Механическое состояние уравнение движения
При движении материальной точки изменяется со временем ее положение, определяемое радиус-вектором г, ее скорость г, ускорение а и т. д. Говорят, что происходит изменение состояния материальной точки со временем. Что же понимают под механическим состоянием и заданием каких параметров оно определяется? Механическое состояние материальной точки в некоторый момент времени определено, если для этого момента времени заданы ее радиус-вектор и ско рость. Если известно механическое состояние мате риальной точки в какой-либо момент времени и действующие на нее силы, то с помощью второго закона динамики можно определить ее механическое состояние в последующие моменты времени, т. е. полностью предсказать ее движение. Именно по этой причине второй закон Ньютона часто называют уравнением рвижения, ибо он описывает эволюцию начального Встояния системы во времени. К Остановимся на этом несколько подробнее. Второй (Закон Ньютона, или уравнение движения (3.1), позволяет Ьри известных силах найти ускорение материальной точки. Ко знание ускорения дает возможность определить только вменение скорости за некоторый промежуток времени. рЧтобы найти само значение скорости к концу этого Промежутка, нужно знать не только изменение скорости, но и ее значение в начальный момент. Аналогично, знание ?хорости позволяет найти изменение положения материальной точки за некоторое время. Чтобы найти сам ?адиус-вектор, нужно знать его значение в начальный момент. Например, в случае движения с постоянным ^ускорением скорость и радиус-вектор материальной точки В момент времени t определяются формулами at* r(t)=v0 + at, r(t) = r0 + v0t+ -'Где v0 и r0 — скорость и радиус-вектор в начальный • момент времени t = 0. Уравнение движения дает возможность найти y{t) и r(t) и тогда, когда действующие силы таковы, что ускорение не остается постоянным. В некоторых случаях уравнение движения удается проинтегрировать, т. е. найти v(t) и г (г) как функции времени, которые также будут содержать начальные значения у0 и г0. Примерами таких случаев являются: движение материальной точки под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от силового центра (движение планеты под действием притяжения В Солнцу, движение а-частицы в поле атомного ядра), движение под действием силы, пропорциональной смещению (гармонический осциллятор), и т. д. [ В случае, когда уравнение движения не удается Вешить аналитически, его можно решать численно. Действующая на материальную точку сила может зависеть от времени, от положения точки и от ее всорости: F=F{t, г, v). Пусть нам заданы начальные юачения г0 и v0. Уравнение движения дает возможность -найти ускорение а0 в тот же момент времени. Зная ускорение, можно приближенно найти изменение скости за малый промежуток времени Дг: Ar—a0At, откуда скорость vl к концу этого промежутка равн ^Го+АоДг. (4.21 Зная скорость в начальный момент, можно при-¦ ближенно найти изменение радиус-вектора за то время At: A r= v0At, откуда значение .радиус-вектора rt к концу этого¦ промежутка равно ri = r0 + r0At. (4.3)1 Выбор величины промежутка времени определяется тоё¦ точностью, которую мы хотим получить при тако> приближенном вычислении. Чем меньше величина промежутка At, тем ближе к истинным будут значении v, и г1, вычисляемые по формулам (4.2) и (4.3)1 Найденные значения vl и г у подставляем в выражение! для силы F(t, г, v) и с помощью уравнения движения! находим ускорение а, материальной точки в конце! промежутка времени At. Теперь повторяем описанную! процедуру для следующего промежутка времени, при-¦ чем роль начальных условий будут играть найденные¦ по (4.2) и (4.3) значения и г v2 = vl+alAt, r2 = rl + viAt. (4.4)¦ Затем все повторяется еще раз и т. д. Если требуется найти изменение состояния материальной точки за большой прмежуток времени, придется разбить этот промежуток на большое число шагов At. Чем меньше размер каждого шага, тем точнее будет результат, но необходимое число шагов при этом увеличивается. За повышение точности результатов приходится платить увеличением объема вычислений. Быстродействующие электронные вычислительные машины позволяют производить численное решение уравнений быстро и эффективно. Например, на современной ЭВМ всего несколько секунд занимает расчет одного оборота Юпитера вокруг Солнца, при котором с точностью до одной миллиардной учитываются возмущения от всех других планет. При практическом выполнении расчетов имеют дело не с векторами, а с числами, поэтому каждое из приведенных выше векторных уравнений записывается ? виде трех скалярных уравнений, соответствующих проекциям векторного уравнения на оси выбранной системы координат. Часто приходится рассматривать механическую си-jrtreMy, состоящую из нескольких взаимодействующих Вел. Если известны силы взаимодействия между телами В внешние силы, действующие на каждое из тел, то ? для нахождения движения системы приходится решать систему уравнений, состоящую из уравнений движения г'рдя каждого из тел. Механическое состояние системы частиц определяется заданием координат и скоростей всех частиц в один и тот же момент времени. Уравнения : движения описывают изменение этого состояния со [ Временем. Аналитическое решение задачи нахождения [ механического поведения системы взаимодействующих тел сопряжено с огромными математическими труд-I ностями. Так, например, до сих пор не решена в общем Виде задача о движении даже трех взаимодействующих Шдгел при произвольных начальных условиях. Однако численный расчет движения системы взаимодействующих частиц не содержит ничего принципиально нового по сравнению с расчетом движения одной материальной ргочки во внешнем поле. При приближенном вычислении скорость и радиус-вектор каждой из частиц находятся к помощью той же самой процедуры по формулам (4.2) — (4.4), только при определении ускорений частиц в каждый момент времени с помощью уравнений ¦>движения в этих уравнениях, кроме внешних сил, ¦ учитываются и силы взаимодействия между частицами. Кроме задачи о нахождении движения по заданным силам, уравнения движения могут быть использованы 1для решения задачи иного характера — нахожденш «действующих сил, если известно движение, т. е. есл* задан радиус-вектор как функция времени. Примерох : такой задачи может служить нахождение силы притяже ния планеты к Солнцу по известному из астрономичес наблюдений закону обращения этой планеты п< эллиптической орбите вокруг Солнца. Другой пример — движение точки по эллипсу, опи сываемое следующими уравнениями: x(f) = ,4cosco;, ^(r) = fisinco/, z = 0. (4..' В том, что траектория такого движения действительн представляет собой эллипс, можно убедиться, исключи получаем одя их в квадрат и складывая. у* 2 (4.6) v 1 ?> Это есть уравнение эллипса с полуосями А и В (рис. 4.1). Материальная точка движется по этому эллипсу в направлении против часовой стрелки. Для нахождения силы, вызывающей такое движение, нужно с помощью формул (4.5) определить ускорение частицы. Дифференцируя уравнения (4.5) по времени, находим ^ ч ¦ / проекции скорости на оси координат: vx= —соA sin cor, ... .^чирия пространственного Vy = (i)B COS СО/, Vz = 0. (4.7) осциллятора Дифференцируя по времени соотношения (4.7), получаем проекции ускорения: ах = — (й2А cosoi», ау= — (o2/?sinco/, az — 0. (4.8) Используя второй закон Ньютона, из соотношений (4.8) получим проекции силы, действующей на материальную точку: Fx=—т())2Асо$ш, Fy= — mco2fisinco/, Fz — 0. (4.9) Сравнивая (4.9) с (4.5), выражения для проекций сил I можно записать в виде Fx= —то)2х, Fy= —т(й2у>. (4.10) Эти соотношения дают искомую зависимость действующей на частицу силы от ее координат. В векторном виде их можно записать следующим образом: -ты2г. доТилового°°пеДИНаТ ,И ^ио^. Фостранственный осц„лГоп " ТРЗ (Рис. 4.1). Это (вижение. шиллятор, совершающий плоское Хотя движение пространственного осциллятора, как и движение планет вокруг Солнца, происходит по эллиптической траектории, характер этих движений совершенно различен. Движение планеты происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца, расположенного в одном из фокусов эллипса (рис. 4.2), в то время как у пространственного осциллятора силовой центр совпадает с центром эллипса. Различие в характере движений становится особенно отчетливым, если вспомнить, что скорости планеты t>t и v2 в афелии и перигелии различны (рис. 4.2), в то время как у пространственного осциллятора скоросп Vi и v2 в соответствующих точках орбиты одинаковь (рис. 4.1). В динамике встречаются и такие задачи, где задан; только часть сил, действующих на материальные точки § Такая ситуация возникает, когда движение тела проис ходит при наложенных связях. Примерами механически систем, совершающих такие движения, являются мате риальная точка в поле тяжести, подвешенная н нерастяжимой нити (математический маятник), грузь соединенные нитями, перекинутыми через блоки, и т. г Наличие связи приводит к тому, что движение матема тического маятника ограничено сферической поверхнс стью с центром в точке подвеса, движение грузо1 соединенных нитями, происходит так, что расстояни между ними, измеренное вдоль натянутой нити, вс время остается неизменным, и т. д. При изучении таки систем возникает задача не только расчета их движени: но и определения сил реакций связей. В уравнения движения число неизвестных при этом возрастает, та как, помимо ускорений, подлежат определению и нек< торые из сил. Но и в этом случае можно найти в( неизвестные, так как к уравнениям движения добавл ются уравнения, описывающие наложенные связи. В качестве примера механической системы с [связями рассмотрим простой механизм, схематичезображенный на рис. 4.3. Пусть массы грузов ix и т2 много больше масс блоков и нити, трение отсутствует. Тогда в первом приближении Ьлоки и нить можно считать вообще не имеющими массы. Это условие позволяет считать натяжение нити одинаковым по всей ее длине. Составим уравнение движения для каждого из грузов. Силы, действующие на грузы, показаны на рис. 4.3. Тогда miS+ Tl=mlal, m2g+T2 = m2a2, (4.12) где ai и а2 — ускорения грузов. Найдем проекции этих уравнений на вертикальное направление: -т^+тх=тхахх, -m2g+T2 = m2a2x. (4.13) Обозначим значение силы натяжения нити через Т. Тогда вследствие третьего закона Ньютона Т2 = Т, а в силу того, что масса левого блока равна нулю, Г1 = 2Г. Теперь уравнения движения (4.13) перепишутся в виде -m1g+2T=mlalx, -m2g+T=m2a2x. (4.14) Система двух уравнений (4.14) содержит три неизвестных: проекции ускорений грузов на ось х и натяжение нити Т. Для нахождения неизвестных этих уравнений недостаточно. К ним следует добавить уравнение, описывающее наложенную связь. Наличие нерастяжимой нити приводит к существованию определенной связи между проекциями ускорений грузов. Чтобы установить эту связь, рассмотрим возможное перемещение грузов. Пусть, например, первый груз поднялся на расстояние Ajc^ Тогда, как легко видеть из рис. 4.3, второй груз опустится на вдвое большее расстояние, т. е. проекция его перемещения Ах2= — 2A.vt. Поскольку эти перемещения происходят за одно и то же время At, то таким же соотношением будут связаны и проекции скоростей, . и проекции ускорений грузов: v2x=-2V1x, a2x=-2alx Учитывая эту связь ускорений, можно из системы (4.14) найти проекции ускорений грузов а1х и а2х и силу ,нагяжения нити, т. е. реакцию связи Г: -ml g, aix=- 2a 1 mj +4 т2 imim2 1 =-g. mj +4 m2 Если 2m2>ml, то ускорение первого груза направлено вверх, но это еще ничего не говорит о направлении его движения. Для нахождения направления движения нужно знать еще начальную скорость. А для определения положения грузов в любой момент времени потребуется еще и знание их начального положения.