ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ
Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой, а в других • нельзя. Например, тяжелый шар, подвешенный на упругой проволоке, можно считать материальной точкой при изучении вертикальных колебаний (рис. 1.3 а) и нельзя — при изучении крутильных колебаний вокруг вертикальной оси (рис. 1.3 6). Таким образом, используя_модель материальной точки, мы идеализируем не столько свойства самого тела, сколько условия его движения» Положение материальной точки в некоторой системе отсчета можно определить, задавая ее радиус-вектор г. Если связать с системой отсчета координатные оси, например, декартовой прямоугольной системы координат, то задание радиус-вектора г эквивалентно заданию трех координат .х, у, z—проекций радиус-вектора на выбранные оси. Движение материальной точки математически описано полностью, если известен ее радиус-вектор как функция времени r(t), т. е. известны три скалярные функции x(t), у(/) и z(t). Изменение радиус-вектора за некоторый промежуток времени At = t2 — tl, равное r(t2)—»•(/[), называют перемещением А г за время А/. Линия, которую описывает при этом конец радиус-вектора r(t), называется траекторией материальной точки, а длина этой линии — пройденным за время At путем AS (рис. 1.4). Отношение вектора перемещения А г к промежутку времени At называется средней по времени скоростью движения: v?e = ArJAt. Если уменьшать значение промежутка времени А/, то отношение Ar/At будет стремиться к пределу, который называется мгновенной скоростью (или просто скоростью): Таким образом, мгновенная скорость представляет собой производную радиус-вектора г по времени. Наряду с приведенным обозначением dr/dt для производной часто используется другое обозначение: г'. Из самого определения скорости следует, что в каждой точке вектор скорости направлен по касательной к траектории. Часто используется еще одна, но уже скалярная величина, также называемая скоростью,— средний модуль скорости v, определяемый как отношение пути AS к промежутку времени Л/, за который этот путь пройден: v — AS/At. Средняя скорость vcp = Ar/At и средний модуль скорости v, вообще говоря, характеризуют движение с разных сторон. Например, при движении автомобиля по замкнутому пути вектор средней скорости vcp, вычисляемый за полное время движения, равен нулю, несмотря на то что автомобиль прошел немалый путь, а средний модуль скорости v = AS/At отличен от нуля. Однако при стремлении промежутка времени At к нулю модуль средней скорости vcp приближается к среднему модулю скорости v и в пределе Д?->0 эти величины совпадают. Это как раз та величина, которую показывает стрелка на спидометре автомобиля. / Вектор скорости характеризует быстроту изменения /вектора перемещения материальной точки. Для характеристики быстроты изменения вектора скорости вводят ускорение. Средним за время At ускорением а называется отношение приращения скорости Дv=v(t2)—v(tl) к промежутку времени At: аср = Av/At. Предел этого отношения при At->0 называется мгновенным ускорением (или просто ускорением): о/ \ .'ис. 1.5. Траектория (о) и годограф вектора скорости (б) материальной точю Рис. 1.6. Траектория (а) и годограф вектора скорости (б) при равномерном движении по окружности Сравнивая формулы (1.1) и (1.2), можно отметить следующую формальную аналогию между скоростью и ускорением. Если скорость характеризует быстроту изменения радиус-вектора, то ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости. Рассмотрим эту аналогию подробнее. Пусть конец радиус-вектора описывает некоторую траекторию, показанную на рис. 1.5а. В каждый момент времени вектор скорости направлен по касательной к траектории. Изобразим все векторы скорости v,, г2 и т. д. так, чтобы они начинались в одной произвольной точке А (рис. 1.5 о). При движении материальной точки по траектории конец вектора скорости на таком чертеже будет описывать кривую MN, называемую годографом вектора скорости. Используя такое определение, можно сказать, что сама траектория материальной точки является годографом ее радиус-вектора. Теперь легко сообразить, что вектор ускорения на рис. 1.5 6 будет в каждой точке направлен ni касательной к годографу вектора скорости MN подобн< тому, как вектор скорости направлен по касательно! к траектории на рис. 1.5 а. Описанная аналогия может быть использована например, для нахождения ускорения точки, равномерн* движущейся по окружности (рис. 1.6 а). Годограс вектора скорости для такого движения показан н рис. 1.6 б. Пока материальная точка совершает оди: оборот по траектории, конец вектора скорости совер шает один оборот по годографу. Модуль скорост материальной точки связан с радиусом окружност R и периодом обращения Т соотношением v = 2%Rjl Аналогичное соотношение связывает модуль ускорени а с радиусом годографа скорости v: a = 2nv/T. Сравнива эти формулы, получаем Сравнивая рис. 1.6 а и б, убеждаемся, что вектор ускорения а в каждый момент времени направлен противоположно радиус-вектору материальной точки для этого же момента времени, т. е. ускорение а направлено к центру окружности, являющейся траекторией движения. В рассматриваемом примере равномерного движения точки по окружности вектор скорости изменяется только по направлению, оставаясь неизменным по модулю. Вектор ускорения при этом направлен перпендикулярно вектору скорости, т. е. по нормали к траектории. Так будет при движении с постоянной по модулю скоростью по любой траектории. Если же скорость точки меняется и по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, направленной перпендикулярно скорости, будет еще составляющая, направленная по или против вектора скорости в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость по модулю. Модуль нормальной составляющей ускорения определяется по-прежнему формулой (1.3), где под R понимается радиус кривизны траектории в данной точке, т. е. радиус окружности, дуга которой приблизительно совпадает с участком траектории вблизи рассматриваемой точки. Модуль составляющей ускорения, параллельной скорости и характеризующей изменение модуля скорости, равен производной от величины скорости по времени dv/dt.