МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК


Рассмотрим простой маятник — тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Можно пренебречь и массой нити по сравнению с массой шарика. Таким образом, вместо реального маятника — шарика определенного размера на нити, которая, конечно, немного деформируется при движении и имеет массу, — мы вправе рассматривать простую модель — материальную точку, подвешенную на нерастяжимой невесомой нити. Такая модель маятника называется математическим маятником. Выведем маятник из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести FT = mg, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити F р, направленная вдоль нити (рис. 58). Конечно, при движении маятника на него еще действует сила сопротивления. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой. Для того чтобы отчетливо представить себе динамику движения маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие: Fn, направленную вдоль нити, и Fx, направленную перпендикулярно нити по касательной к траектории шарика. Силы Fn и Fx в сумме дают силу FT. Сила упругости нити Fynp и составляющая Fn силы тяжести перпендикулярны скорости маятника и сообщают ему центростремительное ускорение. Это ускорение направлено к центру дуги окружности — траектории движения маятника. Работа этих сил равна нулю. Поэтому согласно теореме о кинетической энергии они не меняют скорости маятника по модулю. Их действие приводит лишь к тому, что вектор скорости непрерывно меняет направление, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности. Под действием составляющей Fx маятник начинает двигаться по дуге окружности вниз с нарастающей по модулю скоростью. При движении маятника эта составляющая силы тяжести, направленная к положению равновесия, уменьшается по модулю, и в момент, когда маятник проходит через положение равновесия, она становится равной нулю. Вследствие своей инертности маятник движется дальше, поднимаясь вверх. При этом составляющая Fx уже будет направлена против скорости. Поэтому модуль скорости маятника уменьшается. В момент остановки маятника в верхней точке модуль составляющей Fx максимален и направлена эта составляющая в сторону положения равновесия. Далее скорость маятника увеличивается по модулю, и он снова движется к положению равновесия. Пройдя положение равновесия, он возвращается в исходное положение, если только сила сопротивления мала и ее работой в течение небольшого интервала времени можно пренебречь. Опустив маятник в сосуд с вязкой жидкостью, мы тут же обнаружим, что колебания не происходят совсем или затухают очень быстро. Математический маятник свободно колеблется при двух условиях: при выведении его из положения равновесия в системе возникает сила, направленная к положению равновесия; трение в системе достаточно мало.