Расчет ступенчатого стержня с учетом собственного веса

Расчет ступенчатого стержня с учетом собственного веса


Рассмотрим ступенчатый стержень (рис. 1.16). Пусть требуется подобрать размеры поперечных сечений данного стержня, если нагрузка Р, допускаемое напряжение [], длины участков l1 , l2 , l3 и удельный вес γ материала стержня – известны. Расчет стержня производим со свободной стороны конца. Воспользовавшись ранее полученными условиями (1.19) для первого (нижнего) участка стержня имеем По аналогии для второго участка Для третьего участка В случае если стержень имеет несколько участков, то площади поперечных сечений этих участков могут быть определены по формуле где n – число участков ступенчатого стержня. 1.9. Стержень равного сопротивления рaстяжению (сжатию) Стержень, у которого во всех поперечных сечениях нормальные напряжения одинаковы, называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Очевидно, что такой стержень имеет переменную площадь поперечного сечения (рис. 1.17, а). Установим закон изменения площади поперечного сечения такого стержня. Рис.1.17. Пусть стержень находится под воздействием силы Р и известен вес единицы объема материала γ. Тогда необходимая площадь поперечного сечения со стороны свободного конца Площадь поперечного сечения на расстоянии х от свободного конца (рис. 1.17, а) обозначим через Ах. Вырежем из стержня элемент (рис. 1.17, б) на расстоянии х двумя бесконечно близкими сечениями длиной dх и рассмотрим его равновесие. С учетом того, что нормальные напряжения как в сечении 1-1, так и в сечении 2-2 одинаковы и равны [], условие равновесия элемента будет иметь вид Или, разделяя переменные, будем иметь Проинтегрировав это выражение, найдем (1.23) где е – основание натурального логарифма; С – постоянная интегрирования. Постоянную С находим из условия, что на конце стержня х = 0, А = А0. Тогда из (1.23) получим A0= e c. С учетом этого найдем закон изменения площади поперечного сечения стержня равного сопротивления (1.24) Наибольшая площадь поперечного сечения стержня в месте заделки Абсолютное удлинение стержня где ε1 – относительная продольная деформация для стержня равного сопротивления.