность измерений до Ю-12. Равенство инертной и гравитационной масс, носившее случайный характер в классической физике, лежит в основе созданной Эйнштейном релятивистской теории тяготения, называемой также общей теорией относительности.