Примеры расчетов при растяжении (сжатии)

Примеры расчетов при растяжении (сжатии)


Пример 1.1. Для стального ступенчатого стержня (рис. 1.32) построить эпюру продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений, если Р = 1кН, q = 2кH/м, А1 = 1см2, А2 = 2см2,  = 1м, Е = 200 ГПа. Решение: 1. Разбиваем стержень на участки, в пределах которых продольная сила изменяется по одному закону и поперечные сечения постоянны. Таких участков четыре ЕД, ДС, СВ, ВК. 2. Определяем величину и знак продольных сил для каждого из участков, применяя метод сечений. Заметим, что при определении продольной силы со стороны свободного конца, т. е. с первого участка ЕД нет необходимости определять реакцию в заделке. Участок На этом участке действует равномерно распределенная нагрузка q = const. Продольная сила для сечения 1-1: (1.44) Из зависимости (2.44) следует, что продольная сила изменяется по линейному закону при Участок СД: Для сечения 2-2 определяем продольную силу из условия равновесия части стержня, расположенной ниже сечения 2-2 (рис. 1.32,а) 35 Продольная сила на этом участке растягивающая и постоянна в пределах этого участка. Рис. 1.32 Участок СВ: Аналогично предыдущему из рассмотрения равновесия нижней отсеченной части стержня (рис. 1.32,а) имеем Так как продольная сила отсутствует, то на этом участке стержень не испытывает деформаций. Участок ВК: Для сечения 4-4 (рис. 1.32,а) аналогично Стержень испытывает на этом участке сжатие. 3. Строим эпюру продольных сил N. Для этого выбираем масштаб построения, проводим линию параллельно оси стержня и с учетом масштаба откладываем растягивающую продольную силу по одну сторону от этой линии, а отрицательную – по другую (рис. 1.32,б). 4. Определение нормальных напряжений. Нормальные напряжения определяем по зависимости , где N – продольная сила в сечении, А – площадь поперечного сечения. Участок ЕД: -5 МПа (сжатие). По данным расчета строится эпюра  (рис. 1.32,б). 5. Определяем деформации участков Участок ДЕ: 6. Определение перемещений сечений В, С, Д, Е: Перемещение сечения В равно удлинению участка ВК: Перемещение сечения С равно алгебраической сумме деформаций участков ВС и ВК Перемещение сечения Д: Перемещение сечения Е : = 0,00625 см (вниз). По полученным данным строим эпюру перемещений (рис. 1.32,г). Все сечения, за исключением К, расположенные выше точки «О» перемещаются вверх, а сечения ниже этой точки перемещаются вниз. Поперечные сечения О, К – неподвижные. Пример 1.2 Для заданной стержневой системы (рис. 1.33) требуется: 1) Определить допускаемую силу P грузоподъемной системы, исходя из условий прочности стержней 1 и 2, если размеры стержней известны: , угол наклона α = 300. Поперечное сечение первого стержня состоит из двух равнобоких уголков (80 х 80 х 8) мм, а второго стержня квадратное со стороной квадрата h = 6 см. Стержни стальные, допускаемое напряжение []=160 МПа, модуль упругости Е = 210 ГПа; 2) Определить величину вертикальных перемещений узлов С и Е. Деформацией стержней ВД и ЕК пренебречь. Решение: Устанавливаем аналитическую связь между усилиями в стержнях N1, N2 и нагрузкой P. 38 Рис. 1.33 а) Из условия равновесия стержня ВД имеем б) из условия равновесия стержня ЕК: Таким образом, связь между силой P и усилием N в стержнях 1, 2, из условия прочности которых определяем допускаемую силу P, установлена. 2. Определяем допускаемую нагрузку Pдоп. Для этого предварительно определяем допустимое усилие первого стержня из условия его прочности: N1 доп = [ ] ·A1, где А1 – площадь поперечного сечения первого стержня. Так как поперечное сечение состоит из 2-х стандартных уголков (для одного уголка АL = 12,3 см2), то A1 = 2·12,3 = 24,6 см2. 39 С учетом этого допустимое усилие для первого стержня. Допускаемая нагрузка Р1доп из условия прочности первого стержня равна: Аналогично допустимое усилие для второго стержня: N2 доп. = [] ·A2 = 160·106·36·10-4 = 576 кH. Допускаемая нагрузка из условия прочности второго стержня: P2 доп. = 1,67N2 доп = 1,67·576 = 962 кH. Из сопоставления P1 доп и Р2 доп. принимается наименьшее значение допустимой нагрузки Рдоп = 492 кН. 3. Определяем вертикальное перемещение узлов С и Е. а. Перемещение узла С. Перемещение узла С зависит только от деформации первого стержня, так как стержень ВД принят недеформированным. Удлинение первого стержня определяем по закону Гука. Вследствие удлинения первого стержня стержень ВД повернется относительно точки Д и точка В займет новое положение В1 (рис. 1.34). 40 Для определения положения точки В1 мысленно разъединим стержни в узле В и отложим по направлению первого стержня его удлинение 1 (отрезок ВВ2). Положение точки В1 определится, если первый стержень АВ и стержень ВД свести вместе, вращая их вокруг точек А и Д. Точки В2 и В будут перемещаться по дугам, но вследствие их малости дуги заменяем перпендикулярными отрезками к стержням АВ и ВД, пересечение которых и определяет новое положение точки В (рис.1.34). Точки С и ε перемещаются вниз по перпендикулярам к стержням ВД и εК. Рис. 1.34 Треугольник В, В1, В2 называется диаграммой перемещения узла В. Деформированное состояние системы показано тонкими линиями (рис. 1.34). б. Определение перемещения узла ε : Перемещение узла ε складывается из перемещения узла С и деформации (укорочения) второго стержня Укорочение второго стержня Из условия равновесия С учетом этого укороченного стержня 2: Вследствие этого точка получает дополнительное перемещение вниз, тогда перемещение узла ε будет равно   ε = 0,0235 + 0,039 = 0,0625 см. Пример 1.3. Для фермы (рис. 1.35) определить внутренние усилия в стержнях 4, 5, 6 и подобрать размеры поперечного сечения стержня № 6, приняв, что оно состоит из 2- х швеллеров, если Р = 200 кН, а1 = 1 м, [ ] = 160 МПа. Решение: 1. Определяем опорные реакции из условия равновесия фермы. 2. Выполняем проверку правильности определения опорных реакций. Реакции найдены правильно. 3. Определяем усилия в стержнях 4, 5, 6.. Для этого используем метод сечений. Делаем сечение 1-1 и рассматрива ем равновесие левой части фермы. Рис. 1.35 4. Определяем площадь поперечного сечения стержня 6 из условия прочноcти Потребная площадь поперечного сечения для одного швеллера По сортаменту находим подходящий профиль швеллера № 6, 5, у которого Ашв= 7,51 см2 , что несколько больше, чем расчетное значение. 43 Фактическое напряжение в стержне 6: будет меньше допустимого, недонапряжение составляет