ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ Теплопроводность Доказано [211, что решение задачи о теплопроводности в твердом теле для нестационарного периодического процесса при заданных значениях критериев Фурье Fo и Био Bi и распределения относительных неременных величии (если необходимо) в начальный момент и на границах тела можно найти в форме следующей однозначной зависимости*: * Результаты эксперимента также целесообразно представить в форме выражения (Ш-12). где --искомая переменная—температура в относительной форме; независимые переменные—время и координаты в от- хо / 1 1 носительной форме. Величины д0, т0, /0 задаются по условию задачи. Покажем, что решение (II1-12) имеет обобщенный характер. Существует бесчисленное количество каждой из первоначальных вели-X чин а — —, То, /, которые при объединении в критерий Фурье дадут с р одно и то же число. Все это справедливо и для критерия Био. Но каждый набор из первоначальных величин а— т 0, / соответствует конкретному единичному случаю. Следовательно, решение в форме (II1-12) остается справедливым для бесчисленного количества тех единичных случаев, у которых как критерий Фурье, так и критерий Био одинаковы. Значит решение (111-12) имеет обобщенный характер, а все единичные случаи, для которых это решение оказывается справедливым, родственны между собой. Это объясняется тем, что соотношения между основными физическими эффектами во всех случаях одинаковы, так как для них одинаковы критерии Фурье и Био, а краевые условия подобны между собой. Явления, между которыми наблюдается такое соответствие, физически подобны. Группа единичных случаев, у которых критерии (например, Фурье и Био) одинаковы по величине, — составляет обобщенный индивидуальный случай. Единичные случаи, составляющие обобщенный индивидуальный случай, подобны между собой. Конкретные значения критериев подобия (и если необходимо — относительное распределение переменных величин в начальный момент и на границах системы), присоединенные к соответствующим дифференциальным уравнениям, описывающим класс явлений (например, явления теплопроводности в твердом теле), выделяют из него (класса) обобщенный индивидуальный случай и, следовательно, могут рассматриваться как обобщенная форма краевых условий. Следовательно, количественным признаком подобия является одинаковость критериев (например, Фурье и Био), составленных только из заданных параметров математического описания процесса, поэтому их называют критериями подобия. Заключение о равенстве критериев подобия для подобных между собой процессов теплопроводности, описанных тождественными уравнениями, остается справедливым для любых явлений теплообмена. Итак, необходимым и достаточным условием подобия двух или более процессов теплообмена является равенство в них одноименных критериев подобия (21]. Иногда в условии задачи бывают даны не один, а два или более параметров одной физической природы. Например, если дано два ха- рактерных геометрических размера, то получится два критерия Фурье отличающихся только характерными размерами. Комбинируя их в отношение, получим Такое отношение называют параметрическим критерием и обозначают А-р Все сказанное в равной мере относится и к критерию Био. При таком условии задачи в выражении (II1-12) оставляют по одному однотипному критерию (например, Fo,) и одновременно вводят параметрические критерии. В этом случае зависимость (II1-12) имеет вид Очевидно, что рассмотренные параметрические критерии являются критериями геометрического подобия. Для стационарного одномерного процесса теплопроводности уравнение (II1-13) значительно упрощается Bi; Pi;P2;...) (Ill-13а) Бывают случаи, когда по условию задачи не задано ни одного параметра данной физической природы. Например, нестационарный апериодический процесс теплопроводности в твердом теле. Действительно, в этой задаче не задано никакого отрезка времени т0, и мы не можем составить критерий Фурье. В таких задачах комбинируют критерий и соответствующую относительную переменную так, чтобы исключить незаданный параметр [21]. В нашем случае эта операция будет выглядеть так: = (II1-14) Полученный комплекс называется безразмерной переменной комплексного типа, или относительной формой текущего времени. Этот комплекс по форме не отличается от критерия Фурье, но по существу он не является критерием подобия. Комплекс ~ в отличие от критерия Фурье называют ч и с л о м Фур ь е. Зависимость (III-12) для случая нестационарного апериодического одномерного* процесса имеет вид В случае одномерного процесса параметрические критерии, составленные из характерных размеров, отпадают, так как изменение температуры происходит только в направлении одной координаты (например, х) и выбирается только один характерный размер I.