Динамика колебательного движения
Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона. Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела т на ускорение а равно равнодействующей F всех сил, приложенных к телу: Запишем уравнение движения шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости F пружины (см. рис. 56). Направим ось Ох вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия (см. рис. 56, а). В проекциях на ось Ох уравнение (3.1) запишется так: max=Fxynp, где ах и Fxyn соответственно проекции ускорения и силы упругости. Согласно закону Гука проекция Fx прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия. Смещение равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки (см. рис. 56, б, в). Следовательно, Fx m=~kx, (3.2) где k — жесткость пружины. Уравнение движения шарика тогда примет вид: max=~kx. (3.3) Разделив левую и правую части уравнения (3.3) на т, получим а=- — х. + (3.4) х т v ' Так как масса т и жесткость k — постоянные величины, то их от-" k ношение — также постоянная величина. т Мы получили уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости. Оно очень простое: проекция ах ускорения тела прямо пропорциональна его координате х, взятой с противоположным знаком. Уравнение движения математического маятника. При колебании шарика на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити /. Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется одной величиной — углом а отклонения нити от вертикали. Будем считать угол а положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево (см. рис. 58). Касательную к траектории будем считать направленной в сторону положительного отсчета углов. Обозначим проекцию силы тяжести на касательную к траектории маятника через Fz. Эта проекция в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол а, выражается так: Fl=—Fs\na=-mgs'ma. (3.5) Здесь знак « — » стоит потому, что Fx и а имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (а>0) составляющая Fx силы тяжести направлена влево и ее проекция отрицательна: Fx<0. При отклонении маятника влево (а<0) эта проекция положительна: FT>0. Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через аТ Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника. Согласно второму закону Ньютона Разделив левую и правую части этого уравнения на т, получим jf. ax~-g sin а. (3.7) До сих пор предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах, sin а~а. Следовательно, можно принять a=~ga. (3.8) Обозначив длину дуги OA через s (см. рис. 58), можно записать s=al, откуда а=у. (3.9) Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла а, получим ax= — js. (3.10) Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) движения шарика, прикрепленного к пружине. Здесь только вместо проекции ах ускорения стоит проекция аТ ускорения и вместо координаты х — величина s. Да и коэффициент пропорциональности зависит уже не от жесткости пружины и массы шарика, а от ускорения свободного падения и длины нити. Но по-прежнему ускорение прямо пропорционально смещению (определяемому дугой) шарика от положения равновесия. Мы пришли к замечательному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как шарик на пружине и маятник, одинаковы. Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и шарика маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это сила упругости пружины, а во втором — составляющая силы тяжести. Уравнение движения (3.4), как и уравнение (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате. Но решить его, т. е. определить, как меняется положение колеблющегося тела в пространстве с течением времени, далеко не просто.