УРАВНЕНИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. ПЕРИОД СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

УРАВНЕНИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. ПЕРИОД СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ


Перейдем теперь к количественной теории процессов в колебательном контуре. Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь (рис. 76). Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Рис. 76 Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме энергий магнитного и электрического полей. Вернемся к уравнению (4.3), имеющему следующий вид: , .2 2 2 2 С ' Эта энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R контура равно нулю. Производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна. Следовательно, равна нулю сумма производных от энергий магнитного и электрического полей: Физический смысл уравнения (4.5) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак «минус» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Именно благодаря этому полная энергия не меняется. Вычисляя обе производные в уравнении (4.5), получим1 ' Мы вычисляем производные по времени. Поэтому производная (<2)' равна не просто 2г, как было бы при вычислении производной по i. Нужно 2г умножить еще на производную Г силы тока по времени, так как вычисляется производная от сложной функции. То же самое относится к производной (q2)'. Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени: Поэтому уравнение (4.6) можно переписать в следующем виде: Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Подставив в уравнение (4.8) i'=q" и разделив левую и правую части этого "уравнения на Li, получим основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре: Теперь, наконец, вы в полной мере можете оценить значение тех усилий, которые были затрачены для изучения колебаний шарика на пружине и маятника. Ведь уравнение (4.9) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (3.11), описывающего колебания шарика на пружине. При замене в уравнении (3.11) х на q, х" на q", k на l/C и ш на L мы в точности получим уравнение (4.9). Но уравнение (3.11) нами уже решено. Поэтому, зная, как колеблется шарик, мы сразу же можем сказать, как происходят колебания в контуре. Формула Томсона. В уравнении (3.11) коэффициент k/m представляет собой квадрат собственной частоты колебаний. Поэтому и коэффициент в уравнении (4.9) также представляет собой квадрат циклической частоты свободных электрических колебаний: Период свободных колебаний в контуре равен: Формула (4.11) называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона(Кельвина), который ее впервые вывел. Увеличение периода свободного колебания с ростом L и С наглядно можно пояснить так. При увеличении индуктивности ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора. Гармонические колебания заряда и тока. Подобно тому как координата при механических колебаниях (в случае, когда в начальный момент времени отклонение от положения равновесия максимально) изменяется со временем по гармоническому закону: х—хт cos ю0/, заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону: <7=<7m cos ау, (4.12) где qm — амплитуда колебаний заряда. Сила тока также совершает гармонические колебания: /=<7'=-(o0<7msin(V=/mcos (W+y)- (4.13) где Im=qma)0 — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на л/2 колебания заряда (рис. 77). Точно так же колебания скорости при движении шарика, прикрепленного к пружине, или математического маятника опережают на л/2 колебания координаты (смещения). В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. Чем больше сопротивление R, тем больше будет период колебания. При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникают. Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет. Простейшая система, где наблюдаются свободные электромагнитные колебания, — колебательный контур. Уравнение (4.9) — это основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре. 'З 1. В чем состоит различие между свободными и вынужденными электрическими колебаниями! 2. Как изменится период свободных колебаний, если конденсатор контура емкостью С заменить другим конденсатором с вдвое большей емкостью или конденсатором с вдвое меньшей емкостью! 3. Как связаны амплитуды колебаний заряда и тока при разрядке конденсатора через катушку!