Понятие кручения Стержни Оси

Понятие кручения Стержни Оси


Кручение – это такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении действует только крутящий момент ─ MK . Стержни, испытывающие кручение называют валами. Кручение возникает в результате действия внешних пар сил, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня. 44 Моменты внешних пар называют скручивающими моментами и обозначают М. Простейший случай кручения имеет место при действии на стержень двух равных по величине и противоположных по направлению пар сил (рис. 2.1). Моменты от внешних пар сил соответственно равны M. В общем случае на вал могут действовать несколько внешних пар сил, приложенных в различных сечениях, которые взаимно уравновешиваются (рис. 2.2). Алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к стержню, равна нулю:  0. Под действием внешних скручивающих моментов в поперечных сечениях вала возникают внутренние силы, которые приводят к одному силовому фактору – крутящему моменту MK . Крутящий момент в сечении вала определяется на основе метода сечений – метода РОЗУ, рассмотренного в разделе растяжение (сжатие). Так, для случая (рис. 2.1), используя метод сечений, рассечем вал плоскостью, перпендикулярной его оси на две части, и рассмотрим одну из них, например, левую часть (рис. 2.3). Данная часть вала под действием внешнего момента M1 и внутреннего крутящего момента K M должна находиться в равновесии. Очевидно, что MK h. Если рассмотреть правую часть вала (рис. 2.3), то получим MK  Таким образом, видим, что значение крутящего момента в сечении не зависит от того, какая часть усеченного стержня рассматривается. Правило знаков для крутящего момента Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на рассматриваемое сечение вала со стороны этого сечения действующий в нем крутящий момент направлен по часовой стрелке (рис. 2.4) или внешний скручивающий момент направлен против движения часовой стрелки. Необходимо заметить, что правило условно, так как знак крутящего момента физического смысла не имеет. 2.2. Эпюра крутящих моментов При расчете на прочность вала при кручении необходимо знать величины крутящих моментов в сечениях вала. Закон изменения крутящих моментов по длине вала представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов. При построении эпюр крутящих моментов их величины откладываются перпендикулярно прямой, параллельной оси вала. Пример 2.1 Построение эпюр крутящих моментов. Пусть вал (рис.2.5) находится в равновесии под действием внешних скручивающих моментов M кНм, М2 = 3 кНм, М3 = 7 кНм, М4 = 1 кНм. Требуется построить эпюру крутящих моментов MK . На рис. 2.5 представлена расчетная схема вала и эпюра крутящих моментов. Для построения эпюры крутящих моментов необходимо разбить вал на участки, обозначив графически сечения буквами или цифрами. В данном примере участков три, в пределах каждого из них крутящий момент имеет свое значение. Для определения крутящего момента в любом поперечном сечении вала используется метод сечений. Так для определения крутящего момента в сечении 1-1 на участке АВ рассечем вал по этому сечению, отбросим одну из частей вала, например правую, и рассмотрим левую часть (рис. 2.5). Из рассмотрения оставшейся части находим крутящий момент 1 1 На втором участке в сечении 2-2 действует крутящий момент 2 MК (рис. 2.5). Из рассмотрения равновесия левой части находим Крутящий момент MK2 , как и MK1 , положительный. Рассматривая равновесие для части вала, расположенной левее сечения 3-3 (рис. 2.5), находим Знак минус показывает, что крутящий момент в сечении 3-3, как и в любом сечении в пределах данного участка DE направлен против движения часовой стрелки. Очевидно, что при определении крутящего момента на участке DE проще было рассмотреть правую часть вала, из равновесия которой Из представленной на (рис. 2.5) эпюры MK видим, что в тех сечениях, в которых приложены внешние скручивающие моменты, ординаты эпюры крутящих моментов меняют скачкообразно на величину, равную значениям этих моментов. 2.3. Зависимость между моментом, мощностью и числом оборотов вала Рис. 2.5 47 При расчете валов обычно задана передаваемая мощность (N) и угловая скорость  , [ об мин ] или n, [ об мин ]. В этом случае внешний скручивающий момент вычисляется по одной из формул: 2.4. Напряжение при кручении валов круглого сплошного и кольцевого сечения Для валов круглого сплошного и кольцевого сечений справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если сечения имеют более сложную форму, например, прямоугольную, эллиптическую и т. д. при кручении таких стержней происходит искажение (депланация) поперечных сечений, поэтому расчетные формулы для касательных напряжений, приведенные ниже, справедливы только для рассматриваемых валов круглого поперечного сечения. При этом эти формулы получены при следующих допущениях: 1. Ось вала ОО1 (рис. 2.6) после деформации остается прямой линией. 2. Расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными. 3. Поперечные сечения плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси вала после деформации (гипотеза Бернулли). 4. Радиусы поперечных сечений, поворачиваясь на определенный угол, остаются прямыми (например, радиус ОВ займет положение ОВ1). Угол ВОВ1 представляет угол поворота сечения О относительно сечения О1. В поперечных сечениях рассматриваемого вала возникают только касательные напряжения, определяемые по формуле где ─ касательное напряжение в произвольной точке рассматриваемого поперечного сечения; K M ─ крутящий момент, действующий в поперечном сечении;  ─ расстояние от точки, в которой определяются касательные напряжения до оси вала; I ─ полярный момент инерции поперечного сечения вала. Наибольшей величины касательные напряжения достигают при max , т. е. на поверхности вала называют полярным моментом сопротивления. Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону (2.4). Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис. 2.7. Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения перпендикулярны радиусу, проходящему через эту точку. Входящий в формулы (2.4) и (2.5) полярный момент инерции  и полярный момент сопротивления Wопределяется по формулам: а) для круга б) для кольцевого сечения – внутренний диаметр, D – наружный диаметр. Полярный момент сопротивления сечения характеризует с чисто геометрической стороны прочность вала, имеющего круглое сплошное или кольцевое сечение. 2.5. Деформации вала при кручении Для валов круглого сплошного поперечного сечения и кольцевого сечения при постоянном крутящем моменте по длине участка вала, угол закручивания  или угол относительного поворота сечений этого участка (в радианах) определяется по формуле При определении угла поворота в градусах формула имеет вид где l ─ длина рассматриваемого участка; G ─ модуль сдвига; G ─ жесткость поперечного сечения вала при кручении. Это выражение называется законом Гука при кручении. В формулах (2.6), (2.7): MK в Нм; l в м в м4. Если вал ступенчатый и крутящий момент изменяется по его длине, то полный угол закручивания вала, т.е. взаимный угол поворота его концевых сечений, может быть определен суммированием углов закручивания по участкам, в пределах которых MK и I постоянны где m ─ число участков вала. Если величины MK и I(или один из них) перемещены по длине участка, то где lx ─ длина участка, в пределах которого MK,x или Ix переменны. Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называется относительным углом и определяется по формуле K Или в градусах 2.6. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении вала круглого поперечного сечения В пределах упругих деформаций. Зависимость между MK и  линейна (рис. 2.8). Потенциальная энергия U накапливается в вале при кручении, численно равна работе А внешних скручивающих моментов, которая выражается площадью треугольника ОВС: При переменных MK,x и Ix по длине участка Потенциальная энергия для всего вала определяется суммированием по участку 2.7. Анализ напряженного состояния бруса при кручении Главные напряжения и главные площадки Рассмотрим прямой брус круглого поперечного сечения, нагруженный двумя взаимно уравновешенными скручивающими моментами m (рис. 2.9). Двумя плоскостями, перпендикулярными к оси, и двумя радиальными плоскостями, проходящими через ось х, выделим часть бруса (рис. 2.10). В поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, изменяющиеся вдоль радиуса по линейному закону. На основании закона парности касательных напряжений такие же по величине напряжения возникнут и в радиальных сечениях бруса. Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного вала элемент aвcd, показанный на рис. 2.11 по граням этого элемента aвсd будут действовать только касательные напряжения τ. Таким образом, все элементы бруса, подобные aвcd, испытывают частный случай плоского напряженного состояния ─ чистый сдвиг. Как известно, при чистом сдвиге главные напряжения равны по величине касательным, причем одно является растягивающим, а другое – сжимающим, т. е. (рис. 2.11). Напомним также, что главные площадки наклонены под углом 45° к площадкам чистого сдвига. Если из бруса выделить элемент при помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45° к образующим, то на гранях этого элемента возникают только нормальные напряжения, показанные на рис. 2.12. Экспериментальные данные подтверждают правильность теоретических выводов о напряженном состоянии прямого бруса круглого поперечного сечения при кручении. Стержень, изготовленный из малоуглеродистой стали, разрушается по поперечному сечению, т.е. по наименьшей площади среза, так как для этого материала наиболее опасны касательные напряжения (рис.2.13, а). Скручиваемый чугунный стержень разрушается от действия главных растягивающих напряжений по винтовой поверхности, наклоненной под углом 45°, так как чугун ─ хрупкий материал, плохо работающий на растяжение (рис. 2.13, б). Скручиваемый деревянный брус, слабо сопротивляющийся скалыванию, разрушается с образованием продольных трещин, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в его продольных (радиальных) плоскостях (рис. 2.13, в).