Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи
Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачиПусть требуется найти решение и(х} t) уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
и граничным условиям
Независимая переменная t изменяется от 0 до +оо. Применяя преобразование Лапласа по ty предположим, что и |jf, рассматриваемые как функции
яиляютс я функциям и-оригиналами. Пусть U(x, р) есть изображение функции «(ж, t) по Лапласу,
Так как операция дифференцирования по ж и операция интегрирования по t в преобразовании Лапласа перестановочны, получим
(здесь величина р рассматривается как параметр, и вместо частных производных
пишут обычные производные ,
По правилу дифференцирования оригиналов имеем
Отсюда, учиты вая начальные условия (2), получаем
Пусть функции / фигурирующие в граничных условиях (3), являются функциями-оригиналами . Тогда граничные условия (3) дают
Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи
Переходя к изображениям, сводим задачу (1)-(3) для уравнения с частными производными к граничной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения:
найти решение U(x,p) уравнения
при граничных условиях
Пусть U(x,p) — решение задачи (4)-(5). Тогда функция и(ж, t) (оригинал для U(x, р)) будет решением исходной задачи (1)-(3) Пример. Струна / за г реале на на концах Начальное отклонение струны определяется формулой
Начальные скорости отсутств уют. Найти отклонен ие и(х, t) струкы при
4 Задача сводится к отысканию решения u(x,0 уравнения
при начальных условиях
и граничных условиях
Применим преобразование Лапласа no t. Пусть U(x,p) — изображение функции
Тогда По правилу дифференци рования оригиналов С учетом начальных условий (7) пол уча *м
Граничные условия (8) в свою очередь дают
Таким образом, в пространстве изображен* й мы приходим к граничной задаче для обыкновенного деф-ференциальног о уравнения:
Решая уравнение (9) ив к линейное с постоянными июффи циента ми. найдем
Из условий (10) получаем .твк что
Оригиналом для U(x,p) является фуикци я
которая будет решением задачи (6)—(8).
Аналогичным приемом решаются смешанные задачи для более общих уравнений гиперболического (и параболического) типа.
Ход решения уравнения с частными производными при помощи преобразования Лапласа можно представить в виде следующей схемы (число независимых переменных п= 2). Схема
В пространстве оригиналов уравнение с частными производными + начальные условия + граничные условия
Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи
В пространстве изображений обыкновенное дифференциальное уравнение + граничные условия
Решение в пространстве изображений Решение исходной задачи
Упражнения
Найдите решение следующих начальных задач: ,
3. Однородная бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, имеющим форму полуокружности: . Начальные скорости отсугспнукгг . Начертите положение струны для моментов времени 2, считая для простоты а = 1.
Применяя метод Фурье разделения переменных, решите следующие смешанные задачи |