Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи

Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи

Пусть требуется найти решение и(х} t) уравнения удовлетворяющее начальным условиям и граничным условиям Независимая переменная t изменяется от 0 до +оо. Применяя преобразование Лапласа по ty предположим, что и |jf, рассматриваемые как функции яиляютс я функциям и-оригиналами. Пусть U(x, р) есть изображение функции «(ж, t) по Лапласу, Так как операция дифференцирования по ж и операция интегрирования по t в преобразовании Лапласа перестановочны, получим (здесь величина р рассматривается как параметр, и вместо частных производных пишут обычные производные , По правилу дифференцирования оригиналов имеем Отсюда, учиты вая начальные условия (2), получаем Пусть функции / фигурирующие в граничных условиях (3), являются функциями-оригиналами . Тогда граничные условия (3) дают Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи Переходя к изображениям, сводим задачу (1)-(3) для уравнения с частными производными к граничной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения: найти решение U(x,p) уравнения при граничных условиях Пусть U(x,p) — решение задачи (4)-(5). Тогда функция и(ж, t) (оригинал для U(x, р)) будет решением исходной задачи (1)-(3) Пример. Струна / за г реале на на концах Начальное отклонение струны определяется формулой Начальные скорости отсутств уют. Найти отклонен ие и(х, t) струкы при 4 Задача сводится к отысканию решения u(x,0 уравнения при начальных условиях и граничных условиях Применим преобразование Лапласа no t. Пусть U(x,p) — изображение функции Тогда По правилу дифференци рования оригиналов С учетом начальных условий (7) пол уча *м Граничные условия (8) в свою очередь дают Таким образом, в пространстве изображен* й мы приходим к граничной задаче для обыкновенного деф-ференциальног о уравнения: Решая уравнение (9) ив к линейное с постоянными июффи циента ми. найдем Из условий (10) получаем .твк что Оригиналом для U(x,p) является фуикци я которая будет решением задачи (6)—(8). Аналогичным приемом решаются смешанные задачи для более общих уравнений гиперболического (и параболического) типа. Ход решения уравнения с частными производными при помощи преобразования Лапласа можно представить в виде следующей схемы (число независимых переменных п= 2). Схема В пространстве оригиналов уравнение с частными производными + начальные условия + граничные условия Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи В пространстве изображений обыкновенное дифференциальное уравнение + граничные условия Решение в пространстве изображений Решение исходной задачи Упражнения Найдите решение следующих начальных задач: , 3. Однородная бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, имеющим форму полуокружности: . Начальные скорости отсугспнукгг . Начертите положение струны для моментов времени 2, считая для простоты а = 1. Применяя метод Фурье разделения переменных, решите следующие смешанные задачи