Единственность решения смешанной задачи
Единственность решения смешанной задачиТеорем 9. Решение смешанной задачи для вынужденных колебаний однородной струны:
единственно.
Допустим, что существуют два решения задачи (1)-(3). Тогда разность этих решений будет удовлетворять однородному уравнению
нулевым граничным условиям
и нулевым начальным условиям
Покажем, что соотношениям (4)-(6) удовлетворяет лишь функция,тождественно равная нулю.
Рассмотрим функцию
и покажем, что при условиях (4)-(6) она не зависит от времени t. Взяв производную по t, получаем
так как внеинтефальное слагаемое обращается в нуль в силу условий (5), a -а ^у =0, так как v(ar,f) — решение уравнения (4).
Итак, = 0, т.е. E(t) = const. Учитывая начальные условия (6), получаем
Единственность решения смешанной задачи
и, следовательно, E(t) = 0. Из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен нулю,
следует, что
огкуда . Всилупервогоизначальныхусловий (6) v(x> 0) = 0, и значит,
Интеграл (7) можно переписать в виде ^а2 = ^
Величина
является кинети'(еской энергией струны в момент времени ty а
ее потенциальная энергия, так что функция E(t) с точностью до постоянного множителя = const выражает полную энергию струны. Равенство E(t) = 0 является математичесмш выражением закона сохранения энергии для свободных колебаний любой физической природы при нулевых граничных условиях, т. е. когда нет притока или рассеивания энергии в процессе колебаний. Неоднородность в граничных условиях и неоднородность в уравнении означает наличие постоянно действующих факторов, подводящих или рассеивающихэнергию. Неоднородность в начальныхусловиях означает, что в начальный моментпроцесс обладал некоторым запасом энергии, который он и сохраняет в течение всего колебания.
Единственность решения смешанной задачи
Изложенный метод доказательства единственности решения смешанной задачи называется энергетическим и широко используется при установлении различных тео -рем единственности. |