Биматричные игра. Примеры решения

Биматричные игра. Примеры решения

Биматричные игра. Примеры решения

Биматричные игра. Примеры решения

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Примеры этого раздела описывают некоторые типические конфликтные ситуации, приводящие к биматричным играм. Сначала мы обсудим вопросы, связанные с формализацией рассматриваемых конфликтов (построение платежных матриц), а позднее связанные с рекомендациями по их разрешению. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ примеры решения Пример 20. «Борьба за рынки*. Небольшая фирма (игрок А) намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок В).

Для этого фирма А готова предпринять на одном из рынков соответствующие приготовления (например, развернуть рекламную компанию). Господствующая на рынках фирма В может попытаться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупредительные меры (разумеется, в ремках закона).

Не встречая противодействия на рынке, фирма А захватывает его; при наличии препятствий — терпит поражение, Будем считать для определенности, что проникновение фирмы А на первый рынок более выгодно для нее, нежели проникновение на второй. Естественно также считать, что и борьба за первый рынок потребует вложения бблышх средств. Например, победа фирмы А на первом рынке принесет ей вдвое больший выигрыш, чем победа на втором, но зато и поражение при попытке освоиться на первом рынке полностью ее разорит, а фирму В избавит от конкурента.

Что же касается второго рынка, то при поражении фирмы А ее потери будут не столь разорительны, но и победа принесет немного. Таким образом, у фирмы А две стратегии: А\ — выбор первого рынка, Л 2 — выбор второго рынка. Такие же стратегии и у фирмы В: В\ — выбор первого рынка, Bi — выбор второго рынка. Для того, чтобы составить платежные матрицы игроков, нужны расчетные количественные показатели, которые мы приведем здесь в условных единицах: Взглянем на выписанные матрицы выплат.

Из сказанного выше ясно, что если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа останется за более сильной фирмой В. То. что в ситуации В\) выигрыш игрока В равен 5, а в ситуации (j4j, В}) — 1, подчеркивает, что первый рынок более выгоден (удобно расположен, хорошо посещаем и т.п.), чем второй. Выифыш (-10) игрока А в ситуации (Л), (а точнее, проигрыш) в сопоставлении с его выигрышем (-1) в ситуации (Л2, В2) выглядит, разумеется, вполне сокрушительно.

Что же касается ситуации, когда фирмы уделяют основное внимание разным рынкам (Л|, В}) и (Ai, В\), то здесь фирму А ждет настоящий выигрыш, ббльший на более выгодном рынке.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Функции двух переменных. Действия над случайными величинами
Эффективное использование электроэнергии
Колебания круглой мембраны
Перекрытия горизонтальные несущие и ограждающие конструкции

Потери, которые при этом несет фирма В, оказываются прямо противоположными. игроку А, другая — матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре — биматричиая. Замечание. Рассматриваемые ранее матричные игры, разумеется, можно рассматривать и как бима-тричные, где матрица выплат игроку В противоположна матрице выплат игроку А: Примеры биматричных игр Тем не менее, в общем случае биматричная игра — это игра с ненулевой суммой.

Нам кажется вполне естественным время от времени сопоставлять наши рассмотрения с рассуждениями, проведенными ранее для матричных игр (особенно при попытках разрешения схожих проблем). Подобные сопоставления часто оказываются одновременно и удобными и полезными. Конечно, класс биматричных игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.

Впрочем, мы надеемся, что часть из этих трудностей мы сумеем преодолеть уже в настоящем издании. Примеры этого раздела описывают некоторые типические конфликтные ситуации, приводящие к биматричным играм. Сначала мы обсудим вопросы, связанные с формализацией рассматриваемых конфликтов (построение платежных матриц), а позднее связанные с рекомендациями по их разрешению. Пример 20. «Борьба за рынки*.

Небольшая фирма (игрок А) намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок В). Для этого фирма А готова предпринять на одном из рынков соответствующие приготовления (например, развернуть рекламную компанию). Господствующая на рынках фирма В может попытаться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупредительные меры (разумеется, в ремках закона).

Не встречая противодействия на

рынке, фирма А захватывает его; при наличии препятствий — терпит поражение, Будем считать для определенности, что проникновение фирмы А на первый рынок более выгодно для нее, нежели проникновение на второй. Естественно также считать, что и борьба за первый рынок потребует вложения бблышх средств. Например, победа фирмы А на первом рынке принесет ей вдвое больший выигрыш, чем победа на втором, но зато и поражение при попытке освоиться на первом рынке полностью ее разорит, а фирму В избавит от конкурента.

Что же касается второго рынка, то при поражении фирмы А ее потери будут не столь разорительны, но и победа принесет немного. Таким образом, у фирмы А две стратегии: Примеры биматричных игр А\ — выбор первого рынка, Л 2 — выбор второго рынка. Такие же стратегии и у фирмы В: В\ — выбор первого рынка, Bi — выбор второго рынка. Для того, чтобы составить платежные матрицы игроков, нужны расчетные количественные показатели, которые мы приведем здесь в условных единицах: Взглянем на выписанные матрицы выплат.

Из сказанного выше ясно, что если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа останется за более сильной фирмой В. То. что в ситуации В\) выигрыш игрока В равен 5, а в ситуации (j4j, В}) — 1, подчеркивает, что первый рынок более выгоден (удобно расположен, хорошо посещаем и т.п.), чем второй. Выифыш (-10) игрока А в ситуации (Л), (а точнее, проигрыш) в сопоставлении с его выигрышем (-1) в ситуации (Л2, В2) выглядит, разумеется, вполне сокрушительно.

Что же касается ситуации, когда фирмы уделяют основное внимание разным рынкам (Л|, В}) и (Ai, В\), то здесь фирму А ждет настоящий выигрыш, ббльший на более выгодном рынке. Потери, которые при этом несет фирма В, оказываются прямо противоположными. Замечание. Ясно, что точно рассчитать выгоду и ущерб сторон в этом конфликте заранее довольно трудно. А вот в следующей конфликтной ситуации размеры выигрышей игроков известны со всей определенностью. Пример 21. «Дилемма узников».

Игроками являются два узника, находящихся в предварительном заключении по подозрению в совершении преступления. При отсутствии прямых улик возможность их осуждения в большой степени зависит от того, заговорят они или будут молчать. Если оба будут молчать, то наказанием будет лишь срок предварительного заключения (потери каждого из узников составят (-1)). Если сознаются, то получат срок, учитывающий признание как смягчающее обстоятельство (потери каждого из узников составят в этом случае (-6)).

Если же заговорит только один из узников, а другой будет молчать, то в этом случае заговоривший будет выпущен на свободу (его потери равны 0), а сохраняющий молчание получит максимально возможное наказание (его потери будут равны (-9)). Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в которой каждый из игроков имеет по две стратегии — молчать (М) или говорить (Г). Выигрыши игроков А и В соответственно описываются так: Пример 22. «Семейный спор».

Два партнера договариваются о совместном проведении одного из двух действий, (1) и (2), каждое из которых требует их совместного участия. В случае осуществления первого из этих двух действий выигрыш первого партнера (игрок А) будет вдвое выше выигрыша второго партнера (игрок В). Напротив, в случае осуществления второго из этих двух действий выигрыш игрока А будет вдвое меньше выигрыша игрока В. Если же партнеры выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них будет равен нулю.

Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в которой каждый из игроков имеет по две стратегии. Выигрыши игроков А и В соответственно описываются таблицами следующего вида: По«С**иИГ Довольно понятно, что различные конфликтные ситуации могут иметь одну и ту же формализацию. В частности, рассмотренная биматричная играчасгао интерпретируется, как одновременный выбор супругами совместного развлечения: посещение оперного спектакля или хоккейного матча.

При этом в посещении оперного театра жена заинтересована в большей степени, чем муж, а при посещении стадиона наблюдается обратная картина. В случае же непреодоления разногласий, возникших при выборе, день оказывается вообще испорченным. Отсюда и название, вынесенное в заголовок. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ примеры решения Пример 23.

«Студент — Преподаватель». Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у Студента две стратегии — подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (-). У Преподавателя также две стратегии — поставить зачет |+) и не поставить зачета [-]. В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения: (+) все нормально был неправ (-) дал себя обмануть опять придет