Асимптотическое поведение функций. Сравнение бесконечно малых функций

Содержание:

1. Определение 10.3:
2. Пример 10.2. а:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

асимптотическим поведением (или асимптотикой) функции в окрестности некоторой точки а (конечной или бесконечной) понимают характер изменения функции при стремлении ее аргумента х к этой точке. Это поведение обычно стараются представить с помощью другой, более простой и изученной функции, которая в окрестности точки а с достаточной точностью описывает изменение интересующей нас функции или оценивает ее поведение с той или иной стороны.

В связи с этим возникает задача сравнения характера изменения двух функций в окрестности точки а, связанная с рассмотрением их частного. Особый интерес представляют случаи, когда при х а обе функции являются либо бесконечно малыми (б.м.), либо бесконечно большими (б.б.). 10.1. Сравнение бесконечно малых функций Основная цель сравнения б.м. функций состоит в сопоставлении характера их приближения к нулю при х а, или скорости их стремления к нулю.

Пусть б.м. при х а функции а(я) и Р(х) отличны от нуля в некоторой проколотой окрестности (а) точки а, а в точке а они равны нулю или не определены. Определение 10.1. Функции а(ж) и 0(х) называют б.м. одного порядка при а и записывают ог(а:)=в О (/?(«)) (символ О читают „О большое"), если при х а существует отличный от нуля конечный предел отношения а(ж)//?(я), т.е. Очевидно, что тогда, согласно (7.24), ЗИт €R\{0}, и правомерна запись Х^а0[а(х)). Символ О обладает свойством транзитивности, т.е. если - в самом деле, с учетом определения 10.1 и свойства произведения функций (см. (7.23)), имеющих конечные (в данном случае не равные нулю) пределы, получим АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Сравнение бесконечно малых функций.

Определение 10.2. Функцию а(х) называют б.м. более высокого порядка малости по сравнению с (3(х) (или относительно /3(х)) при х а и записывают ) (символ о читают ио малое если существует и равен нулю предел отношения а В этом случае также говорят, что функция является б.м. более низкого порядка малости по сравнению с а(х) при х а, причем слово малости обычно опускают (как и в случае более высокого порядка в определении 10.2). Сказанное означает, что если lim ( то функция /}(х) является, согласно определению 10.2, б.м. более высокого порядка по сравнению с а(х) при х а и а(я) есть б.м. более низкого порядка по сравнению с /3(х) при х а, ибо в этом случае lijTi (fi(x)/ot(x)) . Так что можно записать Согласно теореме 7.3 о связи функции, ее предела и б.м. функции из (10.3) следует, что ot) — функция, б.м. при .

Отсюда а(х) , т.е. значения |а(з)| при х, близких к а, много меньше значений \0(х)\. Иными словами, функция а(х) стремится к нулю быстрее функции /?(х).

Теорема 10.1. Произведение любых б.м. при х а функций а(х) и Р(х)} отличных от нуля в некоторой проколотой окрестности точки а, есть при х-¥а б.м. функция более высокого порядка по сравнению с каждым из сомножителей. Действительно, согласно определению 10.2 б.м. более высокого порядка (с учетом определения 7.10 б.м. функции), равенства означают справедливость утверждения теоремы. Равенства, содержащие символы О и о, иногда называют асимптотическими оценками.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Определение 10.3:

Функции ot(x) и /3(х) называют несравнимыми б.м. при х -¥ а, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела их отношения, т.е. если $ lim а(х)/0(х) (р£внокак $ lim 0(х)/а(х)). Пример 10.1. а. Функции а(х) = х и /?(x) = sin2ar в силу определения 10.1 — б.м. одного порядка при х 0, так как с учетом ( б. Функция а{х) = 1 -coss, по определению 10.2, — б.м. более высокого порядка по сравнению с 0(х) = х при х 0, поскольку с учетом в.

порядка по сравнению с fl(x) = х при х 0, так как г. Функции a(s) = = х согласно определению 10.3 — несравнимые б.м. при х 0, поскольку предела АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Сравнение бесконечно малых функций. не существует (ни конечного, ни бесконечного — см. пример 7.5). Степенная функция х11 с показателем степени п 6 N, п > 1, является при х а б.м. более высокого порядка по сравнению с хп~1} т.е. япа=ао(а:п"*1), так как lim (хЛ/хп"1) =

При необходимости более точной сравнительной характеристики поведения б.м. функций при х —► а одну из них выбирают в качестве своего рода эталона и называют ее основной. Конечно, выбор основной б.м. в известной мере произволен (стремятся выбрать попроще: х при ж-*0; х-1 при х -41; 1/х при х ->оо и т.п.). Из степеней 0к(х) основной б.м. функции /}(х) с различными показателями к > 0 (при к ^ 0 0к(х) не является б.м.) составляют шпалу сравнения для оценки более сложной б.м. функции a(z).

Определение 10.4. Функцию a(z) называют б.м. к-го порядка малости относительно (3(х) при х а, а число к — порядком малости, если функции a(z) и /Зк(х) являются б.м. одного порядка при х а) т.е. если Слово „малости" и в этом случае обычно опускают. Отметим: 1) порядок к одной б.м. функции относительно другой может быть любым положительным числом; 2) если порядок функции а(х) относительно /3(х) равен к, то порядок функции Р(х) относительно а(х) равен 1/к; 3) не всегда для б.м. функции а(х), даже сравнимой со всеми степенями /?*(х), можно указать определенный порядок к.

Пример 10.2. а:

Функция cosx, согласно определению 10.4,— б.м. порядка к = 2 относительно 0(х) = х при х 0, так как с учетом б. Рассмотрим функции . Покажем, что при любом Действительно, согласно (7.32). Таким образом, б.м. при х-»+0 функция а1/1 сравнима с хк при любом к > О, но указать для этой функции порядок малости относительно х не удается. # Определить порядок одной б.м. функции относительно другой не всегда просто.

Можно рекомендовать такой порядок действий: 1) написать под знаком предела отношение а(х)/0к(х)\ 2) проанализировать записанное отношение и попытаться упростить его; 3) опираясь на известные результаты, выдвинуть предположение о возможном значении к} при котором будет существовать не равный нулю конечный предел; 4) проверить предположение путем вычисления предела.

Пример 10.3. Определим порядок б.м. функции tgx - sin х относительно х при х -»• 0, т.е. найдем такое число к > О, чтобы Имеем АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Сравнение бесконечно малых функций. На этом этапе, зная, что при х 0, согласно (7.35) и (7.36), (sinx)/x 1 и cosx —> 1, и учитывая (7.23) и (7.33), можно определить, что условие (10.7) будет выполнено при к = 3. Действительно, непосредственное вычисление предела при к = 3 дает значение А = 1/2: Отметим, что при к > 3 получим бесконечный предел, а при предел будет равен нулю.