Примеры расчетов при растяжении (сжатии)
Примеры расчетов при растяжении (сжатии)
Пример 1.1.
Для стального ступенчатого стержня (рис. 1.32) построить эпюру продольных
сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений, если
Р = 1кН, q = 2кH/м, А1 = 1см2, А2 = 2см2, = 1м, Е = 200 ГПа.
Решение:
1. Разбиваем стержень на участки, в пределах которых продольная сила
изменяется по одному закону и поперечные сечения постоянны. Таких
участков четыре ЕД, ДС, СВ, ВК.
2. Определяем величину и знак продольных сил для каждого из участков,
применяя метод сечений. Заметим, что при определении продольной силы со
стороны свободного конца, т. е. с первого участка ЕД нет необходимости
определять реакцию в заделке.
Участок
На этом участке действует равномерно распределенная нагрузка q = const.
Продольная сила для сечения 1-1:
(1.44)
Из зависимости (2.44) следует, что продольная сила изменяется по линейному
закону при
Участок СД:
Для сечения 2-2 определяем продольную силу из условия равновесия части
стержня, расположенной ниже сечения 2-2 (рис. 1.32,а)
35
Продольная сила на этом участке растягивающая и постоянна в пределах этого
участка.
Рис. 1.32
Участок СВ:
Аналогично предыдущему из рассмотрения равновесия нижней отсеченной части
стержня (рис. 1.32,а) имеем
Так как продольная сила отсутствует, то на этом участке стержень не испытывает
деформаций.
Участок ВК:
Для сечения 4-4 (рис. 1.32,а) аналогично
Стержень испытывает на этом участке сжатие.
3. Строим эпюру продольных сил N. Для этого выбираем масштаб построения,
проводим линию параллельно оси стержня и с учетом масштаба откладываем
растягивающую продольную силу по одну сторону от этой линии, а
отрицательную – по другую (рис. 1.32,б).
4. Определение нормальных напряжений.
Нормальные напряжения определяем по зависимости
,
где N – продольная сила в сечении, А – площадь поперечного сечения.
Участок ЕД:
-5 МПа (сжатие).
По данным расчета строится эпюра (рис. 1.32,б).
5. Определяем деформации участков
Участок ДЕ:
6. Определение перемещений сечений В, С, Д, Е:
Перемещение сечения В равно удлинению участка ВК:
Перемещение сечения С равно алгебраической сумме деформаций участков ВС и ВК
Перемещение сечения Д:
Перемещение сечения Е :
= 0,00625 см (вниз).
По полученным данным строим эпюру перемещений (рис. 1.32,г).
Все сечения, за исключением К, расположенные выше точки «О»
перемещаются вверх, а сечения ниже этой точки перемещаются вниз. Поперечные
сечения О, К – неподвижные.
Пример 1.2
Для заданной стержневой системы (рис. 1.33) требуется:
1) Определить допускаемую силу P грузоподъемной системы, исходя из условий
прочности стержней 1 и 2, если размеры стержней известны: , угол наклона α = 300.
Поперечное сечение первого стержня состоит из двух равнобоких уголков (80 х
80 х 8) мм, а второго стержня квадратное со стороной квадрата h = 6 см.
Стержни стальные, допускаемое напряжение []=160 МПа, модуль упругости Е =
210 ГПа;
2) Определить величину вертикальных перемещений узлов С и Е. Деформацией
стержней ВД и ЕК пренебречь.
Решение:
Устанавливаем аналитическую связь между усилиями в стержнях N1, N2 и
нагрузкой P.
38
Рис. 1.33
а) Из условия равновесия стержня ВД имеем
б) из условия равновесия стержня ЕК:
Таким образом, связь между силой P и усилием N в стержнях 1, 2, из условия
прочности которых определяем допускаемую силу P, установлена.
2. Определяем допускаемую нагрузку Pдоп.
Для этого предварительно определяем допустимое усилие первого стержня из
условия его прочности:
N1 доп = [ ] ·A1, где А1 – площадь поперечного сечения первого стержня.
Так как поперечное сечение состоит из 2-х стандартных уголков (для одного
уголка АL = 12,3 см2), то A1 = 2·12,3 = 24,6 см2.
39
С учетом этого допустимое усилие для первого стержня.
Допускаемая нагрузка Р1доп из условия прочности первого стержня равна:
Аналогично допустимое усилие для второго стержня:
N2 доп. = [] ·A2 = 160·106·36·10-4 = 576 кH.
Допускаемая нагрузка из условия прочности второго стержня:
P2 доп. = 1,67N2 доп = 1,67·576 = 962 кH.
Из сопоставления P1 доп и Р2 доп. принимается наименьшее значение допустимой
нагрузки Рдоп = 492 кН.
3. Определяем вертикальное перемещение узлов С и Е.
а. Перемещение узла С.
Перемещение узла С зависит только от деформации первого стержня, так как
стержень ВД принят недеформированным.
Удлинение первого стержня определяем по закону Гука.
Вследствие удлинения первого стержня стержень ВД повернется относительно
точки Д и точка В займет новое положение В1 (рис. 1.34).
40
Для определения положения точки В1 мысленно разъединим стержни в узле В
и отложим по направлению первого стержня его удлинение 1 (отрезок ВВ2).
Положение точки В1 определится, если первый стержень АВ и стержень ВД свести
вместе, вращая их вокруг точек А и Д.
Точки В2 и В будут перемещаться по дугам, но вследствие их малости дуги
заменяем перпендикулярными отрезками к стержням АВ и ВД, пересечение которых
и определяет новое положение точки В (рис.1.34). Точки С и ε перемещаются вниз
по перпендикулярам к стержням ВД и εК.
Рис. 1.34
Треугольник В, В1, В2 называется диаграммой перемещения узла В.
Деформированное состояние системы показано тонкими линиями (рис. 1.34).
б. Определение перемещения узла ε :
Перемещение узла ε складывается из перемещения узла С и деформации
(укорочения) второго стержня
Укорочение второго стержня
Из условия равновесия
С учетом этого укороченного стержня 2:
Вследствие этого точка получает дополнительное перемещение вниз, тогда
перемещение узла ε будет равно ε = 0,0235 + 0,039 = 0,0625 см.
Пример 1.3.
Для фермы (рис. 1.35) определить внутренние усилия в стержнях 4, 5, 6 и
подобрать размеры поперечного сечения стержня № 6, приняв, что оно состоит из 2-
х швеллеров, если Р = 200 кН, а1 = 1 м, [ ] = 160 МПа.
Решение:
1. Определяем опорные реакции из условия равновесия фермы.
2. Выполняем проверку правильности определения опорных реакций.
Реакции найдены правильно.
3. Определяем усилия в стержнях 4, 5, 6..
Для этого используем метод сечений. Делаем сечение 1-1 и рассматрива ем
равновесие левой части фермы.
Рис. 1.35
4. Определяем площадь поперечного сечения стержня 6 из условия прочноcти
Потребная площадь поперечного сечения для одного швеллера
По сортаменту находим подходящий профиль швеллера № 6, 5, у которого Ашв=
7,51 см2 , что несколько больше, чем расчетное значение.
43
Фактическое напряжение в стержне 6:
будет меньше допустимого, недонапряжение составляет |