Кинематика движения в однородном поле
Простейший случай неравномерного движения — это движение с постоянным ускорением. Такое движение происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что движение тела происходит в области, линейные размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли. Другой пример—действующее на заряженную частицу электрическое поле в пространстве между пластинами плоского конденсатора. Разумеется, движение тел в таких полях происходит с постоянным ускорением лишь при условии, что никакие другие силы, как, например, сопротивление воздуха, не действуют. Уравнение движения тела, движущегося с пост ным ускорением а, имеет вид При одном и том же ускорении а движение М( выглядеть совершенно по-разному в зависимости того, каковы начальные условия — положение тел в начальный момент времени и начальная скорость v0. Но во всех случаях это движение описывается одним и тем же уравнением (2.1). Такое движение происходит в одной плосхости, проходящей через векторы ускорения а и начальной скорости г0. Легко полу уравнение траектории движения. Будем для о деленности рассматривать движение вблизи поверхн Земли. Тогда ускорение а есть ускорение свобод падения g и, следовательно, траектория лежит в тикальной плоскости. Введем в этой плоскости сист координат следующим образом: ось х напра горизонтально, а ось у — вертикально вверх. С ецируем векторное уравнение (2.1) на оси х i Пусть а—угол между направлением начальной рости и осью х. Тогда Обычно бывает удобно выбрать систему коорда так, чтобы ее начало совпадало с исходной то1 траектории (рис. 2.1). Тогда xo=jo = 0 и уравне (2.2) принимают вид Чтобы получить уравнение траектории у=у(х), ну: исключить время из этих уравнений. Выражая t первого уравнения и подставляя во второе, полу Это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при х2 отрицателен. Используя хорошо известные свойства квадратного трехчлена, можно найти корни правой части выражения (2.4), ее наибольшее значение утах и значение х, при котором достигается значение утах. Корни трехчлена суть точки, в которых парабола (2.4) пересекает ось х. Один корень Xj =0 соответствует начальной точке траектории, второй x2 = (2i;£/g)sinorcosa = (t^/g)sin2a дает дальность полета тела по горизонтали. Вершина параболы лежит на ее оси симметрии, т. е. посередине между корнями при x=x3 = (v%/2g)sin2a. Подставляя это значение х в (2.4), находим максимальную высоту подъема >'max = (^o/2g)sin2a. Если интересоваться тем, как будет меняться траектория при изменении направления начальной скорости, т. е. угла а, то удобнее преобразовать уравнение траектории (2.4) таким образом, чтобы оно содержало только какую-нибудь одну тригонометрическую функцию угла а. Для этого воспользуемся соотношением l/cos2oc= 1 + tg2x Подставляя его в (2.4), находим Уравнение (2.5) описывает семейство параболических траекторий, зависящее от двух параметров: модуля начальной скорости v0 и угла а. Решение кинематических задач о свободном падении в однородном поле тяжести фактически сводится к исследованию этого семейства. В качестве примера рассмотрим баллистическую задачу о стрельбе из ружья, пренебрегая сопротивлением воздуха. Прежде всего зададимся вопросом, как следует стрелять, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии S по горизонтали и на высоте h над горизонтальной плоскостью, проходящей через ружье (рис. 2.2). Стреляя в цель, мы можем менять наклон ствола ружья ос, но, разумеется, мы не в силах менять модуль начальной скорости v0, так как он зависит от заряда патронов и устройства ружья. Поэтому будем считать г0 известной заданной v0 известной заданной величиной. Под каким же к горизонту следует направить ствол ружья? Чтобы ответить на этот вопрос, потребуем, 1 траектория, описываемая уравнением (2.5), прох< через цель, т. е. точку с координатами x = S, у Это квадратное уравнение относительно tga. I его, получаем для корней следующее выражение Если дискриминант не отрицателен, т. е. то уравнение имеет вещественные корни и, следова но, при данной начальной скорости пули в попасть можно. Если при этом дискриминант i жителен, т. е. уравнение (2.6) имеет два разли вещественных корня, то в цель можно попаст двум различным траекториям. Траектория с мень значением угла а называется настильной, с бблыш навесной. При равном нулю дискриминанте, ъ корни (2.7) совпадают, в цель при данном знач начальной скорости можно попасть единственным разом. Если же дискриминант отрицателен, то j нение (2.6) не имеет вещественных корней и в при данном значении v0 попасть нельзя ни при к; значении угла ос: ни одна из траекторий семей (2.5) не «дотягивает» до этой цели. Отсюда ясно, равенство нулю дискриминанта определяет ту м мальную начальную скорость u0min' ПРИ которой можно попасть в данную цель: С другой стороны, при заданном значении v0 равен* нулю дискриминанта определяет координаты наиб> удаленных целей, в которые еще можно попасть, • границу области, простреливаемой из данного ру; Выражая из (2.8) h (в случае равенства),