Анализ цепи с резистивным элементом

Анализ цепи с резистивным элементом

План

  • 1. Задача анализа электрических цепей. Законы Кирхгофа.
  • 2. Примеры анализа резистивных цепей.
  • 3. Эквивалентные преобразования участка цепи.
  • 4. Выводы.

Задача анализа электрических цепей. Законы Кирхгофа

Электрическая цепь, образованная путем соединения между собой идеализированных элементов, является математической моделью реального электротехнического или электронного устройства. Чем больше элементов содержит такая цепь, тем точнее отображает она характеристики моделируемого устройства.

Дадим определения основных понятий, касающихся геометрической конфигурации, или топологии, электрических цепей.

Ветвь - участок цепи с двумя выводами. Ветвью может быть отдельный элемент либо группа элементов, соединенных последовательно или параллельно.

Узел - точка соединения двух или более ветвей. Место соединения двух ветвей удобно рассматривать в качестве узла при машинных расчетах. При ручных расчетах несколько элементов, соединенных последовательно или параллельно, удобно рассматривать как одну ветвь. Поэтому при ручных расчетах узлом считают соединение трех или более ветвей.

Контур — замкнутый путь, проходящий через ряд ветвей и узлов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Задача анализа электрической цепи формулируется следующим образом. Заданы схема цепи и характеристики ее элементов, а также напряжения и токи независимых источников. Требуется найти токи и напряжения ветвей.

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, можно разбить на две группы. К первой группе отнесем компонентные уравнения, связывающие напряжения и токи отдельных элементов (компонентов) цепи. Например, для резистора компонентным является уравнение, выражающее закон Ома: Анализ цепи с резистивным элементом. Компонентные уравнения не зависят от топологии схемы. Вторая группа содержит уравнения топологии, которые определяются только геометрией схемы и не зависят от типа элемента. Топологические уравнения составляются на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь.

Чтобы записать уравнения по законам Кирхгофа, необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока указано стрелкой на выходе элемента. Положительное направление напряжения указано стрелкой рядом с элементом. Направления токов и напряжений резистивных элементов выбирают согласованными. Сопротивление проводников, соединяющих элементы, очень мало по сравнению с сопротивлениями резисторов, и им пренебрегают.

Направления напряжений и токов источников следует рассмотреть особо. Стрелка ЭДС источника напряжения направлена к его положительному выводу. Поэтому напряжение на внешних зажимах этого источника направлено в сторону, противоположную ЭДС.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Алгебраические операции с комплексными числами

Анализ электрического состояния цепи переменного тока

Анализ цепи с катушкой индуктивности

Анализ цепи с конденсатором

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи. Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

Анализ цепи с резистивным элементом

В уравнении (2.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно Анализ цепи с резистивным элементом -1, где Анализ цепи с резистивным элементом - число узлов цепи.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи: Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Анализ цепи с резистивным элементом

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет - знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (2.2) примет вид

Анализ цепи с резистивным элементом

В соответствии с последним равенством во всяком контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений ветвей равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Можно показать, что число таких контуров определяется формулой Анализ цепи с резистивным элементом, где Анализ цепи с резистивным элементом - число ветвей. В качестве независимых контуров удобно выбирать внутренние ячейки цепи. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

Подчеркнем, что законы Кирхгофа справедливы для любых цепей с сосредоточенными параметрами. Они выполняются как для линейных, так и для нелинейных цепей, при любой форме напряжений и токов.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Примеры анализа резистивных цепей

Рассмотрим примеры анализа цепей с помощью законов Кирхгофа. Пример 2.1. Анализ линейной резистивной цепи.

Рассчитать токи и напряжения в цепи, показанной на рис. 2.1. Анализ цепи с резистивным элементом

Анализ цепи с резистивным элементом
Решение. Выберем положительные направления токов и напряжений, как показано на рис. 2.1. Направления напряжений и токов резистивных элементов совпадают, поэтому для них достаточно показать только направления токов. Запишем уравнения по законам Кирхгофа:

Верхний узел: Анализ цепи с резистивным элементом

Контур I: Анализ цепи с резистивным элементом

Контур II: Анализ цепи с резистивным элементом

Решая уравнения, получим: Анализ цепи с резистивным элементом

Напряжения резистивных элементов можно найти с помощью закона Ома. Напомним, что внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико. Поэтому напряжение этого источника (как и ток источника напряжения) находят из уравнений по законам Кирхгофа.

Пример задачи с решением 2.2.

Мост Уитстона (рис. 2.2) используется для измерения сопротивлений. В одно плечо моста включается источник напряжения, а в другое измерительный прибор - нуль-индикатор D, сопротивление которого можно считать равным нулю. Необходимо определить ток в плече с нуль-индикатором.

Анализ цепи с резистивным элементом
Решение. Ток нуль-индикатора найдем из уравнения по первому закону Кирхгофа:

Анализ цепи с резистивным элементом

Для расчета токов определим эквивалентное сопротивление цепи:

Анализ цепи с резистивным элементом

Ток неразветвленной части цепи

Анализ цепи с резистивным элементом

Поскольку резисторы Анализ цепи с резистивным элементом соединены параллельно, токи в них распределяются обратно пропорционально сопротивлениям:

Анализ цепи с резистивным элементом

Ток нуль-индикатора

Анализ цепи с резистивным элементом

Обычно Анализ цепи с резистивным элементом - неизвестное сопротивление, a Анализ цепи с резистивным элементом регулируются до тех пор, пока ток через нуль-индикатор D не станет равным нулю. Из уравнения (2.3) следует, что сопротивление резистора Анализ цепи с резистивным элементом при этом

Анализ цепи с резистивным элементом

Пример задачи с решением 2.3.

Анализ цепи с управляемыми источниками.

Определить напряжение на выходе усилителя напряжения в схеме, показанной на рис. 2.3. Коэффициент передачи усилителя равен К, входное сопротивление бесконечно, а выходное равно нулю.

Анализ цепи с резистивным элементом
Решение. Заменим усилитель источником напряжения, управляемым напряжением (рис. 2.4). Выходное напряжение Анализ цепи с резистивным элементом

Поскольку входное сопротивление усилителя бесконечно, токи резисторов одинаковы. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Анализ цепи с резистивным элементом

Решая эти уравнения, найдем, что

Анализ цепи с резистивным элементом

Итак, выходное напряжение рассматриваемой схемы зависит как от коэффициента усиления К, так и от сопротивлений Анализ цепи с резистивным элементом. Резисторы Анализ цепи с резистивным элементом и Анализ цепи с резистивным элементом образуют цепь отрицательной обратной связи. Она служит для передачи части выходного напряжения на вход усилителя. При этом часть входного напряжения усилителя компенсируется.

Особый интерес представляет случай, когда коэффициент усиления ИНУН очень велик. Такой усилитель называют операционным. Из формул (2.4) и (2.5) следует, что при Анализ цепи с резистивным элементом напряжение на входе усилителя Анализ цепи с резистивным элементом, а выходное напряжение не зависит от коэффициента усиления активного элемента:

Анализ цепи с резистивным элементом

Рассмотренный пример иллюстрирует влияние отрицательной обратной связи на характеристики цепей с усилителями.