Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
Решение задачи Дирихле для круга методом ФурьеЗадача ставится так: найти функцию tx(r,у?), удовлетворяющую внутри ируга Kr0 радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа
непрерывную в замжутой области KtQ и принимающую задан ные значения награнице круга,
Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
где f(tp) — достаточно гладкая функция, периодическая с периодом 2т.
В силу однозначности искомого решения оно должно быть периодическим по с периодом Из непрерывности решения в Кго следует его ограниченность в КГо.
Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид
(3)
Будем искать частные решения уравнения (3) в виде
.
Подставляя «(г, (р) в форме (4) в уравнение (3),умноженное на г2, получим
откуда
Из условия получаем находим , так что
В частности, = Ао = const.
Полагая в уравнении (6) (уравнении Эйлера) Л(г) = г*, при А = п2 получаем
Отсюда) и, следовательно,
При п = 0 из (6) находам
Так как ооприг 0+0,тодля решения внутренней задачи Дирихле нужно положить
Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда
(5)
(6)
где коэффициенты Ап, Вп определяются из граничного условия (2) При т — tq имеем
Запишем разложение /(у) в ряд Фурье
где
Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
Сравнивая ряды (8) и (9), получаем
(9)
* г0 г0 Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга предста-вимо в виде ряда
оо
где коэффициенты определяются по формулам (10).
При г го ряд (11) можно дифференцировать по г и любое число раз, и, значит, функция u(r, у) из (11) удовлетворяет уравнению
Если предположить, что функция непрерывна и дифференцируема, то ряд (11) при г ^ г0 сходится равномерно, и, следовательно, функция и(г, непрерывна на границе круга и удовлетворяет всем условиям поставл енной задачи.
Решение внешней задачи Дирихле следует искать в виде ряда
где коэффициенты Ап, В„ определяются из граничного условия
Для кольцевой области образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке 0 радиусов Г] и г2 (рис.8), решение задачи ищется в виде ряда
коэффициенты которого Л0, определяются из граничных условий
Пример. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса го с центром в начале координат и такую. что
Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
-4 Задача сводится к решению внутренней задачи Дирихле для уравнения
при граничном условии
Будем искать решение задачи в вида ряда
ПО
Из граничного условия (15) имеем
Отсюда в силу ортогональности системы функций
Искомое решение |