Сюръекция инъекция и биекция Обратное отображение Композиция отображений произведение множеств График отображения

Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения.






Сюръекция, инъекция и биекция




Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.

Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче — сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X : /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).

  • Итак, функция /: X —У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X : f(x) = у.

По сути, функция / в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, и потому ее часто называют взаимно однозначной функцией. Очевидно, что функция / биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из X с каждым элементом из У. При этом никакие два элемента из X не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо / инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из X из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения. Каждый элемент из X участвует в попарном соединении, поскольку X — область определения функции /. Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной из пар, ибо / сюръективна. Роли X и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение или иную функцию д), которое тоже и инъективно, в сюръективно. Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем.

В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X —? У — некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9 : Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f'1.

Примеры решения в задачах




Методические указания и учебники решения и формулы
задачи и методички
теория



Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R — ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ — множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У •

  • Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).

  • Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Так, если является биекцией, обратной к биекции /: Х-+У, то /"1о/ = /х, а /о/-1 = /у, где и /у — тождественные отображения множеств X и У соответственно. Обратно, если отображения f: X ->Y и р : У Л" таковы, что gof = Ix и fog = /у, то функция / является биекцией, а у — ее обратной биекцией. Очевидно, что если / — биекция Л" на У, а $ — биекция У на Z, то gof является биекцией X на Z, а будет по отношению к ней обратной биекцией. 2.5. Произведение множеств. График отображения Напомним, что две взаимно перпендикулярные координатные оси с масштабом, одинаковым для обеих осей, задают на плоскости прямоугольную декартову систему координат (рис. 2.7). Точку О пересечения координатных осей называют начало* координат.

Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х — координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у — координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М ( в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у — ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных решение задач по высшей математике чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.

Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй — из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&', у') определяют условиями х = х' и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2

можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что . Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.

  • Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
  • Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда , и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то . Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
  • Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).

Если же X С R, а У = R2, то график функции также есть множество точек в R3, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х = const лишь в одной точке М с тремя координатами х} yi, у2 (рис. 2.11). # Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены.