Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Теорема 5. Если последовательности {ап} и {6П} сходятся, то сходится и последовательность , причем Пусть В. Тогда для любого найдется номер , такой, что для всех будет верно неравенство Аналогично найдется номер такой, что для всех будем иметь Положим . Тогда для всякого будут одновременно выполняться неравенства .

Поэтому для всех п N будем иметь Арифметические операции над сходящимися последовательностями Монотонные последовательности Комплексные числа и действия над ними Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа Предел последовательности комплексных чисел Согласно определению, этоозначает, что последовательность сходится и имеет место равенство (1). Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа сходящихся последовател ьностей.

Похожими рассуждениями доказываются следующие утверждения. Теорема 6. Если последовательности сходятся, то сходится и последовательность причем Теорема 7. Если последовательности сходятся, то сходится и последовательность , причем Теорема 8. Если последовательности сходятся, причем , то последовательность также сходится и Определение. Последовательность {а„} называется неубывающей, если Последовательность {а„} называется невозрастающей, если Определение.

Последовательность {а„} называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей. Неубывающая последовательность {а„} будет ограниченной, если она ограничена сверху, т. е. если существует такое число М, что ап ^ М Vn. В самом деле, в этом случае все члены последовательности лежат на отрезке Невозрастающая последовательность {ап} будет ограниченной, если она ограничена снизу, т. е. если существует число то такое, что a„ ^ то Vn.

Все члены последовательности {а„} будут лежать на отрезке (то, ai]. Теорема 9. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Так как последовательность {an} ограничена, то множество ее элементов имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пусть М — точная верхняя грань множества элементов последовательности {an}.

Покажем, что если {а„} — неубывающая последовательность, то lim ап = М. Согласно определению точной верхней грани, дл я любого числа можно указать элемент as такой, что > М - е и as М. Из этих двух неравенств следует двойное неравенство - as Так как — неубывающая последовательность, то при Vn ^ N верны неравенства Отсюда вытекает, что или Это означает, что число М есть предел последовательности.

Аналогично доказывается, что если {an} — невозрастающая ограниченная последовательность и то — точная нижняя грань множества элементов последовательности, то lim a„ = то Замечание. Монотонность не является необходимым условие*» сходимости последовательности. Например, немонотонная последовательность ( ——) сходится: lim аЛ = 0. Из теоремы 9 следует важное свойство стягивающейся системы вложенных отрезков. Лемма (Кантор).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса
Концентрация ионов в растворе и константа диссоциации
Метод максимального правдоподобия
Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Пусть задана последовательность отрезков вложенных друг в друга, т. е. таких, что , с длинами, стремящимися к нулю: при п -* оо. Гогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем отрезкам Эта лемма выражает замечательное свойство непрерывности множества действительных чисел или свойство полноты числовой прямой (сплошное, без «дырок», заполнение этой прямой действительными числами). Рассмотрим последовательность {а„} с общим членом Выпишем несколько ее первых членов:

Легко видеть, что Пользуясь формулой бинома Ньютона2), можно показать, что последовательность } монотонно возрастает и ограничена, причем Значит, эта последовательность имеет предел, который обозначают буквой,е, Арифметические операции над сходящимися последовательностями Монотонные последовательности Комплексные числа и действия над ними Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

Предел последовательности комплексных чисел Число е иррациональное, е « 2,7183 ... . По некоторым соображениям число е удобно выбрать в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами. Натуральный логарифм числа х > О обозначается символом In х. Формулой бинома Ньютона называется формула где, по определению, к. В частности, т.е. получаем знакомые формулы квадрата суммы и куба суммы двух слагаемых. Замечание.

Существование предела последовательности {(l + можно доказать, если воспользоваться неравенством Бернулли.

В самом деле, в силу этого неравенства последовательность {пп} ограничена снизу. Рассмотрим последовательность {6п},гдс Ясно, что . Имеем Применив опять неравенство Бернулли к выражению Таким образом, последовательность {А„} — невозрастаюшая и ограниченная снизу и потому имеет предел.

По тогда существует и предел последовательности {an}.причем § 10. Комплексные числа и действия над ними В этом параграфе изложены основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексного числа, действиям с комплексными числами и их геометрической интерпретации. Комплексным числом называется выражение вида (алгебраическая форма записи комплексного числа), где я и у — произвольные действительные числа, а г — мнимая единица — удовлетворяет условию г2 = -1.

Числа х и у называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частями комплексного числа z = х + iy. Обозначения: Комплексное число вида отождествляется с действительным числом х. Комплексные числа называются равными, Введем алгебраические операции над комплексными числами. 1) Сложение. Суммой комплексных чисел называется комплексное число Непосредственно проверяются основные законы сложения — переместительный: и сочетательный:

Сложение допускает обратную операцию — вычитание: для любых двух комплексных чисел 2, и z2 можно указать такое число z, что z\ - z + z2. Это комплексное число 2 называется разностью комплексных чисел 2, и z2 и обозначается через Z\ - z2: 2) Умножение. Произведением Z\Z2 комплексных чисел называется комплексное число Эту формулу легко запомнить: достаточно при обычном перемножении (Ж] + it/i) и (х2 + it/2) учесть, что г2 = -1.

Если Z\ и z2 — действительные числа, то правило (3) совпадает с обычным. Несложно проверить, что при таком определении произведения сохраняются основные законы умножения — переместительный: сочетательный: распределительный (относительно сложения): Умножение допускает обратную операцию — деление: длялюбыхдвухкомплексных чисел 2| и z2 (22 Ф 0) можно найти такое комплексное число 2, что Комплексное число z называется частным отделения 2, на z2 и обозначается через ^.

Укажем формулу для вычисления частного. Пусть Тогда из формулы (4) вытекает, что Полученная система (5) при z2 Ф 0 всегда разрешима относительно х и у. Имеем Комплексное число называется сопряженным комплексному числу . Укажем некоторые свойства операции сопряжения: 10.1. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа Комплексное число z = х + iy изображается на плоскости хОу точкой М с координатами (х,у) либо вектором, начало которого находится в точке 0(0,0), а коней — в точке М(х, у) (рис. 8).

Такую плоскость будем называть комплексной

плоскостью z; ось Ох — действительной (вещественной) осью, а ось Оу — мнимой осью. Рис. 9 Для определения положения точки М Ф 0 на координатной плоскости удобно пользоваться полярными координатами (г, 0), где г — длина вектора ОМ, а в — угол между вектором ОМ и осью Ох (рис.9). Переходя в алгебраической форме записи комплексного числа z = х + iy к полярным координатам , получим тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Полярный радиус г называется модулем комплексного числа z, а полярный угол в — его аргументом. Обозначение: Модуль комплексного числа определяется однозначно: Аргумент комплексного числа z Ф 0 определен с точностью до слагаемого, кратного (Ю) где arg z — главное значение аргумента, задаваемое следующими условиями Аргумент комплексного числа z — О вообще неопределен, а модуль этого числа равен нулю.

Два отличных от нуля комплексных числа zt и z2 равны между собой в том и только в том случае, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на слагаемое, кратное 2ж: где n — целое число. Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа 4 Имеем Главным значением аргумента, согласно (12) будет Следовательно, Для простоты письма введем сокращенное обозначение.

Отмеченное выше соответствие между комплексными числами и векторами на плоскости придает естественный геометрический смысл операциям сложения и вычитания комплексных чисел (см. рис. 10, где изображена сумма и разность комплексных чисел z\ и z2). Легко устанавливаются следующие неравенства. (14) (полный смысл введенного обозначения будет установлен в дальнейшем). Этопбзво-ляет записать комплексное число (8) и показательной форме 2 = re*. (16)

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны для выполнения операции умножения и деления комплексных чисел. Если то (17) м В самом деле Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: Так же просто выполняется операция деления комплексных чисел: (19) (при г2 Ф 0). Из формулы (19) видно, что Определим операцию возведения комплексного числа z в натуральную степень п:

В силу формулы (17) возведение комплексного числа в степень п можно производить по правилу Из последнего соотношения при г = I получается формула Муавра Обратная операция — извлечение корня — определяется следующим образом. Комплексное число w называется корнем п-й степени из комплексного числа 2, если Обозначение: Покажем, что для любого z ^ О корень >/z имеет п различных значений. Подста- вляя (23), получаем или, что тоже.

Первое из равенств (25) показывает, что модули всех корней n-й степени из 2 одинаковы, а второе — Рис. и что их аргументы различаются на слагаемое, кратное Отсюда вытекает, что точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа z Ф 0, расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса >/\z\ с центром в точке w = 0 (рис. 11).

Придавая в формуле (25)числу к значенияО, получим п различных комплексных чисел Напомним, что из равенства комплексныхчисел вытекает равенство их модулей, а аргументы чисел либо совпадают, либо различаются на слагаемое, кратное 2л-. Поэтому из соотношения (24) вытекают равенства Пример. Найти все значения Запишем комплексное число z = i в показательной форме В соответствии с формулами (27) получаем Арифметические операции над сходящимися последовательностями Монотонные последовательности .

Комплексные числа и действия над ними Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа Предел последовательности комплексных чисел Отсюда Предел последовательности комплексных чисел Пусть {zn} — последовательность комплексных чисел. 1 Определение.

Комплексное число z называется преде мм последовательности {zn}, если для любого е > 0 найдется номер N = N(£) такой, что для всех п ^ N выполняется неравенство Последовательность {zn}, имеющая пределом комплексное число z, называется сходящейся к числу 2. Обозначения: Каждый элемент z„ = хп + гуп последовательности {zn} характеризуется парой действительных чисел хп и уп. Поэтому последовательности комплексных чисел {zn} соответствуютдве последовательности вещественных чисел {хп} и {у„}, составленные из действительных и из мнимых частей элементов zn последовательности {г„}.

Теорема. Последовательность комплексных чисел {zn} является сходящейся в том и только в том случае, когда одновременно сходятся обе последовательности действительных чисел {х„} и {уп} (zn = хп + гуп)• Пусть последовательность {гп} сходится к числу z. Это означает, что для любого £ > 0 можно указать номер N, такой, что для всех п ^ N выполняется неравенство , то отсюда следует, что Обратно, то тогда для любого £ > 0 найдется номер такой,что.

Поэтому Тем самым, Доказанное утверждение позволяет переносить на последовательности комплексных чисел все основные факты, установленные для сходящихся последовательностей действительных чисел. Упражнения 1. Докажите, что предел последовательности {^} равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство 2. Докажите, что предел последовательности j ^yj равен единице. Найдите пределы: (Указание.

При отыскании предела отношения двух многочленов относительно л целесообразно предварительно разделить числитель и знаменатель на пр,где р _ наивысшая степень многочлена в знаменателе. Этот прием используется и при отыскании предела дробей, содержащих иррациональности.) Найдите пределы: 16. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексного числа: 17. Запишите комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 18. Вычислите: 19. Найдите все значения корня: Ответы